2022版高考数学二轮复习 课时作业14理

课时作业(十四)(理科)

一、选择题

1．(2021·贵州凯里一中高三三模)已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则一定能使m∥n成立的是(　D　)

A．α∥β，m⊂α，n⊂β B．m、n与平面α所成角相等

C．α⊥β，m⊥α，n∥β D．α∥β，m⊥α，n⊥β

【解析】　对于选项A，m与n还可能是异面直线；

对于选项B，m与n还可能是相交直线、异面直线；

对于选项C，m与n可能是相交直线、异面直线；

对于选项D，若α∥β，m⊥α，n⊥β，则一定有m∥n成立．故选D.

2．(2021·陕西高三模拟)已知m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是(　D　)

A．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n

B．若m⊥n，n⊥β，α⊥β，则m⊥α

C．若m∥α，n⊂α，则m与n异面

D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β

【解析】　由题意，直线m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，

对于A中，若m∥α，n∥β，α⊥β，可能m∥n，所以A不正确；

对于B中，若m⊥n，n⊥β，α⊥β，可能m∥α，所以B不正确；

对于C中，若m∥α，n⊂α，则m与n异面或m∥n，所以C不正确；

对于D中，由m⊥α，m∥n，可得n⊥α，又由n⊥β，所以α∥β，所以D正确．故选D.

3．(2021·全国高三模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则下列命题正确的为(　C　)

①若m∥β，n∥α，则α∥β；

②若m⊥β，n⊥α，则α⊥β；

③若α∥β，则m∥β，n∥α；

④若α⊥β，则m⊥β，n⊥α.

A．①③　 B．①④　

C．②③　　 D．②④

【解析】　

对于命题①，在如图正方体ABCD-EFGH中，若α为底面ABCD，m为直线CD，β为面ABFE，n为直线EF，则m∥β，n∥α，但α⊥β，不满足α∥β，

所以①错误；

对于命题②，若m⊥β，且m⊂α，由面面垂直的判定定理得α⊥β，所以正确；

对于命题③，若α∥β，且m⊂α，n⊂β，由面面平行的性质，则m∥β，n∥α，所以正确；

对于命题④，在如图正方体ABCD-EFGH中，若α为底面ABCD，β为面ABFE，

则α⊥β，又m⊂α，n⊂β，令m为直线CD，n为直线EF，则m∥β，n∥α，

不满足m⊥β，n⊥α，所以不正确；综上，②③正确．故选C.

4．(2021·陕西西安一模)过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有(　C　)

A．2条 B．4条

C．6条 D．8条

【解析】　

如图，过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线只可能落在平面DEFG内(其中D，E，F，G分别为三棱柱棱的中点)，易知经过D，E，F，G中任意两点的直线共有C＝6种，故选C.

5．(2021·全国高三模拟)如图，四边形ABCD，A1ADD1，C1CDD1均为正方形．动点E在线段A1C1上，F，G，M分别是AD，BE，CD的中点，则下列选项正确的是(　B　)

A．GM∥CE

B．BM⊥平面CC1F

C．存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1D

D．存在点E，使得平面BEF⊥平面AA1C1C

【解析】　对于A，取BC的中点N，连接GN，因为G是BE的中点，所以GN∥CE，

若GM∥CE，则GM∥GN，这与GM∩GN＝G矛盾，故选项A错误；

对于B，因为平面ABCD⊥平面CC1D1D，平面ABCD∩平面CC1D1D＝CD，C1C⊥CD，

所以C1C⊥平面ABCD，又BM⊂平面ABCD，所以CC1⊥BM，

又BM⊥CF，且CC1∩CF＝C，CC1，CF⊂平面CC1F，

则BM⊥平面CC1F，故选项B正确；

对于C，因为直线BF与平面CC1D1D有交点，所以不存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1D，故选项C错误；

对于D，连接BD，因为四边形ABCD为正方形，

所以AC⊥BD，因为CC1⊥平面ABCD，CC1⊂平面ACC1A1，所以平面ABCD⊥平面ACC1A1，

又平面ABCD∩平面AA1C1C＝AC，AC⊥BD，则BD⊥平面ACC1A1，

记AC∩BD＝H，则BH⊥平面AA1C1C，且H不在平面BEF，

所以不存在点E，使得平面BEF⊥平面AA1C1C，故选项D错误．故选B.

6．(2021·福建高三三模)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BC⊥CD，AB∥CD，BC＝，AA1＝AB＝AD＝2，点P，Q，R分别在棱BB1，CC1，DD1上，若A，P，Q，R四点共面，则下列结论错误的是(　C　)

A．任意点P，都有AP∥QR

B．任意点P，四边形APQR不可能为平行四边形

C．存在点P，使得△APR为等腰直角三角形

D．存在点P，使得BC∥平面APQR

【解析】　对于A：由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，

AB∥CD，

所以平面ABB1A1∥平面DCC1D1，

又因为平面APQR∩平面ABB1A1＝AP，平面APQR∩平面DCC1D1＝QR，

所以AP∥QR，故A正确；

对于B：若四边形APQR为平行四边形，则AR∥QP，

而AD与BC不平行，即平面ADD1A1与平面BCC1B1不平行，

所以平面APQR∩平面BCC1B1＝PQ，平面APQR∩平面ADD1A1＝AR，

直线PQ与直线AR不平行，

与AR∥QP矛盾，

所以四边形APQR不可能是平行四边形，故B正确；

对于C：假设存在点P，使得△APR为等腰直角三角形，令BP＝x，

过点D作DE⊥AB，则DE＝BC＝，在线段DR上取一点M使得DM＝BP＝x，连接BD，PM，则四边形BDMP为矩形，所以MP＝BD＝2，

则PR＝＝，

AP＝＝，

AR＝＝

显然AR≠PR，AP≠PR，

若由AP＝AR，则BP＝DR＝x且BP∥DR⇒四边形BPDR为平行四边BPDR，

所以RP＝＝2＝AP＝＝，无解，故C错误；

对于D：当BP＝CQ时，满足BC∥平面APQR，故D正确．故选C.

二、填空题

7．在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点，若平面BC1D∥平面AB1D1，则＝__1__.

【解析】　如图所示，连接A1B，与AB1交于点O，连接OD1，∵平面BC1D∥平面AB1D1，平面BC1D∩平面A1BC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，∴BC1∥D1O，∴＝，同理AD1∥DC1，∴＝，∴＝，

又∵＝1，∴＝1，即＝1.

8．(2021·海原县第一中学高三二模)下列说法正确的是__①④__.

①两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；

②过空间中任意三点有且仅有一个平面；

③若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；

④若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.

【解析】　

根据空间中直线之间的位置关系可判断①、②、③，再由线面垂直的性质可判断④.

对于①，如图，

两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，故①正确；

对于②，过空间中不在同一直线上的三点有且仅有一个平面，故②错误；

对于③，若空间两条直线不相交，则这两条直线平行或异面，故③错误；

对于④，若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l，故④正确．

∴正确的是①④.

9．如图，在以角C为直角顶点的三角形ABC中，AC＝8，BC＝6，PA⊥平面ABC，F为PB上的点，在线段AB上有一点E，满足BE＝λAE.若PB⊥平面CEF，则实数λ的值为____.

【解析】　∵PB⊥平面CEF，∴PB⊥CE，又PA⊥平面ABC，CE⊂平面ABC，∴PA⊥CE，而PA∩PB＝P，∴CE⊥平面PAB，∴CE⊥AB，∴λ＝＝＝＝.

三、解答题

10．(2021·全国高三模拟)已知如图，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥CD，EB⊥平面ABCD，EF∥CD，CD＝2，EB＝，EF＝1，BC＝，且M是AD的中点．

(1)求证：FM∥平面BDE；

(2)求三棱锥C-ABF的体积V.

【解析】　(1)如图所示：

连接AC交BD与O，连接OM，OE，

因为四边形ABCD为平行四边形，EF∥CD，且M是AD的中点，

所以EF∥OM，且EF＝OM，

所以四边形EFMO为平行四边形，

所以FM∥OE，

又因为FM⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，

所以FM∥平面BDE.

(2)因为四边形ABCD为平行四边形，

所以S△ABC＝S△BDC＝BD·DC＝×3×2＝3，

因为EB⊥平面ABCD，EF∥CD，

所以点F到平面ABCD的距离等于点E到平面ABCD的距离，

所以VC-ABF＝VF-ABC＝VE-BCD＝S△BDC·EB＝×3×＝.

11．(2021·全国高三模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD.

(1)求证：平面PAC⊥平面PBD；

(2)若E为棱BC的中点，在棱PA上求一点F，使BF∥平面PDE.

【解析】　(1)证明：因为PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD；

又底面ABCD为正方形，所以BD⊥AC，AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC，

又BD⊂平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD，得证．

(2)如图所示，取PA的中点Q，PD的中点H，连接BQ、QH、HE，

所以有QH∥AD，QH＝AD，又BE∥AD，BE＝AD，

所以QH∥BE且QH＝BE，

所以四边形BQHE为平行四边形，

所以BQ∥EH，BQ⊄面PDE，EH⊂面PDE，

所以BQ∥平面PDE，

所以Q点，即为我们要找的F点．

12．如图(1)，在正△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BE＝AF＝2CF.点P为边BC上的点，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图(2)所示．

(1)求证：A1E⊥FP；

(2)若BP＝BE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

【解析】　

(1)证明：在正△ABC中，取BE的中点D，

连接DF，如图所示．

因为BE＝AF＝2CF，

所以AF＝AD，AE＝DE，

而∠A＝60°，

所以△ADF为正三角形．

又AE＝DE，所以EF⊥AD.

所以在题图(2)中，A1E⊥EF.

又A1E⊂平面A1EF，平面A1EF⊥平面BEFC，

且平面A1EF∩平面BEFC＝EF，

所以A1E⊥平面BEFC.

因为FP⊂平面BEFC，所以A1E⊥FP.

(2)在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行．

理由如下：

如题图(1)，在正△ABC中，

因为BP＝BE，BE＝AF，

所以BP＝AF，所以FP∥AB，

所以FP∥BE.

如图所示，取A1P的中点M，连接MK，

因为点K为棱A1F的中点，

所以MK∥FP.

因为FP∥BE，所以MK∥BE.

因为MK⊄平面A1BE，BE⊂平面A1BE，

所以MK∥平面A1BE.

故在平面A1FP上存在过点K的直线MK与平面A1BE平行．