2022版高考数学二轮复习 课时作业12

课时作业(十二)

一、选择题

1．(2021·河南新乡市高三一模)已知数列{an}满足a2n-a2n-1＝3n-1，a2n＋1＋a2n＝3n＋5(n∈N＋)，则数列{an}的前40项和S40＝(　A　)

A． B．

C．910＋98 D．920＋98

【解析】　由题意可得，，两式相减得：a2n＋1＋a2n-1＝6，，两式相加得：a2n＋2＋a2n＝4×3n＋4，故S40＝(a1＋a3＋…＋a37＋a39)＋(a2＋a4＋…＋a38＋a40)＝6×10＋4×10＋4×(31＋33＋…＋319)＝100＋4×＝.

2．(2021·5月份模拟)若数列{an}满足a1＝3，an＝3an-1＋3n(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝(　C　)

A．2×3n B．

C．n·3n D．

【解析】　数列{an}满足a1＝3，an＝3an-1＋3n(n≥2)，

可得＝＋1(n≥2)，＝1，

所以数列是等差数列，公差为1，首项为1，

所以＝n，

所以an＝n·3n.故选C.

3．已知数列{an}满足0<an<1，a-8a＋4＝0，且数列是以8为公差的等差数列，设{an}的前n项和为Sn，则满足Sn>10的n的最小值为(　B　)

A．60　 B．61　

C．121　　 D．122

【解析】　由a-8a＋4＝0

得a＋＝8，

所以a＋＝8＋8(n-1)＝8n，

所以＝a＋＋4＝8n＋4.

所以an＋＝2，

即a-2an＋2＝0，

所以an＝，

因为0<an<1，

所以an＝-，

所以Sn＝-1，由Sn>10，

得>11，即n>60，故选B.

4．(2021·全国高三模拟)已知数列{an}满足an＋1＋a＋an＋1＝0(n∈N*)，且{an}中任何一项都不为-1，设数列的前n项和为Sn，若S2 021＝，则a1的值为(　D　)

A．　 B．1　

C．　　 D．-

【解析】　因为an＋1＋a＋an＋1＝0，

所以-an＋1-1＝an(an＋1)，

所以-＝＝-，

即＝-，

所以Sn＝＋＋…＋＝-，

S2 021＝-＝，

所以＝＋＝3，

所以a1＝-.故选D.

5．(2021·四川省绵阳南山中学高三模拟)设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an-4n，若bn＝，且数列{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝(　D　)

A．n B．＋

C．n D．n

【解析】　由an＋1＝3an-4n可得an＋1-(2n＋3)＝3，

∵a1＝3，∴a1-(2×1＋1)＝0，

则可得数列{an-(2n＋1)}为常数列0，即an-(2n＋1)＝0，∴an＝2n＋1，

∴bn＝＝＝1＋＝1＋-，

∴Sn＝n＋＝n＋-＝n.故选D.

6．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(2n-1)·3n.设bn＝，Sn为数列{bn}的前n项和，若Sn<λ(λ为常数，n∈N*)，则λ的最小值是(　C　)

A． B．　

C． D．

【解析】　a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(2n-1)·3n，①

当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n-1)an-1＝(2n-3)·3n-1，②

①-②得，nan＝4n·3n-1(n≥2)，即an＝4·3n-1(n≥2)．当n＝1时，a1＝3≠4，所以an＝

bn＝

所以Sn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋＋…＋，③

Sn＝＋＋＋＋…＋＋，④

③-④得，Sn＝＋＋＋＋…＋-＝＋-，

所以Sn＝-<，所以易知λ的最小值是，故选C.

二、填空题

7．(2021·福建高三模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为__an＝__.

【解析】　由Sn＝n2an，可得当n≥2时，Sn-1＝(n-1)2an-1，

则an＝Sn-Sn-1＝n2an-(n-1)2an-1，即(n2-1)an＝(n-1)2an-1，故＝，

所以an＝··…··a1＝··…××1＝.

当n＝1，a1＝1满足an＝.

故数列{an}的通项公式为an＝.

故答案为an＝.

8．已知数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x-y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为__an＝×4n-1-__.

【解析】　因为点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x-y＋1＝0上，

所以4an-an＋1＋1＝0.

所以an＋1＋＝4.

因为a1＝3，所以a1＋＝.

故数列是首项为，公比为4的等比数列．

所以an＋＝×4n-1，故数列{an}的通项公式为an＝×4n-1-.

9．(2021·江西高三模拟)单调递增的等比数列{an}满足a1＋a2＋a3＝14，a1a2a3＝64，令bn＝log2an，则的前10项和为____.

【解析】　设单调递增的等比数列{an}的公比为q，则q>1，

则，所以，

消去a1得＝，即2q2-5q＋2＝0，

解得q＝2或q＝(舍)，

所以a1＝2，an＝a1qn-1＝2×2n-1＝2n，bn＝log2an＝log22n＝n，

所以＝＝-，

所以＋＋…＋＝1-＋-＋…＋-＝1-＝.

故答案为.

三、解答题

10．(2021·全国高三模拟)已知数列{an}是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S6＝39，且a2，a4，a12成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝2an＋an，求数列{bn}的前n项和Tn.

【解析】　(1)设等差数列{an}公差为d(d≠0)，

∵S6＝6a1＋d＝39，

∴a1＝-d①，

a2，a4，a12成等比数列得：(a1＋d)·(a1＋11d)＝(a1＋3d)2，整理得：d2＋3a1d＝0，

∵d≠0，∴d＝-3a1②，

由①②解得：d＝3，a1＝-1，∴an＝-1＋3(n-1)＝3n-4.

(2)由(1)得：bn＝23n-4＋3n-4，由于＝2d＝8(n≥2)为常数，∴数列{2an}为公比为8的等比数列，

∴Tn＝2-1＋22＋25＋…＋23n-4＋(-1)＋2＋5＋…＋(3n-4)

＝＋＝＋--.

11．(2021·全国高三模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＋1-1＝2Sn＋n.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列的前n项和Tn.

【解析】　(1)因为Sn＋1-1＝2Sn＋n，

所以Sn＋1＋(n＋3)＝2[Sn＋(n＋2)]，

所以数列{Sn＋(n＋2)}是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以Sn＋(n＋2)＝2n＋1，

所以Sn＝2n＋1-n-2，

当n≥2时，

an＝Sn-Sn-1＝2n＋1-n-2-(2n-n-1)＝2n-1，

当n＝1时也成立，所以an＝2n-1.

(2)令bn＝＝＝

-，

所以数列{bn}前n项和

Tn＝＋＋…＋-

＝1-.

12．(2021·浙江高考真题)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝-，且4Sn＋1＝3Sn-9.

(1)求数列{an}的通项；

(2)设数列{bn}满足3bn＋(n-4)an＝0，记{bn}的前n项和为Tn，若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，求λ的范围．

【解析】　(1)当n＝1时，4(a1＋a2)＝3a1-9，

4a2＝-9＝-，∴a2＝-，

当n≥2时，由4Sn＋1＝3Sn-9①，

得4Sn＝3Sn-1-9②，①-②得4an＋1＝3an，

a2＝-≠0，∴an≠0，∴＝，

又＝，∴{an}是首项为-，公比为的等比数列，

∴an＝-·＝-3·.

(2)由3bn＋(n-4)an＝0，得bn＝-an＝(n-4)，

所以Tn＝-3×-2×-1×＋0×＋…＋(n-4)·，

Tn＝-3×-2×-1×＋…＋(n-5)·＋(n-4)·，

两式相减得Tn＝-3×＋＋＋＋…＋-(n-4)·

＝-＋-(n-4)

＝-＋-4-(n-4)·

＝-n·，

所以Tn＝-4n·，

由Tn≤λbn得-4n·≤λ(n-4)·恒成立，

即λ(n-4)＋3n≥0恒成立，

n＝4时不等式恒成立；

n<4时，λ≤-＝-3-，得λ≤1；

n>4时，λ≥-＝-3-，得λ≥-3；

所以-3≤λ≤1.