2022版高考数学二轮复习 课时作业26

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课时作业(二十六)1．(2021·曲靖模拟)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x-2|(x∈R)．(1)当a＝5时，解关于x的不等式f(x)＞x2；(2)设关于x的不等式f(x)≤|x-4|的解集为A，B＝{x||2x-1|≤3}，如果A∪B＝A，求实数a的取值范围．【解析】　(1)当a＝5时，f(x)＞x2，即|x＋5|＋|x-2|＞x2，故①或②或③，解①得x∈∅，解②得-＜x≤2，解③得2＜x＜3，故不等式的解集是{x|-＜x＜3}．(2)B＝{x||2x-1|≤3}＝{x|-1≤x≤2}，已知关于x的不等式f(x)＝|x＋a|＋|x-2|≤|x-4|的解集为A，A∪B＝A即B⊆A，则不等式f(x)＝|x＋a|＋|x-2|≤|x-4|对∀x∈B＝{x|-1≤x≤2}恒成立，当-1≤x≤2时，|x＋a|＋|x-2|≤|x-4|⇔|x＋a|＋2-x≤4-x⇔|x＋a|≤2⇔-2-a≤x≤2-a恒成立⇔⇔-1≤a≤0，故实数a的取值范围是[-1，0]．2．(2021·全国模拟)已知函数f(x)＝|x-1|＋2|x|.(1)解不等式f(x)≥2；(2)设f(x)的图象与直线y＝2围成的图形的面积为S，若a＋b＋c＝S(a＞0，b＞0，c＞0)，求证：bc＋4ac＋9ab≥54abc.【解析】　(1)f(x)＝|x-1|＋2|x|＝，当x≤0时，f(x)≥2，即-3x＋1≥2，解得x≤-，当0＜x＜1时，f(x)≥2，即x＋1≥2，无解，当x≥1时，f(x)≥2，即3x-1≥2，解得x≥1，∴f(x)≥2的解集为.(2)证明：由(1)可得，f(x)＝2时，x＝-或x＝1，设f(x)的图象与直线y＝2围成的图形为三角形，该三角形的面积为×1×＝，∴a＋b＋c＝，∵＋＋＝(a＋b＋c)＝≥＝54，当且仅当b＝2a，c＝3a，2c＝3b时等号成立，∴bc＋4ac＋9ab≥54abc，即可得证．3．(2021·全国高三模拟)已知函数f(x)＝|a-x|＋|x＋1|(a∈R)．(1)当a＝6时，解不等式f(x)≥9；(2)若f(x)-2a2≥0对任意x∈R成立，求实数a的最大值．【解析】　(1)当a＝6时，f(x)＝|6-x|＋|x＋1|＝|x-6|＋|x＋1|，此时不等式f(x)≥9为|x-6|＋|x＋1|≥9，∴或或，解得x≥7或x≤-2，即所求不等式解集为(-∞，-2]∪[7，＋∞)．(2)∵|a-x|＋|x＋1|≥|a-x＋x＋1|，∴|a-x|＋|x＋1|≥|a＋1|，又f(x)-2a2≥0对任意x∈R成立，∴|a＋1|≥2a2，∴-≤a≤1，∴所求实数a的最大值为1.4．(2021·甘肃白银市高三模拟)已知函数f(x)＝|x-6|-|x-8|.(1)解不等式f(x)>1；(2)记f(x)的最大值为t，若|m|<t，|n|<t，求证：>2.【分析】　(1)由f(x)>1，得到|x-6|-|x-8|>1，分类讨论，即可求解；(2)由绝对值三角不等式，求得f(x)≤2，得到t＝2，即|m|<2，|n|<2，要证>2，只需证(mn＋4)2>4(m＋n)2，结合比较法，即可求解．【解析】　(1)由题意，函数f(x)＝|x-6|-|x-8|，因为f(x)>1，即|x-6|-|x-8|>1，可得或或，解得x无实根或<x<8或x≥8，综上可得，不等式f(x)>1的解集为.(2)由f(x)＝|x-6|-|x-8|≤|x-6-x＋8|＝2，当且仅当(x-6)(x-8)≥0，且|x-6|>|x-8|，即x≥8时取等号，所以t＝2，即|m|<2，|n|<2，要证>2，只需证|mn＋4|>2|m＋n|，即证(mn＋4)2>4(m＋n)2，(mn＋4)2-4(m＋n)2＝m2n2＋8mn＋16-4(m2＋n2＋2mn)＝m2n2-4m2-4n2＋16＝(m2-4)(n2-4)．又m2<4，n2<4，所以(m2-4)(n2-4)>0，所以(mn＋4)2>4(m＋n)2，即|mn＋4|>2|m＋n|，所以>2.5．(2021·一模拟)已知ai＞0，且a1＋a3＝1，a2＋a5＝2，a4＋a6＝3，证明：(1)≥7＋2.(2)＋＋<7.【解析】　(1)证明：∵ai>0，且a1＋a3＝1，∴＝＋＝＝7＋＋≥7＋2＝7＋2.当且仅当3a＝2a时等号成立，故原不等式得证．(2)证明：∵ai>0，且a1＋a3＝1，a2＋a5＝2，a4＋a6＝3，∴＋＋≤＋＋＝＝＝7.当且仅当a1＋2a2＝1，a3＋a4＝2，2a5＋a6＝3时等号成立，又a1＋a3＝1，a2＋a5＝2，a4＋a6＝3，∴等号取不到，∴＋＋<7.