2021年中考数学复习难点突破专题01 数字变化类规律问题

这是一份2021年中考数学复习难点突破专题01 数字变化类规律问题，共28页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

专题01数字变化类规律问题
一、单选题
1．观察下面由正整数组成的数阵：

照此规律，按从上到下、从左到右的顺序，第51行的第1个数是（　　　）
A．2500 B．2501 C．2601 D．2602
2．观察式子：13=12，13+23=(1+2)2=32，13+23+33=(1+2+3)2=62，13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，…，根据你发现的规律，计算53+63+73+83+93+103的结果是(　　)
A．2925 B．2025 C．3225 D．2625
3．观察下列算式：，，，，，，，，用你所发现的规律得出的末位数字是（）
A．2 B．4 C．8 D．6
4．已知又一个有序数组，按下列方式重新写成数组，使得，，，，接着按同样的方式重新写成数组，使得，，，，按照这个规律继续写下去，若有一个数组满足，则n的值为（）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…通过观察，用你所发现的规律，22020的结果的个位数字是( )
A．2 B．4 C．8 D．6
6．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左向右数第（n﹣2）个数是（　　　）（用含n的代数式表示）

A． B． C． D．
二、解答题
7．观察下面三行有规律的数：
-2，4，-8，16，- 32，64，……①
-4，2，-10，14，- 34，62，……②
4，-8，16，- 32，64，-128，……③
（1）第一行数的第10个数是__________ ；
（2）请联系第一行数的规律，直接写出第二行数的第10个数是____________；直接写出第三行数的第n个数是_____________；
（3）取每行的第100个数，计算这三个数和．
8．观察下列等式：
，，．
将以上三个等式的两边分别相加，得：
．
（1）直接写出计算结果：＝________．
（2）计算：．
（3）猜想并直接写出：＝________．（n为正整数）
9．仔细观察，探索规律：
（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4．
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝①　　（其中n为正整数，且n≥2）．
②（2﹣1）（2+1）＝　　；③（2﹣1）（22+2+1）＝　　；
④（2﹣1）（23+22+2+1）＝　　；⑤（2n﹣1+2n﹣2+…+2+1）＝　　；
（2）根据上述规律，求22019+22018+22017+…+2+1的个位数字是多少？
（3）根据上述规律，求29﹣28+27﹣…+23﹣22+2的值？
10．观察下列等式：，把以上三个等式两边分别相加得：
（1）猜想并写出：___________．
（2）规律应用：计算：．
（3）拓展提高：计算：．
11．探索规律，观察下面算式，解答问题．
，
，
，
，
……
（1）请猜想：__________；
（2）请猜想：______；
（3）试计算：．
12．如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a，b，c，d，x表示．

（1）若，则______．
（2）用含x的式子分别表示数a，b，c，d．
（3）设，判断M的值能否等于2010，请说明理由．
13．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：
加数m的个数
和S
1
2＝1×2
2
2+4＝6＝2×3
3
2+4+6＝12＝3×4
4
2+4+6+8＝20＝4×5
5
2+4+6+8+10＝30＝5×6
（1）按这个规律，当m＝6时，和S为　　；
（2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：S＝　　．
（3）应用上述公式计算：
①2+4+6+…+100
②1002+1004+1006+…+1100
③1+3+5+7+…+99
14．观察下列各式：
；
；
；
；
．
（1）根据上面各式的规律填空：
①______．
②______．
（2）利用②的结论求的值；
（3）若，求的值．
15．观察下列等式：，，，，，，…，根据这个规律，解答以下问题：
（1）的末位数字是______
（2）求的末位数字．
16．小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如表，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：

（1）设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和；
（2）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其他五个数的和能等于2016吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由．
17．观察下面一列数，探求其规律：
，，，，，，…
（1）请问第7个，第8个，第9个数分别是什么数？
（2）第2015个数是什么？如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越接近？
三、填空题
18．按一定规律排列的一列数依次为，，，，，，…，按此规律排列下去，这列数中第8个数是______，第个数是______（为正整数）．
19．将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上规律排列，第25行第20个数是______．
2
4 6
8 10 12
14 16 18 20
22 24 26 28 30
……
20．观察下列数据，按此规律，第10行最后一个数字与第90行最后一个数之和是______．
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
……
21．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：

（1）根据前面各式的规律，则_____________________________________．
（2）请计算的展开式中第三项的系数是_______________________．
22．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第n排，从左到右第m个数，如表示实数9，则表示实数58的有序实数对是___________．




一、单选题
1．观察下面由正整数组成的数阵：

照此规律，按从上到下、从左到右的顺序，第51行的第1个数是（　　　）
A．2500 B．2501 C．2601 D．2602
【答案】B
【分析】
观察这个数列知，第n行的最后一个数是n2，第50行的最后一个数是502=2500，进而求出第51行的第1个数．
【详解】
由题意可知，第n行的最后一个数是n2，
所以第50行的最后一个数是502=2500，
第51行的第1个数是2500+1=2501，
故选：B．
【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于发现第n行的最后一个数是n2的规律．
2．观察式子：13=12，13+23=(1+2)2=32，13+23+33=(1+2+3)2=62，13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，…，根据你发现的规律，计算53+63+73+83+93+103的结果是(　　)
A．2925 B．2025 C．3225 D．2625
【答案】A
【分析】
根据题意找到规律：即可求解．
【详解】
解：∵13=12，
13+23=(1+2)2=32，
13+23+33=(1+2+3)2=62，
13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，
…，
∴，
53+63+73+83+93+103
()-()



．
故选：A．
【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
3．观察下列算式：，，，，，，，，用你所发现的规律得出的末位数字是（）
A．2 B．4 C．8 D．6
【答案】D
【分析】
因为，，，，，，，，观察发现：的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以根据，，得出的个位数字与的个位数字相同是2，的个位数字与的个位数字相同是4，进一步求解即可．
【详解】
解：，，，，，，，，．
，
，
∴的个位数字与的个位数字相同是2，
的个位数字与的个位数字相同是4，
．
故的末位数字是6．
故选：D．
【点睛】
本题考查了尾数特征的应用，关键是能根据题意得出规律，利用规律解决问题．
4．已知又一个有序数组，按下列方式重新写成数组，使得，，，，接着按同样的方式重新写成数组，使得，，，，按照这个规律继续写下去，若有一个数组满足，则n的值为（）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】
根据题意可得=2，=22，=23，从而可得=2n，代入不等式并化简可得，即可求出n的值．
【详解】
解：∵，，，，
∴=＋＋＋=2
∵，，，
∴=＋＋＋
=2
=22
同理可得：=23
∴=2n
∵
∴
∴
∵29=512，210=1024，211=2048
∴
∴n=10
故选B．
【点睛】
此题考查的是探索规律题，找出规律并归纳公式是解题关键．
5．下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…通过观察，用你所发现的规律，22020的结果的个位数字是( )
A．2 B．4 C．8 D．6
【答案】D
【分析】
根据上述等式，得到结果的末位以四个数（2，4，8，6）依次循环，而2020除以4得505，故得到所求式子的末位数字为6．
【详解】
21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…
根据上述等式，得到结果的个位数字以四个数（2，4，8，6）依次循环，
∵2020÷4＝505，
∴22020的个位数字是6．
故选：D．
【点睛】
此题考查了有理数的乘方运算，属于规律型试题，弄清本题的规律是解本题的关键．
6．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左向右数第（n﹣2）个数是（　　　）（用含n的代数式表示）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n-1行的数据的个数，再加上n-2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可．
【详解】
解：前（n﹣1）行的数据的个数为2+4+6+…+2（n﹣1）=n（n﹣1），
所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣2=n2﹣2，
所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是．
故选：B．
【点睛】
本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（n-1）行的数据的个数是解题的关键．
二、解答题
7．观察下面三行有规律的数：
-2，4，-8，16，- 32，64，……①
-4，2，-10，14，- 34，62，……②
4，-8，16，- 32，64，-128，……③
（1）第一行数的第10个数是__________ ；
（2）请联系第一行数的规律，直接写出第二行数的第10个数是____________；直接写出第三行数的第n个数是_____________；
（3）取每行的第100个数，计算这三个数和．
【答案】（1）1024；（2）1022，；（3）－2．
【分析】
（1）通过观察可知第一行数据的规律是，进而可以得出答案；
（2）通过观察可知第二行的数字的规律是：第一行的数字减去2，第三行的数字的规律是：第一行的数字乘以－2，便可得出答案；
（3）根据得出的规律将每一行第100个数字相加即可．
【详解】
解：（1）∵-2，4，-8，16，- 32，64，……，
∴该组数据的规律是：，，，，，，……，
∴第一行数的第10个数是；
（2）通过观察可知第二行的数字的规律是：第一行的数字减去2，
第三行的数字的规律是：第一行的数字乘以－2，
则第二行的第10个数是，第三行的第n个数是，
（3）∵第一行数的第100个数是，第二行的第100个数是，第三行的第100个数是
∴，
即这三个数的和为－2．
【点睛】
本题考查了数字的规律探究，找出数字的规律是解题的关键．
8．观察下列等式：
，，．
将以上三个等式的两边分别相加，得：
．
（1）直接写出计算结果：＝________．
（2）计算：．
（3）猜想并直接写出：＝________．（n为正整数）
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）根据所给等式对进行拆分，然后计算即可；
（2）按照（1）的思路对拆分计算即可；
（3）由（2）的结论，可以推出，然后运用该规律解答即可．
【详解】
解：（1）
=
=1-
=；
故答案为；
（2）
=
=
；
（3）
=
=
=
=．
【点睛】
本题主要考查了探究数字规律和有理数的混合运算，分析已知等式、找出规律是解答本题的关键．
9．仔细观察，探索规律：
（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4．
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝①　　（其中n为正整数，且n≥2）．
②（2﹣1）（2+1）＝　　；③（2﹣1）（22+2+1）＝　　；
④（2﹣1）（23+22+2+1）＝　　；⑤（2n﹣1+2n﹣2+…+2+1）＝　　；
（2）根据上述规律，求22019+22018+22017+…+2+1的个位数字是多少？
（3）根据上述规律，求29﹣28+27﹣…+23﹣22+2的值？
【答案】（1）①an﹣bn②22﹣1；③23﹣1；④24﹣1；⑤2n﹣1；（2）5；（3）342
【分析】
（1）根据结果的规律得出答案；
（2）将22019+22018+22017+…+2+1写成（2﹣1）（22019+22018+22017+…+2+1）＝22020﹣1，通过求出22020的个位数字得出22020﹣1的个位数字；
（3）利用乘法分配律进行计算即可．
【详解】
解：（1）①由上式的规律可得，an﹣bn，
故答案为：an﹣bn；
由题干中提供的等式的规律可得，
②（2+1）（2﹣1）＝22﹣1；
③（2﹣1）（22+2+1）＝23﹣1；
④（2﹣1）（23+22+2+1）＝24﹣1；
⑤（2n﹣1+2n﹣2+…+2+1）＝（2﹣1）（2n﹣1+2n﹣2+…+2+1）＝2n﹣1；
（2）22019+22018+22017+…+2+1
＝（2﹣1）（22019+22018+22017+…+2+1）
＝22020﹣1，
又∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……
∴22020的个位数字为6，
∴22020﹣1的个位数字为6﹣1＝5，
答：22019+22018+22017+…+2+1的个位数字是5．
（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2
＝28（2﹣1）+26（2﹣1）+24（2﹣1）+22（2﹣1）+2
＝28+26+24+22+2
＝256+64+16+4+2
＝342．
【点睛】
本题考查多项式乘以多项式、平方差公式、数字的变化规律等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10．观察下列等式：，把以上三个等式两边分别相加得：
（1）猜想并写出：___________．
（2）规律应用：计算：．
（3）拓展提高：计算：．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）先根据题中所给出的等式进行猜想，写出猜想结果即可；
（2）根据（1）中的猜想，先拆项，再抵消即可求解；
（3）先提出，再各式利用拆项法变形，计算即可求出值；
【详解】
解：（1）∵，
∴
（2）


；
（3）



【点睛】
此题主要考查有理数的运算和规律研究，分析已知找出运算规律并准确计算是解题的关键．
11．探索规律，观察下面算式，解答问题．
，
，
，
，
……
（1）请猜想：__________；
（2）请猜想：______；
（3）试计算：．
【答案】（1）225；（2）；（3）．
【分析】
（1）（2）观察数据可知，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，然后计算即可得解；
（3）利用前面的规律，用从1开始到2021的和减去从1开始到999的和，列式计算即可得解．
【详解】
解：（1），
故答案为：225；
（2），
故答案为：；
（3）



．
【点睛】
本题考查了数字变化规律，观察出结果的底数与算式中首尾两个数的关系是解题的关键．
12．如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a，b，c，d，x表示．

（1）若，则______．
（2）用含x的式子分别表示数a，b，c，d．
（3）设，判断M的值能否等于2010，请说明理由．
【答案】（1）68；（2），，，；（3）不能等于2010，理由见解析．
【分析】
观察图1，可知：，，，．
（1）当x=17时，找出a、b、c、d的值，将其相加即可求出结论；
（2）由，，，，即可求出a+b+c+d的值；
（3）根据M=2020，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值，由x为偶数即可得出M不能为2010．
【详解】
观察图1，可知：，，，．
（1）当x=17时，a=5，b=15，c=19，d=29，
∴．
故答案为：68．
（2）∵，，，，
∴，
故答案为：；
（3）M的值不能等于2020，理由如下：
∵，
∴M，则，
解得：．
∵402是偶数不是奇数，
∴与题目为奇数的要求矛盾，
∴M不能为2010．
【点睛】
本题考查了规律型中数字的变化类以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）将a、b、c、d四个数相加；（2）观察图1，用含x的代数式表示出a、b、c、d；（3）由M=2010，列出关于x的一元一次方程．
13．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：
加数m的个数
和S
1
2＝1×2
2
2+4＝6＝2×3
3
2+4+6＝12＝3×4
4
2+4+6+8＝20＝4×5
5
2+4+6+8+10＝30＝5×6
（1）按这个规律，当m＝6时，和S为　　；
（2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：S＝　　．
（3）应用上述公式计算：
①2+4+6+…+100
②1002+1004+1006+…+1100
③1+3+5+7+…+99
【答案】（1）；（2）；（3）①；②；③．
【分析】
（1）根据规律列出运算式子，计算有理数的乘法即可得；
（2）根据表格归纳类推出一般规律即可得；
（3）①根据（2）的结论列出运算式子，计算有理数的乘法即可得；
②利用的值减去的值即可得；
③将运算中的每个加数都加上1可变成（3）①的运算式子，再减去50即可得．
【详解】
（1）根据规律得：当时，和，
故答案为：42；
（2）由表可知，当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
归纳类推得：，
故答案为：；
（3）①，
，
；
②，
，
，
，
，
；
③，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了有理数加减法与乘法的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
14．观察下列各式：
；
；
；
；
．
（1）根据上面各式的规律填空：
①______．
②______．
（2）利用②的结论求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）①；②；（2）；（3）1．
【分析】
（1）根据已知发现结果的规律：按进行降幂排列，各项系数为1，直接写出结论即可；
（2）将（1）中的规则逆用，计算即可；
（3）将（1）中结论逆用，列出方程，求解即可．
【详解】
（1）①；
②．
（2）．
（3）∵，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查数字的变化规律；能够通过所给式子，找到规律，并将所求的式子结合所得规律进行恰当的变形是解题的关键．
15．观察下列等式：，，，，，，…，根据这个规律，解答以下问题：
（1）的末位数字是______
（2）求的末位数字．
【答案】（1）4；（2）4
【分析】
根据已知算式得出规律，求出504×（2+4+8+6）+2+4的结果，即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32；26=64，
2018÷4=504…2，
∴的末位数字是4，
故答案为:4．
（2）通过计算可知，的末位数字是按照2、4、8、6的顺序循环的．
2019÷4=504…3，
∴504×（2+4+8+6）+2+4+8=10094，
∴的末尾数字为4，
【点睛】
本题考查了尾数特征和数字变化类，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
16．小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如表，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：

（1）设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和；
（2）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其他五个数的和能等于2016吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由．
【答案】（1）5x；（2）不能，理由见解析．
【分析】
（1）根据题意设中间的数为x，则另外四个数分别为x﹣10、x﹣2、x+2、x+10，然后进行求和即可；
（2）假设能够框出满足条件的五个数，设中间的数为x，由（1）可直接进行求解，然后根据结果判断和能否为2016即可．
【详解】
解：（1）十字框中的五个数的和为6+14+16+18+26＝80＝16×5，
∴十字框中的五个数的和为中间的数16的5倍．
设中间的数为x，则另外四个数分别为x﹣10、x﹣2、x+2、x+10，
∴十字框中的五个数的和为（x﹣10）+（x+10）+（x﹣2）+（x+2）+x＝5x．
（2）假设能够框出满足条件的五个数，设中间的数为x，
根据题意得：5x＝2016，
解得：x＝403.2．
∵403.2不是整数，
∴假设不成立，
∴不能框住五个数，使它们的和等于2016．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的解法及整式的加减，熟练掌握一元一次方程的解法及整式的加减是解题的关键．
17．观察下面一列数，探求其规律：
，，，，，，…
（1）请问第7个，第8个，第9个数分别是什么数？
（2）第2015个数是什么？如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越接近？
【答案】（1），，；（2），与0越来越接近
【分析】
（1）分子是1，分母是从1开始连续的自然数，奇数位置为负，偶数位置为正，第个数是；
（2）根据（1）中发现的规律即可求解，因为它们的分子不变是1，分母越来越大，所以越来越接近0．
【详解】
解：（1）第个数是，
第7个，第8个，第9个数分别是，，．
（2）第2015个数是，如果这列数无限排列下去，与0越来越接近．
【点睛】
此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳发现符号、分子、分母的规律，并应用发现的规律解决问题．

三、填空题
18．按一定规律排列的一列数依次为，，，，，，…，按此规律排列下去，这列数中第8个数是______，第个数是______（为正整数）．
【答案】
【分析】
观察已知一列数的变化发现：分子都是1，分母是序号数的平方加1，奇数项是正数，偶数项是负数，据此可以解答．
【详解】
解：根据分析可知：
一列数依次为：，，，，，，…，
按此规律排列下去，则这列数中的第8个数是，
所以第n个数是：（n是正整数）．
故答案为：；．
【点睛】
本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
19．将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上规律排列，第25行第20个数是______．
2
4 6
8 10 12
14 16 18 20
22 24 26 28 30
……
【答案】640
【分析】
观察数字的变化，第n行有n个偶数，求出第n行第一个数，故可求解．
【详解】
观察数字的变化可知：
第n行有n个偶数，
因为第1行的第1个数是：2＝1×0＋2；
第2行的第1个数是：4＝2×1＋2；
第3行的第1个数是：8＝3×2＋2；
…
所以第n行的第1个数是：n（n−1）＋2，
所以第25行第1个数是：25×24＋2＝602，
所以第25行第20个数是：602+2×19=640．
故答案为：640．
【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
20．观察下列数据，按此规律，第10行最后一个数字与第90行最后一个数之和是______．
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
……
【答案】296

【分析】
根据最后一行的数字后一个比前一个大3写出第n行的最后一个数字的表达式，然后解答即可．
【详解】
解：∵每一行的最后一个数字分别为1、4、7、10、…，
∴第n行的最后一个数字为1+3（n-1）=3n-2，
∴第10行的最后一个数字是3×10-2=28，
∴第90行的最后一个数字为：，
∴．
故答案为：296．
【点睛】
本题是对数字变化规律的考查，观察出每一行的最后一个数字后一个比前一个大3是解题的关键．
21．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：

（1）根据前面各式的规律，则_____________________________________．
（2）请计算的展开式中第三项的系数是_______________________．
【答案】190
【分析】
（1）观察可知展开式的a的次数从6（最高次幂）依次下降至0，b的次数从0上升至6（最高次幂），系数和左边杨辉三角对应行的数字依次相同；
（2）根据图形中的规律即可求出（a+b）20的展开式中第三项的系数．
【详解】
解：（1）杨辉三角第6行对应的数字为1，5,10,10,5,1，
第7行对应的数字为1,6,15,20,15,6,1，
所以，（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，
故答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；
（2）找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；
（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；
（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；
不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n-2）+（n-1），
∴（a+b）20第三项系数为1+2+3+…+19=190，
故答案为：190．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，各项是按a的降幂排列的，它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．
22．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第n排，从左到右第m个数，如表示实数9，则表示实数58的有序实数对是___________．

【答案】（11，3）．
【分析】
根据图中的数据，可知第几排有几个数，每排的数据奇数排从左到右是由小变大，每排的数据偶数排从左到右是由大变小，由此可以判断58所在的位置．
【详解】
解：由题意可得，
∵58＝（1＋2＋3＋…＋10）＋3，
∴58所对应的有序数对是（11，3），
故答案为：（11，3）．
【点睛】
本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．