2021-2022学年云南省昭通市昭阳一中八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2021-2022学年云南省昭通市昭阳一中八年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 下列二次根式中属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 由下列线段，，不能组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

3. 下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知一个直角三角形的两边长分别为和，则第三边长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

5. 若一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知三角形三边长为，，，如果，则是(    )

A. 以为斜边的直角三角形 B. 以为斜边的直角三角形
C. 以为斜边的直角三角形 D. 不是直角三角形

7. 若是整数，则正整数的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 若，则实数在数轴上的对应点一定在(    )

A. 原点左侧 B. 原点右侧 C. 原点或原点左侧 D. 原点或原点右侧

9. 计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，数轴上点对应的数是，点对应的数是，，垂足为，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图所示，已知是腰长为的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第个等腰，再以的斜边为直角边，画第个等腰以此类推，第个等腰直角三角形的斜边长是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，，垂足为，，，且，，点是边上的一动点，则的最小值是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 使代数式有意义的的取值范围是______．
14. 在实数范围内分解因式______．
15. 已知，是两个连续整数，且，则______．
16. 如图的阴影部分是一个半圆，它的面积是______结果保留

17. 如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为______．

18. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为______．

三、解答题（本大题共6小题，共46分）

19. 计算：
    ；
    ；
    ．
20. 为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形，如图所示，通过测量得长为，长为，请求出图中、两点之间的距离．

21. 若，，求代数式：的值；
    先化简，再求值：，其中．
22. 已知，如图，一块四边形土地，，，，，且，求这块四边形的面积．

23. 如图，一架长的梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端离墙底的距离为．
    求此时梯子的顶端距地面的高度；
    如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的顶端在水平方向上向右滑动了多远？

24. 在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到形如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
    ；
    ；
    ．
    像这样，把代数式中分母化为有理数过程叫做分母有理化．
    化简：
    ；
    为正整数；
    求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项，被开方数含有分母，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、因为，所以能组成直角三角形；
B、因为，所以能组成直角三角形；
C、因为，所以不能组成直角三角形；
D、因为，所以能组成直角三角形．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
A、，不能与进行合并；
B、，不能与进行合并；
C、，不能与进行合并；
D、，能与进行合并；
故选：．
根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同理二次根式的定义判断即可．
本题考查的是同理二次根式的定义，掌握二次根式的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：当是直角边时，斜边，
当是斜边时，另一条直角边，
故选：．
分是直角边、是斜边，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

5.【答案】 

【解析】解：




，
故选：．
利用长方体的体积公式求值即可．
本题考查的是二次根式的应用，解题的关键是要掌握二次根式乘法法则．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，，，
，，，
，
是直角三角形为斜边，
故选：．
根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性得出，，，再根据勾股定理的逆定理求出答案即可．
本题考查了算术平方根，绝对值，偶次方的非负性和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
正整数的最小值是：．
故选：．
先化简，然后根据二次根式的定义判断即可．
本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了算术平方根的非负性：，然后利用熟知数轴表示数的方法即可解答．
根据算术平方根的非负性，知，即，根据数轴表示数的方法即可求解．
【解答】
解：，
，
故实数在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：




，
故选：．
利用积的乘方的法则及二次根式的乘法进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
以为圆心，为半径画弧，交数轴于点，
，
点表示的数是：，
故选：．
首先根据勾股定理求出的长，再根据同圆的半径相等可知，再根据条件：点对应的数是，可求出点坐标．
此题主要考查了实数与数轴，勾股定理，关键是求出的长．
 

11.【答案】 

【解析】解：第一个等腰直角三角形的斜边为，
第二个等腰直角三角形的斜边为，
第三个等腰直角三角形的斜边为，
第四个等腰直角三角形的斜边为，

第个等腰直角三角形的斜边为．
故选：．
将前个等腰三角形的斜边计算出来，然后找出规律即可求出答案．
本题考查等腰直角三角形的有关知识、勾股定理、规律探究等知识，解题的关键是掌握从特殊得一般探究规律题目的方法，利用规律解决问题．
 

12.【答案】 

【解析】解：过点作于，如图，
，，
，
，
，
，
，
，
的最小值为．
故选：．
过点作于，如图，先根据含度的直角三角形三边的关系得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后根据垂线段最短求解．
本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

13.【答案】或 

【解析】解：要使有意义必须且，
解得：或，
故答案为：或．
根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出且，再求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件和二次根式的性质与化简等知识点，能关键题意得出和是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查平方差公式分解因式，把写成是解题的关键．先提取公因式，然后直接利用平方差公式分解因式．
【解答】
解：原式．
故答案是．  

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
．
故答案为：．
根据得出，求出，，代入求出即可．
本题考查了二次根式的性质和估算无理数的大小，关键是确定的范围．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图所示：

，
故阴影部分的面积．
故答案为：．
利用勾股定理求出直角三角形的斜边，再由圆的面积公式计算即可．
本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是利用勾股定理求出半圆的直径．
 

17.【答案】 

【解析】解：设，则．
由翻折的性质可知：．
点是的中点，
．
在中，由勾股定理可知：，即，
解得：．
．
故答案为：．
设，则，由翻折的性质可知，然后在中利用勾股定理列方程求解即可．
本题主要考查的是翻折的性质和勾股定理的应用，利用翻折的性质得到是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】
解：三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为，
则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为，
由勾股定理得：，
解得．
故答案为．
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
 

19.【答案】解：原式

；
原式

；
原式
． 

【解析】去括号，化简二次根式，合并同类二次根式即可得出答案；
将除法转化为乘法，化简二次根式即可得出答案；
根据零指数幂，立方根，绝对值，负整数指数幂计算即可．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，掌握，是解题的关键．
 

20.【答案】解：由题意得，，，，
在中，．
答：点到点的距离为． 

【解析】在中，利用勾股定理求出即可得出答案．
本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的形式．
 

21.【答案】解：，，
，



；


，
当时，
原式

． 

【解析】由题意可得，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可；
利用分式的相应的运算进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

22.【答案】解：连接，如图所示：
，
；
，
，
是直角三角形，，
四边形的面积的面积的面积
，
答：这块四边形的面积为． 

【解析】连接，由勾股定理求出，由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，，四边形的面积的面积的面积，即可得出结果．
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，证明三角形是直角三角形是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：，，，
，
答：此时梯顶距地面的高度是；

梯子的顶端下滑了至点，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
，
，
答：梯子的底端在水平方向滑动了． 

【解析】直接利用勾股定理求出的长，进而得出答案；
直接利用勾股定理得出，进而得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
 

24.【答案】解：原式；
原式；
原式
． 

【解析】分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算；
分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算；
先分母有理化，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和是解决问题的关键．