2021年中考数学复习难点突破专题05 新定义问题

这是一份2021年中考数学复习难点突破专题05 新定义问题，共77页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
专题05新定义问题
一、单选题
1．定义：表示不超过实数的最大整数例如：，，根据你学习函数的经验，下列关于函数的判断中，正确的是（ ）
A．函数的定义域是一切整数
B．函数的图像是经过原点的一条直线
C．点在函数图像上
D．函数的函数值随的增大而增大
2．一个含有多个字母的整式，如果把其中任何两个字母互换位置，所得的结果与原式相同，那么称此整式是对称整式．例如，是对称整式，不是对称整式．
①所含字母相同的两个对称整式求和，若结果中仍含有多个字母，则该和仍为对称整式；
②一个多项式是对称整式，那么该多项式中各项的次数必相同
③单项式不可能是对称整式
④若某对称整式只含字母，，，且其中有一项为，则该多项式的项数至少为3．
以上结论中错误的个数是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．已知表示取三个数中最小的那个数，例如：当x=9时，．当时，则x的值为（   ）
A．                            B．                                      C．                                      D．
4．已知正整数n小于100，并且满足等式，其中表示不超过x的最大整数，则这样的正整数n有（）
A．6个 B．10个 C．16个 D．20个
5．设表示大于x的最小整数，如，，则下列结论中正确的有（）
①；
②的最小值是0；
③的最大值是0；
④存在实数x，使成立
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、解答题
6．定义一种新运算“⊕”：a⊕b = 2a-b，比如1⊕(-3) =2×1-（-3）=5
（1）求(－2)⊕3的值：
（2）若3⊕x = (x + 1)⊕5，求x的值；
（3）若x⊕1 = 1⊕y，求代数式4x + 2y + 1的值．
7．阅读材料：对于任意有理数a，b，规定一种新的运算：a⊙b＝a（a＋b）﹣1，例如，2⊙5＝2×（2＋5）﹣1＝13
（1）计算3⊙（﹣2）；
（2）若（﹣1）⊙x＝5，求x的值．
8．在平面直角坐标系中，给出如下定义：若点在图形上，点在图形上，如果两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形的“近距离”，记为．特别地，当图形与图形有公共点时，．
已知A（－4，0），B（0，4），C（4，0），D（0，－4），
（1）d（点A，点C）＝________，d（点A，线段BD）＝________；
（2）⊙O半径为r，
① 当r ＝ 1时，求 ⊙O与正方形ABCD的“近距离”d（⊙O，正方形ABCD）；
② 若d（⊙O，正方形ABCD）＝1，则r ＝___________．
（3）M 为x轴上一点，⊙M的半径为1，⊙M与正方形ABCD的“近距离”d（⊙M，正方形ABCD）＜1，请直接写出圆心M的横坐标 m的取值范围．
9．一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称n为“启航数”，将n的两个数位上的数字对调得到一个新数．把放在n的后面组成第一个四位数，把n放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为，例如：时，，．
（1）计算　　；若m为“启航数”，是一个完全平方数，求的值；
（2）、为“启航数”，其中（1≤b≤a≤9，1≤x、y≤5，且为整数）．规定：，若能被7整除，且，求的最大值．
10．已知一个正整数，把其个位数字去掉，再将余下的数加上个位数字的4倍，如果和是13的倍数，则称原数为“超越数”．如果数字和太大不能直接观察出来，就重复上述过程．如：1131：113+4×1＝117，117÷13＝9，所以1131是“超越数”；又如：3292：329+4×2＝337，33+4×7＝61，因为61不能被13整除，所以3292不是“超越数”．
（1）请判断42356是否为“超越数”　　（填“是”或“否”），若+4c＝13k（k为整数），化简除以13的商（用含字母k的代数式表示）．
（2）一个四位正整数N＝，规定F（N）＝|a+d2﹣bc|，例如：F（4953）＝|4+32﹣5×9|＝32，若该四位正整数既能被13整除，个位数字是5，且a＝c，其中1≤a≤4．求出所有满足条件的四位正整数N中F（N）的最小值．
11．若在一个两位正整数 N 的个位数字与十位数字之间添上数字 2 ，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为 N 的“诚勤数”，如 34 的“诚勤数”为 324 ；若将一个两位正整数 M 加 2 后得到一个新数，我们称这个新数为 M 的“立达数”，如 34 的“立达数”为 36．
（1）求证：对任意一个两位正整数 A ，其“诚勤数”与“立达数”之差能被 6 整除；
（2）若一个两位正整数 B 的“立达数”的各位数字之和是 B 的各位数字之和的一半，求 B 的值．
12．若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P，到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b．定义：若数K＝a2＋b2－ab，则称数K为“尼尔数”．例如：若P所表示的数为3，则a＝2，b＝4，那么K＝22＋42－2×4＝12；若P所表示的数为12，则a＝11，b＝13，那么K＝132＋112－13×11＝147，所以12，147是“尼尔数”．
（1）请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3；
（2）已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数”．
13．任意一个正整数n，都可以表示为：n＝a×b×c（a≤b≤c，a，b，c均为正整数），在n的所有表示结果中，如果|2b﹣（a+c）|最小，我们就称a×b×c是n的“阶梯三分法”，并规定：F（n）＝，例如：6＝1×1×6＝1×2×3，因为|2×1﹣（1+6）|＝5，|2×2﹣（1+3）|＝0，5＞0，所以1×2×3是6的阶梯三分法，即F（6）＝＝2．
（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p是立方数，求证：对于任意一个立方数m，总有F（m）＝2；
（2）t是一个两位正整数，t＝10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，且x≥y，x+y≤10，x和y均为整数），t的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最小值．
14．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN，例如：32＝9，则log39＝2，其中a＝10的对数叫做常用对数，此时log10N可记为lgN．当a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0时，loga（M•N）＝logaM＋logaN．
（1）解方程：logx4＝2；
（2）求值：log48；
（3）计算：（lg2）2＋lg2•1g5＋1g5﹣2018
15．我们把任意形如：的五位自然数（其中，，）称之为对称数，例如：在自然数12321中，，所以12321就是一个对称数．并规定：能被自然数n整除的最大的对称数记为，能被自然数n整除的最小的对称数记为．
（1）写出1个对称数______；
（2）求和的值．
16．对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义：过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个覆盖，点为这个覆盖的一个特征点．例：已知，，则点为线段的一个覆盖的特征点．
（1）已知点，
①在，，中，是的覆盖特征点的为___________；
②若在一次函数的图象上存在的覆盖的特征点，求的取值范围．
（2）以点为圆心，半径为作圆，在抛物线上存在⊙的覆盖的特征点，直接写出的取值范围__________________．
17．如果实数a，b满足的形式，那么a和b就是“智慧数”，用表示．
如：由于，所以是“智慧数”．
（1）下列是“智慧数”的是（填序号）；
①和，②和，③和．
（2）如果是“智慧数”，那么“☆”的值为；
（3）如果是“智慧数”，
①y与x之间的关系式为；
②当x＞0时，y的取值范围是；
③在②的条件下，y随x的增大而（填“增大”，“减小”或“不变”）．
18．对于正整数，，定义一种新算
（1）计算的值为______；
（2）写出的所有可能的值______；
（3）若，其中，，，，，都是正整数），请你写出使成立的一组，，，，，的值______．
（4）若，，都是正整数，则下列说法正确的是（选出所有正确选项）
A．
B．
C．
D．
19．探索新知：
如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”
（1）一个角的平分线______这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，若，且射线是的“巧分线”，则______；（用含的代数式表示）；
深入研究：
如图2，若，且射线绕点P从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为t秒．若射线同时绕点P以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止，请求出当射线是的“巧分线”时的值．

20．数轴上两点A，B，其中A表示的数为-2，B表示的数为2，若数轴上存在一点C，使得AC+2BC=，则称C为点A， B的“和点”(其中AC， BC分别表示点C到点A， B的距离)
(1)若点E在数轴上(不与A， B重合)，若BE=AE，且点E为点A，B的“和点”，则的值可能为_____________________
(2)若点D在是点A，B的“和5点”，则点D表示的数可能为______________．
21．若一个三位数满足个位数字与百位数字的和等于十位数字，则称这个三位数为“友善数”；若两个“友善数”所含数字相同，只是数字所在的数位不同，则称这两个“友善数”互为“友善数”．如：三位数132，百位数字是1，十位数字是3，个位数字是2恰好1+2＝3，所以132是“友善数”，容易判断231与132是互为“友善数”．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）直接写出最小的“友善数”和最大的“友善数”；
（2）已知一个“友善数”（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，且c≠0），请用含b的代数表示与它的“友善数”的和．
22．对x，y定义一种新运算T，规定T(x，y)= (mx +ny)(x+2y) (其中m，n均为非零常数)，如T(1，2)=5m+10n
(1)若T(-1，1)=0且T(0，2)=8，则m=_______．
(2)当u2≠v2时，若T(u，v)=T(v，u)对任意有理数u，v都恒成立，则= ______ ．
23．已知x＝m与x＝n分别是关于x的方程ax+b＝0（a≠0）与cx+d＝0（c≠0）的解．
（1）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与方程6x-7＝4x-5的解相同，求m的值；
（2）当n＝1时，求代数式3c2+cd+2c-2（cdc2-d）的值；
（3）若|m-n|，则称关于x的方程ax+b＝0（a≠0）与cx+d＝0（c≠0）为“差半点方程”．试判断关于x的方程4042x9×2020﹣2020t+x，与4040x+4＝8×2021﹣2020t﹣x，是否为“差半点方程”，并说明理由．
24．阅读下列材料，完成相应的任务：

任务：
（1）下列四个代数式中，是对称式的是　　（填序号即可）；
①a+b+c；②a2+b2；③a2b；④．
（2）写出一个只含有字母x，y的单项式，使该单项式是对称式，且次数为6次；
（3）请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择　　题．
A．已知A＝2a2+4b2，B＝a2﹣2ab，求A+2B，并直接判断所得结果是否为对称式；
B．已知A＝a2b﹣3b2cc2a，B＝a2b﹣5b2c，求3A﹣2B，并直接判断所得结果是否为对称式．
25．把（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．
（1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”；
（2）是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求m的值；
（3）“雅系二元一次方程”（，是常数）存在“完美值”吗？若存在，请求出其“完美值”，若不存在，请说明理由．
26．定义一种新的运算“”：，比如：．
（1）求的值；
（2）若，求x的值．
27．设a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算：，那么当时，x的值是多少？
28．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断方程2x2﹣2x+1＝0是否是“邻根方程”？
（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝12a﹣b2，试求t的最大值．
29．一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a＝b＝0．我们称使得成立的一对数a，b为“师梅数对”，记为（a，b）．
（1）若（1，b）是“师梅数对”，求b的值；
（2）若（m，n）是“师梅数对”，其中m≠0，求；
（3）若（m，n）是“师梅数对”，求代数式的值．
30．阅读理解，我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，请根据阅读理解解答下列各题：
（1）=；
（2）计算：
（3）已知实数，满足行列式，则代数式的值．
31．小明定义了一种新的运算，取名为⊗运算，按这种运算进行运算的算式举例如下：①（+4）⊗（+2）＝+6；②（﹣4）⊗（﹣3）＝+7；③（﹣5）⊗（+3）＝﹣8；④（+6）⊗（﹣4）＝﹣10；⑤（+8）⊗0＝8；⑥0⊗（﹣9）＝9．
问题：
（1）请归纳⊗运算的运算法则：两数进行⊗运算时，　　；特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算，　　．
（2）计算：[（﹣2）⊗（+3）]⊗[（﹣12）⊗0]；
（3）我们都知道乘法有结合律，这种运算律在有理数的⊗运算中还适用吗？请判断是否适用，并举例验证．
32．定义一种新运算“”的含义为：当时，；当时，．例如：，．
（1）填空：________；
（2）如果，求的值．
33．对于实数a、b，定义运算“”如下：．若，求x的值．
34．若规定这样一种新运算法则：，如．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
35．我们定义一种新运算：．
（1）求的值；
（2）若，求x的值．
三、填空题
36．定义：若两个二次根式a、b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．若与是关于2的共轭二次根式，则m的值为___．
37．如图，直线l：经过点M(0，)，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)…Bn(n，yn)（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1(x1，0)，A2(x2，0)，A3(x3，0)…，An+1(xn+1，0)（n为正整数），设x1＝d（0＜d＜1）若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d（0＜d＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d的值是__．

38．式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为，则二阶行列式___________ ．
39．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，则AC的长为_____．
40．定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若，，则P，Q的“实际距离”为5，即或．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A，B，C三个小区的坐标分别为，，，若点M表示单车停放点，且满足M到A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标为______．

41．对任意四个整数a、b、c、d定义新运算：，若1＜＜12，则的取值范围是____．
42．用符号※定义一种新运算※，若3※，则x的值为________．
43．对有理数ab定义运算“⋇”如下：a⋇b=，则（-4）⋇6=_________．
44．若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．则（﹣2）*（6*3）＝_____．
45．对于有理数a、b定义一种运算：，如 1∗2=12-1×2，则计算=_______________
46．若规定“*”的运算法则为a*b＝ab－1，则-2*3＝____________．
一、单选题
1．定义：表示不超过实数的最大整数例如：，，根据你学习函数的经验，下列关于函数的判断中，正确的是（ ）
A．函数的定义域是一切整数
B．函数的图像是经过原点的一条直线
C．点在函数图像上
D．函数的函数值随的增大而增大
【答案】C
【分析】
根据题意描述的概念逐项分析即可．
【详解】
A、对于原函数，自变量显然可取一切实数，则其定义域为一切实数，故错误；
B、因为原函数的函数值是一些整数，则图象不会是一条过原点的直线，故错误；
C、由题意可知，则点在函数图像上，故正确；
D、例如，，即当，时，函数值均为，不是随的增大而增大，故错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查函数的概念以及新定义问题，仔细审题，理解材料介绍的的概念是解题关键．
2．一个含有多个字母的整式，如果把其中任何两个字母互换位置，所得的结果与原式相同，那么称此整式是对称整式．例如，是对称整式，不是对称整式．
①所含字母相同的两个对称整式求和，若结果中仍含有多个字母，则该和仍为对称整式；
②一个多项式是对称整式，那么该多项式中各项的次数必相同
③单项式不可能是对称整式
④若某对称整式只含字母，，，且其中有一项为，则该多项式的项数至少为3．
以上结论中错误的个数是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】
根据对称整式的概念逐一辨析即可．
【详解】
①两个对称整式求和后，与原来对称整式的字母相同，且项数次数等都相同，则这个整式仍然是对称整式，故正确；
②例如：是对称整式，但是每一项的次数不相同，故错误；
③例如：是单项式，也是对称整式，故错误；
④已知其中一项为，
若互换，则有项为：；
若互换，则有项为：，；
若互换，则有项为：；
∴该多项式的项数至少为6，
综上，结论错误的有②③④，
故选：B．
【点睛】
本题考查整式的新定义问题，仔细审题，理解题意是解题关键．
3．已知表示取三个数中最小的那个数，例如：当x=9时，．当时，则x的值为（   ）
A．                                       B．                                       C．                                       D．
【答案】A
【分析】
由于