2022版高考数学二轮复习 课时作业25

课时作业(二十五)

1．(2021·四川眉山市仁寿一中高三模拟)在同一直角坐标系xOy中，经过伸缩变换后，曲线C1：＋y2＝1变成曲线C2.

(1)求曲线C2的参数方程；

(2)设A(2，)，点P是C2上的动点，求△OAP面积的最大值，及此时P的坐标．

【解析】　(1)由伸缩变换得到①

将①代入C1：＋y2＝1得到＋y′2＝1②

所以C2的参数方程为(α为参数)．

(2)设P(2cos α，sin α)(0≤α<2π)，

直线OA：x-2y＝0，

所以P到直线OA的距离为

d＝＝≤，

所以SΔOAP＝|OA|·d＝×·d≤·＝2，

当α＝或α＝时，

△OAP的面积的最大值为2，

此时P的坐标为或.

2．(2021·全国高三模拟)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2-2aρsin θ＋a2-3＝0，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．

(1)求曲线C的参数方程，若曲线C过原点O，求实数a的值；

(2)当a＝1时，直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|.

【解析】　(1)将ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ代入

ρ2-2aρsin θ＋a2-3＝0，

得曲线C的直角坐标方程为x2＋(y-a)2＝3，

∴曲线C的参数方程为(α为参数)．

∵曲线C过原点O，∴a2＝3，得a＝±.

(2)当a＝1时，曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ-2＝0，

将θ＝代入ρ2-2ρsin θ-2＝0，得ρ2-ρ-2＝0.

设A、B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，

∴ρ1＋ρ2＝1，ρ1ρ2＝-2，

∴|AB|＝|ρ1-ρ2|＝＝＝3.

3．(2021·河南高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(φ为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos θ-2ρsin θ-5＝0.

(1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；

(2)若与l平行的直线l′与曲线C交于A，B两点，且在x轴上的截距为整数，△ABC的面积为2，求直线l′的方程．

【解析】　(1)曲线C的参数方程，

化为普通方程为(x＋2)2＋(y-1)2＝9.

由ρcos θ-2ρsin θ-5＝0，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得，

直线l的直线坐标方程为x-2y-5＝0.

(2)由(1)知l的直线方程为x-2y-5＝0，C(-2，1)．

设直线l′：x-2y＋m＝0，由题知m∈Z.

所以C到直线l′的距离d＝＝，

所以|AB|＝2，

所以·2·＝2，

整理得(m-4)4-45(m-4)2＋500＝0，

所以(m-4)2＝20或(m-4)2＝25，

因为m∈Z，所以m＝-1或m＝9.

所以直线l′的方程为x-2y-1＝0或x-2y＋9＝0.

4．(2021·四川成都市双流中学高三三模)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cos θ，直线l的参数方程为(t为参数，0≤α<π)．

(1)把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；

(2)若直线l经过点(1，0)，求直线l被曲线C截得的线段|AB|的长．

【解析】　(1)由题意，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cos θ，

可得ρ2sin2θ＝4ρcos θ，

又由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，可得y2＝4x，

即曲线C为开口向右的抛物线．

(2)由直线l的参数方程为(t为参数，0≤α<π)，

可得直线l经过点(1，0)，则，

则tan α＝-1，sin α＝，cos α＝-，

所以直线l的参数方程为，

则直线的直角坐标方程为y＝-x＋1，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组，

整理得x2-6x＋1＝0，可得x1＋x2＝6，

又由直线过抛物线y2＝4x的焦点，

所以|AB|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.

5．(2021·山西高三三模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x2＋＝1，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ＋15＝0.

(1)求曲线C1的参数方程与C2的直角坐标方程；

(2)设点A，B分别为曲线C1与C2上的动点，求|AB|的取值范围．

【解析】　(1)曲线C1的参数方程为(α为参数)；

由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得C2的直角坐标方程为x2＋y2-8x＋15＝0，

即(x-4)2＋y2＝1.

(2)由(1)可知C2(4，0)，设A(cos θ，3sin θ)，

则＝(cos θ-4)2＋9sin2θ＝-8＋27.

∵-1≤cos θ≤1，∴9≤≤27，

∴3≤≤3，∴2≤|AB|≤3＋1，

故|AB|的取值范围是.