2022版高考数学二轮复习 课时作业19

课时作业(十九)

一、选择题

1．(2021·全国高三模拟)双曲线-y2＝2的焦点为(　D　)

A．(±2，0) B．(±，0)

C．(±，0) D．(±，0)

【解析】　双曲线-y2＝2化标准方程为：-＝1，所以焦点在x轴上，

可得a＝2，b＝，c2＝a2＋b2＝10，c＝，

所以双曲线的焦点坐标：(，0)，(-，0)．故选D. 

2．(2021·陕西高三模拟)抛物线y＝ax2(a>0)上点M到其准线l的距离为1，则a的值为(　B　)

A． B．　

C．2　　 D．4

【解析】　抛物线y＝ax2(a>0)即x2＝y(a>0)，可得准线方程y＝-，

抛物线y＝ax2(a>0)上点M到其准线l的距离为1，

可得：＋＝1，解得a＝.故选B.

3．(2021·龙岩期末)已知椭圆＋＝1的一个焦点为F(-，0)，则这个椭圆的方程是(　C　)

A．＋＝1 B．＋＝1

C.＋＝1 D．＋＝1

【解析】　∵椭圆＋＝1的一个焦点为F(-，0)，

∴b2＝2，c＝，

∴a2＝b2＋c2＝3＋2＝5，

∴椭圆方程为＋＝1.故选C.

4．(2021·全国高三模拟)若双曲线-＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　A　)

A．y＝±x B．y＝±2x

C．y＝±x D．y＝±x

【解析】　由题意知2b＝2，2c＝2，

所以b＝1，c＝，

由a2＝c2-b2＝2，解得a＝，

该双曲线的焦点在y轴上，

所以渐近线方程为y＝±x＝±x.故选A．

5．(2021·黑龙江哈师大附中高三月考)椭圆＋＝1(p>0)的焦点是双曲线-＝1的焦点，则p＝(　D　)

A．4　 B．3　

C．2　　 D．1

【解析】　椭圆＋＝1(p>0)中，a2＝4p2，b2＝p2，所以c2＝3p2，

在双曲线-＝1中，a2＝p，b2＝2p，所以c2＝3p，

所以c2＝3p2＝3p，解得p＝1.故选D.

6．(2021·全国高三模拟)已知双曲线-＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A，B是虚轴的一个端点，若点F到直线AB的距离为b，则双曲线的渐近线方程为(　B　)

A．y＝±x B．y＝±x

C．y＝±x D．y＝±x

【解析】　因为双曲线方程为-＝1，

所以F(-c，0)，A(a，0)，取B(0，b)，

所以直线AB的方程为＋＝1，

即bx＋ay-ab＝0，所以点F到直线AB的距离为＝b，

因为a2＋b2＝c2，所以c＋a＝c，即c＝4a，所以＝.

所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选B.

7．(2021·贵州凯里一中高三三模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，准线为l，点A(0，8)，线段AF的中点B在C上，则点B到直线l的距离为(　C　)

A．3　 B．4　

C．6　　 D．8

【解析】　求得B点的坐标，代入抛物线方程，由此求得p，进而求得点B到直线l的距离．

焦点F为，线段AF的中点B为，将点B代入C得32＝2p·，解得p＝8，点B到直线l的距离为d＝|BF|＝＋＝p＝6.故选C.

8．(2021·全国高三模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，经过点F的直线l的倾斜角为45°，且直线l交该椭圆于A，B两点，若＝2，则该椭圆的离心率为(　C　)

A． B．　

C． D．

【解析】　由题知，直线l的方程为y＝x-c，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立，整理得(a2＋b2)x2-2a2cx＋a2c2-a2b2＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝，

又＝2，则(c-x1，-y1)＝2(x2-c，y2)，

则x1＋2x2＝3c，结合韦达定理知，

x1＝，x2＝，

则x1x2＝·＝，

整理得2a2＝9c2，则离心率e＝＝，故选C.

二、填空题

9．(2021·贵州贵阳一中高三月考)抛物线x＝y2(m>0)上一点A(2，y)到焦点的距离为3，则m＝__1__.

【解析】　抛物线x＝y2(m>0)的标准形式为y2＝4mx，则焦点为(m，0)，准线方程为x＝-m，

所以点A(2，y)到焦点的距离为2＋m＝3，

所以m＝1.

10．(2021·上海高三模拟)双曲线x2-y2＝1的焦点到其渐近线的距离为__1__.

【解析】　由题得：其焦点坐标为(-，0)，(，0)．渐近线方程为y＝±x，

所以焦点到其渐近线的距离d＝＝1.

11．(2021·江苏高三二模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，点P在直线x＝a上，直线PA交椭圆于点Q，若＝2，·＝0，则椭圆C的离心率为____.

【解析】　由题意可得：A(-a，0)，F(c，0)，设P(a，m)，Q(x0，y0)，

由＝2，可得x0＝＝，

代入可得：＋＝1，解得y＝b2，

·＝a-y＝a-b2＝0，

整理可得：2c2＋3ac-3a2＝0，

所以2e2＋3e-3＝0，

所以e＝或e＝(舍)

12．(2021·合肥一六八中学高三模拟)过双曲线C：-＝1(a>0，b>0)的右焦点作直线l，使l垂直于x轴且交C于M、N两点，双曲线C虚轴的一个端点为A，若△AMN是锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值范围__(，)__.

【解析】　由题意知：M，N，不妨假设A(0，b)，

∵△AMN是锐角三角形，

∴∠MAN<，

即·＝c2＋＝c2＋b2->0，且b<，

∴，

整理得，解得e∈(，)．

三、解答题

13．(2021·全国高三专题练习)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合．C1的中心与C2的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点．且|CD|＝|AB|.

(1)求C1的离心率；

(2)设M是C1与C2的公共点．若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．

【解析】　(1)因为F为C1的焦点，所以F(c，0)

因为AB⊥x轴，所以A点横坐标为c，

将x＝c代入椭圆＋＝1

可得y＝±，所以|AB|＝.

设C2的标准方程为y2＝2px(p>0)，

因为F(c，0)为C2的焦点，所以，

因为CD⊥x轴，将x＝代入y2＝2px(p>0)可得y＝±p，

所以|CD|＝2p.

因为|CD|＝|AB|，C1与C2焦点重合，

所以.

消去p得：4c＝，所以3ac＝2b2即3ac＝2a2-2c2，

设C1的离心率为e，则2e2＋3e-2＝0，

所以e＝或e＝-2(舍)，故C1的离心率为.

(2)由(1)知a＝2c，b＝c，p＝2c，

所以椭圆方程为：C1：＋＝1，

抛物线C2：y2＝4cx.

联立两曲线方程，消去y得3x2＋16cx-12c2＝0，

所以(3x-2c)(x＋6c)＝0，

所以x＝c或x＝-6c(舍)，

从而|MF|＝x＋＝c＋c＝c＝5.可得c＝3.

∴C1与C2的标准方程分别为＋＝1，y2＝12x.

14．(2021·重庆一中高三月考)过点A(-1，0)的直线l与抛物线C：y2＝4x交于P、Q两点．

(1)求线段PQ的中点B的轨迹方程；

(2)抛物线C的焦点为F，若∠PFQ≤120°，求直线l的斜率的取值范围．

【解析】　(1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，B(x，y)，

代入得⇒(y1＋y2)(y1-y2)＝4(x1-x2)，

⇒2y·＝4⇒y2＝2(x＋1)，

又⇒x＝1，

所以线段PQ的中点B的轨迹方程为y2＝2x＋2(x>1)．

(2)设直线l：x＝ty-1，与抛物线联立得⇒y2-4ty＋4＝0，Δ＝16t2-16>0，得t2>1，

所以，

又cos ∠PFQ＝＝

＝＝＝，

又∠PFQ≤120°⇒≥-⇒t2≤4，又1<t2≤4⇒t∈，

所以直线l的斜率k∈∪.

15．(2021·贵州凯里一中高三三模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆上动点P到右焦点最小距离为1.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)点M，N是曲线C上的两点，O是坐标原点，|MN|＝2，求△MON面积的最大值．

【解析】　(1)依题意，，解得，

所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)①当MN斜率不存在时，即直线MN⊥x轴，不妨设M(x0，)，则|x0|＝，

∴S△MON＝|MN|·|x0|＝×2×＝；

②当直线MN斜率存在时，设直线MN方程为y＝kx＋m，

由，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2-12＝0，

则Δ＝(8km)2-4(4k2＋3)·(4m2-12)＝48(4k2-m2＋3)>0，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则x1＋x2＝-，x1x2＝，

所以|MN|＝，

＝＝2，

即m2＝4k2＋3-.

记原点O到直线MN的距离为d，

则d2＝＝-

＝

≤＝.

(当4k2＋3＝2k2＋3，即k＝0时取等，验证满足题意)

所以S△MON＝|MN|·d≤·2·＝，

又因为>，所以S△MON取最大值为.

注：求d2的最大值还可以这样处理，设t＝＝4-∈[3，4)，则d2＝t-＝-(t-3)2＋≤(当t＝3，即k＝0时取等)．