2022版高考数学二轮复习 课时作业9

课时作业(九)

一、选择题

1．(2021·合肥市第六中学高三模拟)若cos＝，则sin＝(　D　)

A．-　 B．-　

C． D．

【解析】　因为-α＋＝，

所以-α＝-，

所以sin＝cos＝，故选D.

2．已知sin(5π-α)＝3sin，则＝(　C　)

A． B．　

C．-2　　 D．-

【解析】　由sin(5π-α)＝3sin，得sin α＝-3cos α，所以tan α＝-3，则＝＝＝＝-2.故选C.

3．(2021·南山区校级期末)下列区间中，函数f(x)＝7sin单调递增的区间是(　D　)

A． B．

C. D．

【解析】　对于函数f(x)＝7sin，令2kπ-≤x＋≤2kπ＋，求得2kπ-≤x≤2kπ＋，

可得函数的单调递增的区间是，k∈Z，故排除A、B、C，

由于是，k∈Z的一个子集，

故函数在上单调递增，故选D.

4．(2021·四川省绵阳南山中学高三模拟)将函数y＝2sin的图象向左平移个单位长度得到函数y＝f(x)的图象，下列说法正确的是(　D　)

A．f(x)是奇函数

B．f(x)的周期是

C．f(x)的图象关于直线x＝-对称

D．f(x)的图象关于点对称

【解析】　由题意可得

f(x)＝2sin ＝2sin＝2cos 2x，

对于A，函数y＝f(x)是偶函数，A错误；

对于B，函数y＝f(x)最小周期是＝π，B错误；

对于C，由f＝，则直线x＝-不是函数y＝f(x)图象的对称轴，C错误；

对于D，由f＝0，则是函数y＝f(x)图象的一个对称中心，D正确．故选D.

5．(2021·黑龙江佳木斯一中高三三模)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　D　)

A．f(x)的最小正周期为

B．f(x)在区间上单调递减

C．f(x)的图象关于直线x＝对称

D．f(x)的图象关于点成中心对称

【解析】　根据g(x)的部分图象，可得A＝2，·＝＋，∴ω＝2.

结合五点法作图，可得2×＋φ＝，

∴φ＝，故g(x)＝2sin.

由题意，把g(x)的图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位，

可得f(x)＝2sin＝2sin的图象，

故f(x)的最小正周期为，故A错误；

在区间上，3x-∈，f(x)没有单调性，故B错误；

令x＝，求得f(x)＝0，不是最值，f(x)的图象不关于直线x＝对称，故C错误；

令x＝，求得f(x)＝0，故f(x)的图象关于点对称，故D正确，故选D.

6．若将函数y＝3cos的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是(　A　)

A． B．

C. D．

【解析】　将函数y＝3cos的图象向右平移个单位长度，得y＝3cos ＝3cos的图象，由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，所以平移后图象的一个对称中心是，故选A．

二、填空题

7．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2x-y＝0上，则＝__2__.

【解析】　设点P(a，2a)(a≠0)为角θ终边上任意一点，根据三角函数的定义有tan θ＝＝2，再根据诱导公式，得＝＝＝2.

8．(2021·全国高三模拟)若y＝sin ωx-cos ωx是区间上的单调函数，则正数ω的最大值是____.

【解析】　y＝sin ωx-cos ωx＝sin，

由ω>0且x∈，

所以-≤ωx-≤-，

因为y＝sin x在上为增函数，

所以-≤，可得ω≤，

所以正数ω的最大值是.

故答案为.

9．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，若f＝f＝0，则f(π)＝____.

【解析】　解法一：因为f＝f＝0，所以得(k1，k2∈Z)，两式相减得，ω＝k2-k1(k1，k2∈Z)．因为0<ω<3，且k2-k1是整数，所以ω＝2.将点看作“五点”中的第一点，则-＋φ＝0，所以φ＝，满足|φ|<.所以f(x)＝sin，所以f(π)＝.

解法二：设f(x)的最小正周期为T，由f＝f＝0可得x＝-和x＝是函数f(x)的两个零点，所以k1·＝π-＝(k1∈N)，即T＝(k1∈N)，又知T＝(ω>0)，所以＝(k1∈N)，所以ω＝2k1(k1∈N)，又0<ω<3，所以当k1＝1时，ω＝2.所以f(x)＝sin(2x＋φ)．由f＝0，得-＋φ＝k2π(k2∈Z)，所以φ＝k2π＋(k2∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，则f(x)＝sin，所以f(π)＝.

三、解答题

10．已知函数f(x)＝tan.

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)设β∈(0，π)，且f(β)＝2cos，求β的值．

【解析】　(1)由x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z.

所以函数f(x)的定义域是.

(2)依题意，得tan＝2cos.

所以＝2sin.

整理得sin·＝0，

所以sin＝0或cos＝.

因为β∈(0，π)，所以β＋∈.

由sin＝0，得β＋＝π，即β＝；

由cos＝，即β＋＝，即β＝.

所以β＝或β＝.

11．(2021·仓山区校级期末)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；

(2)若x∈[0，π]，且方程f(x)-m＝0有两个不同的实数根，求实数m的取值范围以及这两个根的和．

【解析】　(1)由图象可知，A＝2，T＝÷＝π，

所以ω＝＝2，则f(x)＝2sin(2x＋φ)，

又函数f(x)的图象经过点，

所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，

又|φ|＜，则φ＝，所以f(x)＝2sin.

(2)因为方程f(x)-m＝0(x∈[0，π])有两个不同的实数根，

则函数y＝f(x)(x∈[0，π])的图象与g(x)＝m的图象有两个不同的交点，

作出函数图象如图所示，

由图象可知，当-2＜m＜1或1＜m＜2时，函数y＝f(x)(x∈[0，π])的图象与g(x)＝m的图象有两个不同的交点，即方程f(x)-m＝0(x∈[0，π])有两个不同的实数根，

所以实数m的取值范围为(-2，1)∪(1，2)，

当-2＜m＜1时，两交点关于直线x＝对称，故两根之和为；当1＜m＜2时，两交点关于直线x＝对称，故两根之和为.综上所述，两根之和为或.

12．(2021·香坊区校级月考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)一个周期的图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)的单调递增区间；

(3)若关于x的方程g(x)＝f2(x)-2mf(x)在x∈上的最小值为-3，求实数m的值．

【解析】　(1)根据图象可得A＝1，

由＝＋＝，

即函数f(x)的周期T＝π，

∴T＝＝π，∴ω＝2，

即f(x)＝sin(2x＋φ)，

图象过，代入f(x)可得

解得φ＝，即f(x)＝sin，

所以，函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.

(2)令2kπ-≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z.

解得：-＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

所以，函数f(x)的单调递增区间为

(k∈Z)．

(3)令t＝f(x)，则y＝t2-2mt，对称轴为t＝m，

因为x∈，所以t∈.

当m＜-时，g(x)min＝＋m＝-3，

所以m＝-成立；

当-≤m≤1时，g(x)min＝-m2＝-3，

所以m＝±不成立；

当m＞1时，g(x)min＝1-2m＝-3，所以m＝2成立；

综上所述，m＝-或m＝2.