第14讲 直线与圆、圆与圆的位置关系-【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（人教版2019必修第二册+选择性必修第一册）

第14讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

       【学习目标】

1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆，圆与圆的位置关系

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题

       【基础知识】

一、直线与圆的位置关系

设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直线l:Ax+By+C=0,圆心C(a,b)到直线l的距离d= ,

由 消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为Δ.

二、圆的切线

1.若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线;

2.若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线,且此点是切点;

3.若点在圆内,则过此点不能作圆的切线.

4.过点P(x0,y0)的圆的切线方程的求法

(1)若点P在圆上,求点P与圆心连线的斜率,若斜率存在且不为0,记为k,则切线斜率为- ;若

斜率为0,则切线斜率不存在;若斜率不存在,则切线斜率为0.

(2)若点P在圆外,设切线斜率为k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径r,解出k即
可(若仅求出一个k值,则有一条斜率不存在的切线).

5.过圆上一点的切线仅有一条,可熟记下列结论

(1)若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y=r2;

(2)若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2;

(3)若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y+D·
+E·+F=0.

三、圆的弦长的方法

1.交点法:若直线与圆的交点坐标容易求出,则直接利用两点间的距离公式求解.

2.弦长公式:设直线l:y=kx+b与圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l的方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长公式:|AB|=.

(3)几何法:圆的半径r、圆心到弦的距离d、弦长l三者之间的关系为r2=d2+,即弦长l=

四、利用圆的方程解决最大(小)值问题的方法

1.由某些代数式的结构特征联想其几何意义,然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关
知识并结合图形的直观性来分析解决问题,常涉及的几何量有:

①关于x、y的一次分式形式常转化为直线的斜率;

②关于x、y的一次式常转化为直线的截距;

③关于x、y的二次式常转化为两点间的距离等.

2.转化成函数解析式,利用函数的性质解决.

3.利用三角代换,若点P(x,y)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则设 (θ为参数),代入目

标函数,利用三角函数知识求最大(小)值.

五、圆与圆的位置关系

1.两圆的位置关系

外离、外切、相交、内切和内含.

2.两圆的位置关系的判定

(1)代数法:设两圆的一般方程为C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=

0(),联立得方程组 消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,则要求出方程组的解进行判断),计算判别式Δ的值,按(2)的表中的标准进行判断.

(2)几何法:两圆的半径分别为r1,r2,计算两圆连心线的长为d,按表中标准进行判断.

3.两圆的公共弦所在直线方程的求法

设☉C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),☉C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(),联立 

 ①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③

若两圆交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B的坐标适合方程①②,也适合方程③,因此方程③就是经过两圆交点的直线方程.

故当两圆相交时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是经过两圆交点的直线方程,即公共弦所在直线的方程.

当两圆外离时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线方程.

当两圆相切时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是两圆的一条公切线的方程. 若两圆是等圆,则(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线的方程.

   【考点剖析】

考点一：直线与圆位置关系的判断

例1．（2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市恒昌中学校高二上学期期中）直线与圆的位置关系是（       ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定

【答案】B

【解析】圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切．故选B

考点二：求圆的切线方程

例2．（2021-2022学年新疆石河子第二中学高二上学期月考）在平面直角坐标系xOy中，点，直线，圆C：．

(1)求b的取值范围，并求出圆心坐标

(2)若圆C的半径为1，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

(3)有一动圆M的半径为1，圆心在l上，若动圆M上存在点N，使，求圆心M的横坐标a的取值范围．

【解析】 (1)化为，

由得，∴的取值范围为，圆心坐标为.

(2)由（1）知圆心的坐标为，当半径为1时，

圆的方程为：，将代入，

得，∴在圆外，

设所求圆的切线方程为，即，∴.

∴，∴，

∴或者，∴所求圆的切线方程为：或者，

即或.

(3)∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心，又半径为1，

则圆的方程为：，

又∵，

∴点在的中垂线上，的中点得直线：，

∴点应该既在圆上又在直线上，即圆和直线有公共点.

∴，∴.

综上所述，的取值范围为：.

考点三：与切线长有关的问题

例3．（2021-2022学年四川省巴中市南江中学高二上学期12月月考）直线上一点向圆引切线长的最小值为（       ）

A． B．1 C． D．3

【答案】B

【解析】圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为.

所以切线长的最小值为.故选B

考点四：与弦长有关的问题

例4．（2021-2022学年辽宁省辽南协作校高二上学期期中）已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则直线的方程为___________.

【答案】或

【解析】圆的圆心，半径，直线截圆所得弦长，则弦心距，当过点的直线斜率不存在时，的方程为，圆心到直线的距离为1，符合题意要求；当过点的直线斜率存在时，的方程可设为，由，可得，此时的方程为综上，直线的方程为或

考点五：与圆有关的最值问题

例5．过圆内点作圆的两条互相垂直的弦和，则的最大值为__．

【答案】

【解析】取中点，中点，如图，则是矩形，，

，同理，注意到时，由得，从而，当且仅当时取等号．

所以，

当且仅当，即时等号成立．

所以的最大值是．

考点六：两圆位置关系的判断

例6．（2021-2022学年湖南省株洲市炎陵县第一中学高二下学期3月月考）圆与圆的位置关系是(       )

A．内切 B．相交 C．外切 D．相离

【答案】B

【解析】由得圆心坐标为，半径，由得圆心坐标为，半径，∴，，∴，即两圆相交.故选B.

考点七：两圆的公切线与公共弦问题

例7．（2021-2022学年四川省绵阳市绵阳南山中学高二上学期期中）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（       ）

A．4 B．6 C． D．

【答案】B

【解析】根据题意，设为直线上的一点，则，过点作圆的切线，切点分别为、，则有，，则点、在以为直径的圆上，以为直径的圆的圆心为C，，半径，则其方程为，变形可得，

联立，可得圆C和圆O公共弦AB为：，又由，则有，变形可得，则有，解可得，故直线恒过定点，点在圆上，则点到直线距离的最大值为．故选B．

        【真题演练】

1. (2020年高考全国卷Ⅰ)已知⊙M：，直线：，为上

的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为

A．     B． C．     D．

2．(2020年高考全国卷Ⅱ)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的

距离为 

A． B． C． D．

3．(2018年高考全国卷Ⅲ)直线分别与轴，轴交于两点，点在圆

上，则面积的取值范围是 (　　)

A． B． C． D．

4．(2016高考全国卷Ⅱ)圆的圆心到直线的距离为1，则 (　　)

A． B． C． D．

5．（2021年新高考全国卷Ⅰ）已知点在圆上,点,,则　　

A．点到直线的距离小于10 B．点到直线的距离大于2 

C．当最小时, D．当最大时,

6. （2021年新高考全国卷Ⅱ） 已知直线与圆,点,则下列说法正确的是（    ）

A. 若点A在圆C上,则直线l与圆C相切 B. 若点A在圆C内,则直线l与圆C相离

C. 若点A在圆C外,则直线l与圆C相离 D. 若点A在直线l上,则直线l与圆C相切

7.（2022年新高考全国卷Ⅱ）设点,若直线关于对称的直线与圆有公共点,则a的取值范围是_____．

8.(2022年新高考全国卷Ⅰ)写出与圆和都相切的一条直线的方程_______．

【过关检测】

1. （2021-2022学年四川省凉山州宁南中学高二下学期月考）已知圆和直线，则圆心C到直线l的最大距离为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．

2. （2021-2022学年安徽省皖南地区高二下学期开学调研）过点作圆的切线，切点为B，则(       )

A．2 B． C．3 D．

3. （2021-2022学年云南省保山市昌宁县高二下学期期中）若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（       ）

A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能

4.（2021-2022学年河南省安阳市高二下学期5月月考）已知圆：和圆：有且仅有4条公切线，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

5.（多选）（2021-2022学年重庆市清华中学高二上学期第二次月考）对于定点和圆：，下列说法正确的是（       ）

A．点在圆内部

B．过点有两条圆的切线

C．过点被圆截得的弦长最大时的直线方程为

D．过点被圆截得的弦长最小值为

6.（多选）（2021-2022学年广东省深圳市重点中学高二上学期期末）点P在圆上，点Q在圆上，则（       ）

A．两个圆心所在的直线斜率为

B．两个圆相交弦所在直线的方程为

C．两圆公切线有两条

D．|PQ|的最小值为0

7.（2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二上学期期末）过点作圆的切线，则切线方程为______.

8.（2021-2022学年江苏省南京市江宁区高二下学期期末）若点到直线l的距离分别为1和4，则这样的直线l共有___________条．

9. （2021-2022学年湖北省新高考协作体高二下学期期末）已知圆C：，直线l恒过点

(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；

(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求l的方程.

10. （2021-2022学年重庆市两江中学校（教育集团）高二上学期月考）已知圆.

(1)若直线，证明:无论为何值，直线都与圆相交；

(2)若过点的直线与圆相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.