2021年中考数学复习难点突破专题02 算式变化类规律问题

这是一份2021年中考数学复习难点突破专题02 算式变化类规律问题，共48页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

专题02算式变化类规律问题
一、单选题
1．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④．观察计算的结果，由发现的规律得出的值为（　　）
A．351 B．350 C．325 D．300
2．已知，根据则与A最接近的正整数是（ ）．
A．18 B．20 C．24 D．25
3．求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（ ）
A． B． C． D．
4．观察下列等式：，，，…．按照此规律，式子可变形为（ ）
A． B．
C． D．
5．观察下列各式及其展开式：；；；…，请你猜想的展开式第三项的系数是（ ）
A．36 B．45 C．55 D．66
二、解答题
6．观察等式
观察下列是关于自然数的式子：
（1）
（2）
（3）
应用上述规律解决下列问题：
发现规律
（1）完成第四个等式：_____=_________；
验证结论
（2）猜想第a个等式并写出来（用含a的式子表示），验证其正确性．
7．有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是；第二个数是；第三个数是；
对任何正整数，第个数与第个数的和等于
（1）经过探究，我们发现：，，
设这列数的第个数为，那么①；②，③，则正确（填序号）．
（2）请你观察第个数、第个数、第个数，猜想这列数的第个数可表示（用含的式子表示），并且证明：第个数与第个数的和等于；
（3）利用上述规律计算：的值．
8．阅读材料：求的值．
解：设①，将等式①的两边同乘以2，
得②，
用②－①得，
即．
即．
请仿照此法计算：
（1）请直接填写的值为______；
（2）求值；
（3）请直接写出的值．
9．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论。在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：。类比上述方法，解决以下问题．
（1）猜想并写出：_______________．
（2）探究并计算下列各式：
①；
②．
10．计算1-2+3-4+5-6+…+2019-2020
11．观察与猜想：
2
3
（1）与分别等于什么？并通过计算验证你的猜想；
（2）计算（n为正整数）等于什么？
12．观察下列式子：，，，，…，…
（1）请你依照上述规律，完成：．
（2）第个式子应该是；
（3）用你发现的规律求的值．
13．阅读材料：1261 年，我国南宋数学家杨辉著《详解九章算法》，在注释中提到“杨辉三角”解释了二项和的乘方规律．在他之前，北宋数学家贾宪也用过此方法，“杨辉三角”又叫“贾宪三角”．

这个三角形给出了（n 为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序、b的次数由小到大的顺序排列）的系数规律．例如：在三角形中第三行的三个数 1、2、1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数 1、3、3、1，恰好对应展开式中各项的系数等．
从二维扩展到三维：根据杨辉三角的规则，向下进行叠加延伸，可以得到一个杨辉三角的立体图形．经研究，它的每一个切面上的数字所对应的恰巧是展开式的系数．

（1）根据材料规律，请直接写出的展开式；
（2）根据材料规律，如果将看成，直接写出的展开式（结果化简）；若，求的值；
（3）已知实数a、b、c，满足，且，求的值．
14．探究拓展
我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
15×15=1×2×100+25=225
25×25=2×3×100+25=625
35×35+3×4×100+25=1225
（1）若用字母a表示一个正整数，请你写出一般的规律：（a×10+5）2= ．
（2）请你用所学的知识证明这个结论．
（3）请你用上述的规律，计算85×85== ．
95×95== ．
15．同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决．
例如：计算．
此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂，但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单．
分析方法：因为，，，．
所以，将以上4个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下：




（1）________；
（2）应用上面的方法计算：．
（3）类比应用上面的方法探究并计算：．
16．观察下列等式：；；．将以上三个等式两边分别相加，得．
（1）仿照上面的形式猜想并写出：______________．
（2）已知与互为相反数，求的值．
（3）求的值．
17．观察下列等式：
；；；；；
请完成下面的问题：
（1）_________________；
（2）的值．
18．探究发现：
（1）计算并观察下列各式：
；
________；
________；
（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么规律？请根据你发现的规律直接填写下面的空格．
________；
________；
（3）利用该规律计算：．
19．观察规律并填空．
；
；
；
；
…
________（用含n的代数式表示，n是正整数，且）．
20．观察下列等式＝1﹣，＝﹣，＝﹣，将以上三个等式两边分别相加得++＝1﹣+﹣+﹣＝1﹣＝．
（1）猜想并写出；
（2）+++…+＝；
（3）探究并计算：；
（4）计算：．
21．阅读下面的问题：
；
；
；
……
（1）求与的值.
（2）比较与的大小，并说明理由.
（3）若，求的值.
22．观察下列各式：=1－，=－，=－．
（1）请根据以上式子填空：
①=　　　　，②=　　　　（n是正整数）
（2）由以上几个式子及你找到的规律计算：
+++．．．．．．．．．．．．+
23．在进行二次根式计算时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一式），
（二式），
（三式）．
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（四式）．
（1）请用不同的方法化简
参照（三式）化简
参照（四式）化简
（2）化简：
三、填空题
24．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，如图所示把边长分别为x1，x2，x3，…，xn的n个正方形依次放入△ABC中，则第n个正方形的边长xn＝________（用含n的式子表示，n≥1）．

25．阅读下文，寻找规律，并填空：
已知x≠1，计算：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5
观察上式，并猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝___．
26．已知，，，．根据上面四式的计算规律求：____________（写出某数的平方即可）．
27．观察下列各式：1-=，1-=，1-=，根据上面的等式所反映的规律（1-）（1-）（1-）=________
28．观察给定的分式，探索规律：
（1），，，，…其中第6个分式是__________；
（2），，，，…其中第6个分式是__________；
（3），，，，…其中第n个分式是__________（n为正整数）．
29．，，，，，其中n为正整数，则的值是__________．
30．观察下列各式：；；；……；则＝_____．

31．如图为杨辉三角表，它可以帮助我们按规律写出（其中n为正整数）展开式的系数，请仔细观察表中规律可得：；； ……；
如果……．
那么＝________．

32．有一列式子，按一定规律排列成，，，，，…，第n个式子为_____（n为正整数）．
33．计算：______．
34．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m2﹣m＝0（m＞0），当m＝1、2、3、…2020时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，…，α2020、β2020，则的值为_____．


一、单选题
1．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④．观察计算的结果，由发现的规律得出的值为（　　）
A．351 B．350 C．325 D．300
【答案】C
【分析】
通过计算前面4个式子的值，得到规律为从1开始的几个连续整数的立方和的算术平方根等于这几个连续整数的和，然后利用此规律求解．
【详解】
①＝1；
②＝3＝1+2；
③＝6＝1+2+3；
④＝10＝1+2+3+4；
∴
＝1+2+3+…+25
＝325．
故选：C．
【点睛】
本题考查实数运算有关的规律问题，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解．
2．已知，根据则与A最接近的正整数是（ ）．
A．18 B．20 C．24 D．25
【答案】D
【分析】
根据公式的特点把A进行变形化简，故可求解．
【详解】
∵

∴
=



≈12×2.0435=24.522≈25
故选：D．
【点睛】
此题主要考查数的规律计算，解题的关键是运用已知的运算公式变形求解．
3．求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
类比题目中所给的解题方法解答即可．
【详解】
设a=1+5+52+53+…+52013，则5a=5（1+5+52+53+…+52013）=5+52+53+…+52013+52014，
∴5a-a=（5+52+53+…+52013+52014）-（1+5+52+53+…+52013）=52014-1，
即a=．
故选：D．
【点睛】
本题是阅读理解题，类比题目中所给的解题方法是解决问题的基本思路．
4．观察下列等式：，，，…．按照此规律，式子可变形为（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据已知等式归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】
，
，
，
归纳类推得：，其中n为正整数，
则，
故选：B．
【点睛】
本题考查了有理数运算的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
5．观察下列各式及其展开式：；；；…，请你猜想的展开式第三项的系数是（）
A．36 B．45 C．55 D．66
【答案】C
【分析】
利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出的展开式第三项的系数．
【详解】
解：




依据规律可得到：
第三项的系数为1，
第三项的系数为，
第三项的系数为，

第三项的系数为：．
故选：C．
【点睛】
本题考查了数字规律型，理解题意，找到系数的规律是解题的关键．

二、解答题
6．观察等式
观察下列是关于自然数的式子：
（1）
（2）
（3）
应用上述规律解决下列问题：
发现规律
（1）完成第四个等式：_____=_________；
验证结论
（2）猜想第a个等式并写出来（用含a的式子表示），验证其正确性．
【答案】（1），17；（2），证明见解析．
【分析】
（1）根据（1）（2）（3）式子的规律可直接进行求解；
（2）由（1）可总结出第a个等式为，然后化简等式左边的式子，进而问题可求证．
【详解】
解：（1）由；，，可得：
；
故答案为，17；
（2）由（1）可得：第a个等式为，
证明：左边，
右边，
因为左边=右边，所以．
【点睛】
本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
7．有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是；第二个数是；第三个数是；
对任何正整数，第个数与第个数的和等于
（1）经过探究，我们发现：，，
设这列数的第个数为，那么①；②，③，则正确（填序号）．
（2）请你观察第个数、第个数、第个数，猜想这列数的第个数可表示（用含的式子表示），并且证明：第个数与第个数的和等于；
（3）利用上述规律计算：的值．
【答案】（1）②；（2），证明见解析；（3）
【分析】
（1）根据题干知道即可得到结果；
（2）根据题干中的规律总结出第个数表示为，再分别表示出第n个和第n+1个数求和即可；
（3）根据题意发现每一项两分母之差为2，即通分后分子为2，故每一项乘以即可，再提取公因数合并各项计算即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴；
故填：
（2）第个数表示为：，
证明：第个数表示为：，第个数表示为：





（3）原式




【点睛】
此题考查了有理数运算的规律观察能力，从已知题干中提取规律解题运算是关键．
8．阅读材料：求的值．
解：设①，将等式①的两边同乘以2，
得②，
用②－①得，
即．
即．
请仿照此法计算：
（1）请直接填写的值为______；
（2）求值；
（3）请直接写出的值．
【答案】（1）15；（2）；（3）．
【分析】
（1）先计算乘方，即可求出答案；
（2）根据题目中的运算法则进行计算，即可求出答案；
（3）根据题目中的运算法则进行计算，即可求出答案；
【详解】
解：（1）；
故答案为：15；
（2）设①，把等式①两边同时乘以5，得
②，
由②①，得：，
∴，
∴；
（3）设①，
把等式①乘以10，得：
②，
把①+②，得：，
∴，
∴，
∴

．
【点睛】
本题考查了数字的变化规律，熟练掌握运算法则，熟练运用有理数乘法，以及运用消项的思想是解题的关键．
9．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论。在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：。类比上述方法，解决以下问题．
（1）猜想并写出：_______________．
（2）探究并计算下列各式：
①；
②．
【答案】（1）；（2）①；②
【分析】
（1）由，从而可得答案；
（2）①利用规律把原式化为：，从而可得答案；
②先把原式化为：，再利用规律进行计算即可得到答案．
【详解】
解：（1），
，
故答案：．
（2）①由可得：



②




【点睛】
本题考查的是利用逆用分式的加减法寻求规律，再利用规律进行有理数的简便运算，掌握发现与得出规律，利用规律是解题的关键．
10．计算1-2+3-4+5-6+…+2019-2020
【答案】-1010
【分析】
原式两个一组结合后，相加即可得到结果．
【详解】
解：



．
【点睛】
此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．观察与猜想：
2
3
（1）与分别等于什么？并通过计算验证你的猜想；
（2）计算（n为正整数）等于什么？
【答案】（1）4，5，验证见解析；（2）
【分析】
（1）观察不难发现，被减数放到根号外，减少作为被开方数即可；
（2）减数的分子与被减数相同，分母是被减数的平方加1，根据此规律写出即可，再按照题目提供的信息进行验证．
【详解】
（1）4，
验证：4，
5
验证：5；
（2）n．
【点睛】
本题考查了算术平方根，读懂题目信息，理解算术平方根的定义是解题的关键．
12．观察下列式子：，，，，…，…
（1）请你依照上述规律，完成：．
（2）第个式子应该是；
（3）用你发现的规律求的值．
【答案】（1），；（2）；（3）．
【分析】
（1）根据题目中的式子写出答案即可；
（2）根据题目中的式子总结规律即可；
（3）根据总结的规律以及分数的运算算出每一项，然后进行乘法运算即可．
【详解】
（1），
故答案为：，；
（2）由题目中的式子可知，第个式子是：；
故答案为：；
（3）利用规律可知：原式，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了数字的变化规律，找出数字间的运算规律是解题的关键．
13．阅读材料：1261 年，我国南宋数学家杨辉著《详解九章算法》，在注释中提到“杨辉三角”解释了二项和的乘方规律．在他之前，北宋数学家贾宪也用过此方法，“杨辉三角”又叫“贾宪三角”．

这个三角形给出了（n 为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序、b的次数由小到大的顺序排列）的系数规律．例如：在三角形中第三行的三个数 1、2、1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数 1、3、3、1，恰好对应展开式中各项的系数等．
从二维扩展到三维：根据杨辉三角的规则，向下进行叠加延伸，可以得到一个杨辉三角的立体图形．经研究，它的每一个切面上的数字所对应的恰巧是展开式的系数．

（1）根据材料规律，请直接写出的展开式；
（2）根据材料规律，如果将看成，直接写出的展开式（结果化简）；若，求的值；
（3）已知实数a、b、c，满足，且，求的值．
【答案】（1）；
（2），=1或9；
（3）或
【分析】
（1）依据规律进行计算即可；
（2）分子分母同时除以可化为，得出，从而求得，即可求得，代入即可求解；
（3）将式子通过完全平方式变形为，设，，，通过与的关系联立阅读材料可求得的值．
【详解】
解：（1）；
（2）



∵
∴，即，可得，
∵，可得
当时，=
当时，=
（3）∵
整理得到
∵
设，，，
则，解得
∴



∴
∴当时，；
当时，；
∴或
【点睛】
本题考查了乘法公式的运用；解题的关键是根据题目式子的形式进行恰当变形，从而求解，注意平方根的个数．
14．探究拓展
我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
15×15=1×2×100+25=225
25×25=2×3×100+25=625
35×35+3×4×100+25=1225
（1）若用字母a表示一个正整数，请你写出一般的规律：（a×10+5）2= ．
（2）请你用所学的知识证明这个结论．
（3）请你用上述的规律，计算85×85== ．
95×95== ．
【答案】（1）；（2）见详解；（3）；；；．
【分析】
（1）通过观察可以看出，个位是5的平方数，得数是100×去掉个位上的5剩下的数×（去掉个位上的5剩下的数+1）+25；即可得出答案；
（2）验证（1）中结论左右是否相等，只要把上面的结论的左边去掉括号化简看看是否等于右边即可判断；
（3）运用这个规律进行计算，即可求出答案．
【详解】
解：（1）根据题意：（10+5）2=100××（+1）+25；
故答案为：；
（2）证明：左边=，
右边=，
∴左边=右边，
∴成立；
（3）当时，则；
当时，则；
故答案为：；；；．
【点睛】
此题考查数字的变化规律，从简单情形考虑，找出一般规律，利用规律解决问题．
15．同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决．
例如：计算．
此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂，但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单．
分析方法：因为，，，．
所以，将以上4个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下：




（1）________；
（2）应用上面的方法计算：．
（3）类比应用上面的方法探究并计算：．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据题中式子的计算规律直接计算即可；
（2）根据题目中式子的特点，将各式化为两个数的差，再根据有理数的加减法法则计算；
（3）根据题目中式子的特点，将各式化为两个数的差，再根据有理数的加减法法则计算.
【详解】
（1）∵，，，，
∴，
故答案为：＇
（2）
=
=
=；
（3）
=
=
=
=.
【点睛】
此题考查有理数的混合运算，数字类规律的探究，根据题意得到此题的计算规律是解题的关键.
16．观察下列等式：；；．将以上三个等式两边分别相加，得．
（1）仿照上面的形式猜想并写出：______________．
（2）已知与互为相反数，求的值．
（3）求的值．
【答案】（1），；（2）；（3）．
【分析】
（1）仿照已有等式即可解答；
（2）先根据与互为相反数得到，然后根据绝对值和偶次方的非负性求得a、b的值，然后代入运用题干所给等式解答即可；
（3）先对进行变形，然后再运用题干所给等式解答即可．
【详解】
（1）；
故答案为，；
（2）与互为相反数，

，解得




；
（3）



．
【点睛】
本题主要考查了规律型-数字的变化类，根据已有等式探寻规律并灵活变形成为解答本题的关键．
17．观察下列等式：
；；；；；
请完成下面的问题：
（1）_________________；
（2）的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据所给例子进行解答即可；
（2）根据所给例子，找到规律再进行解答即可．
【详解】
解：（1）
=
=
=；
（2）
=
=
=
=
【点睛】
本题主要考查数字的变化规律和运用已知规律进行运算能力，是一个运用新知识去解决其他问题的好题目．
18．探究发现：
（1）计算并观察下列各式：
；
________；
________；
（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么规律？请根据你发现的规律直接填写下面的空格．
________；
________；
（3）利用该规律计算：．
【答案】（1）x3−1；x4−1；（2）x7−1；xn+1−1；（3）．
【分析】
（1）利用平方差公式，依此类推得到结果即可；
（2）利用发现的规律填写即可；
（3）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结论．
【详解】
（1）；
x3−1；
x4−1；
故答案为：x3−1；x4−1；
（2）由已知的等式可得x7−1；
xn+1−1；
故答案为：x7−1；xn+1−1；
（3）
=
=
=．
【点睛】
本题主要考查平方差公式，发现题目中的规律是解决问题的关键．
19．观察规律并填空．
；
；
；
；
…
________（用含n的代数式表示，n是正整数，且）．
【答案】
【分析】
利用平方差公式对每个括号进行分解，再化简即可．
【详解】

＝
＝
＝
故答案为：．
【点睛】
本题考查了利用平方差公式进行因式分解找规律的问题，灵活利用公式进行变形时是解题关键．
20．观察下列等式＝1﹣，＝﹣，＝﹣，将以上三个等式两边分别相加得++＝1﹣+﹣+﹣＝1﹣＝．
（1）猜想并写出；
（2）+++…+＝；
（3）探究并计算：；
（4）计算：．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
（1）观察已知等式，进行归纳类推即可得；
（2）根据（1）中的猜想进行计算即可得；
（3）先根据乘法分配律提取，再参照（2）进行计算即可得；
（4）先根据乘法分配律提取，再参照（2）进行计算即可得．
【详解】
（1），
，
，
归纳类推得：，
故答案为：；
（2），
，
，
，
故答案为：；
（3），
，
，
，
，
；
（4），
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了有理数乘法与加减法的规律性问题，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
21．阅读下面的问题：
；
；
；
……
（1）求与的值.
（2）比较与的大小，并说明理由.
（3）若，求的值.
【答案】（1）；；（2），理由见解析；（3）121
【分析】
（1）根据所给等式的变化规律即可求解；
（2）先化成分数形式，通过比较分母大小即可解答；
（3）根据规律先化简，再解方程即可解答．
【详解】
（1），
；
（2）∵，
，
，
∴，
∴；
（3）由
得：，
∴即，
解得：．
【点睛】
本题考查了二次根式的加减运算、分母有理化、实数的大小比较，找出规律并能灵活运用是解答的关键．
22．观察下列各式：=1－，=－，=－．
（1）请根据以上式子填空：
①=　　　　，②=　　　　（n是正整数）
（2）由以上几个式子及你找到的规律计算：
+++．．．．．．．．．．．．+
【答案】（1）①，②；（2）
【分析】
（1）仔细观察所给式子的结构，发现规律，即可解答；
（2）根据发现的规律变形原式，进行合并化简即可解答．
【详解】
（1）仔细观察，发现，则，
故答案为：①，②；
（2）根据，
则+++．．．．．．．．．．．．+
=
=
=．
【点睛】
本题考查数字规律的探索、有理数的混合运算，解答的关键是发现式子的变化规律，根据规律变形原式，从而使计算简单化．
23．在进行二次根式计算时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一式），
（二式），
（三式）．
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（四式）．
（1）请用不同的方法化简
参照（三式）化简
参照（四式）化简
（2）化简：
【答案】（1）参照（三式）：；参照（四式）：；（2）
【分析】
（1）参照（三式）：将的分子分母同乘以进行化简；参照（四式）：将中的分子2化为，进而求解；
（2）先将各项进行分母有理化，最后合并即可．
【详解】
解：（1）参照（三式）：原式；
参照（四式）：原式；
（2）原式，
，
，
．
【点睛】
本题考查分母有理化，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．

三、填空题
24．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，如图所示把边长分别为x1，x2，x3，…，xn的n个正方形依次放入△ABC中，则第n个正方形的边长xn＝________（用含n的式子表示，n≥1）．

【答案】或
【分析】
根据相似三角形的性质就可以求出第一个正方形的边长，其它正方形的边长求法相同，即可求出xn的一般式．
【详解】
解：根据题意，如下图所示，

∵四边形DCEF是正方形，
∴DF∥CE，
∴△BDF∽△BCA，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
同理解得：第二个的边长是，
第三个的边长是；
……
∴第n个正方形的边长；
故答案为：或．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质，根据对应边的比相等求出边长，是解决本题的关键．
25．阅读下文，寻找规律，并填空：
已知x≠1，计算：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5
观察上式，并猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝___．
【答案】1﹣xn+1
【分析】
根据平方差公式和已知条件特点，便可归纳出来即可．
【详解】
解：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝1﹣xn+1；
故答案为：1﹣xn+1．
【点睛】
本题考查多项式乘多项式、规律型：数字的变化类、平方差公式，关键是根据题目找出规律是关键．
26．已知，，，．根据上面四式的计算规律求：____________（写出某数的平方即可）．
【答案】
【分析】
观察可得规律：结果等于中间数的平方．
【详解】
∵1+2+1=4=22，
1+2+3+2+1=9=32，
1+2+3+4+3+2+1=16=42，
1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=52，
…
根据观察可得规律：结果等于中间数的平方；
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．通过观察、归纳、总结得出规律即最中间数的平方是解题的关键．
27．观察下列各式：1-=，1-=，1-=，根据上面的等式所反映的规律（1-）（1-）（1-）=________
【答案】
【分析】
先根据已知等式探索出变形规律，然后根据规律进行变形，计算有理数的乘法运算即可．
【详解】
解：由已知等式可知：，
，
，
归纳类推得：，其中n为正整数，
则，
因此，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是有理数运算的规律题，根据已知等式探索出运算规律并应用是解题关键．
28．观察给定的分式，探索规律：
（1），，，，…其中第6个分式是__________；
（2），，，，…其中第6个分式是__________；
（3），，，，…其中第n个分式是__________（n为正整数）．
【答案】
【分析】
（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，第六个分式的分子是6，分母是 x6
（2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，第六个分式是负号，分子是x12，分母是 y11,
（3）分子是以b为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n个指数是3n-1；分母是以a为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n个分式的符号是（-1）n, 分子是b3n-1，分母是 an,
【详解】
解：（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，所以，第六个分式是，
（2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，所以，第六个分式是，
（3）分子是以b为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n个指数是3n-1；分母是以a为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n个符号为（-1）n，所以，第六个分式是
【点睛】
本题考查了数字之间的规律，连续正整数、奇数、偶数和依次递增3的数字规律，包括符号依次变化规律，熟练掌握特殊数字之间的规律是解题关键
29．，，，，，其中n为正整数，则的值是__________．
【答案】
【分析】
根据题目条件，先求出，，，的值，代入原式后求出各式的算术平方根，再利用裂项公式进行化简与计算，即可求解．
【详解】
解：，
，
，

，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是找出，，，的值的规律，再用裂项法求出结果．
30．观察下列各式：；；；……；则＝_____．
【答案】
【分析】
观察其右边的结果：第一个是x2−1；第二个是x3−1；…依此类推，得出第n个的结果，从而得出要求的式子的值．
【详解】
根据给出的式子的规律可得：（x−1）（xn＋xn−1＋…x＋1）＝xn＋1−1，
则22008＋22007＋22006＋……＋22＋2＋1
=（2-1）×（22008＋22007＋22006＋……＋22＋2＋1）
=22009−1；
故答案为：22009−1．
【点睛】
本题考查了平方差公式，发现规律：右边x的指数正好比前边x的最高指数大1是解题的关键．
31．如图为杨辉三角表，它可以帮助我们按规律写出（其中n为正整数）展开式的系数，请仔细观察表中规律可得：；； ……；
如果……．
那么＝________．

【答案】7
【分析】
根据题意写出杨辉三角表的第六行的数，从而可以得到x和y的值，即可求出结果．
【详解】
解：根据杨辉三角表，第六行的数依次是1、5、10、10、5、1，
∴，
∴，即，
∴．
故答案是：7．
【点睛】
本题考查找规律，解题的关键是理解杨辉三角表，按照规律写出第六行的数．
32．有一列式子，按一定规律排列成，，，，，…，第n个式子为_____（n为正整数）．
【答案】
【分析】
通过观察发现：每项前面的系数是前一项的系数乘以，每一项的次数是．
【详解】
解：每项前面的系数是前一项的系数乘以，
∴第n项的系数是，
每一项的次数是，
∴第n个式子为．
故答案是：．
【点睛】
本题考查找规律，解题的关键是能够找出这列式子的规律．
33．计算：______．
【答案】
【分析】
对式子中的各项进行裂项变形，再进行加减运算即可得到答案．
【详解】
解：∵，


⋯⋯

∴

=
=．
【点睛】
本题考查了数字的变化，有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的特点，求出所求式子的值．
34．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m2﹣m＝0（m＞0），当m＝1、2、3、…2020时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，…，α2020、β2020，则的值为_____．
【答案】
【分析】
由一元二次方程根与系数的关系解题，即．
【详解】
解：∵x2+2x﹣m2﹣m＝0，m＝1，2，3，…，2020，
∴由根与系数的关系得：α1+β1＝﹣2，α1β1＝﹣1×2；α2+β2＝﹣2，α2β2＝﹣2×3；…α2020+β2020＝﹣2，α2020β2021＝﹣2020×2021；
∴原式＝




故答案为：．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．