2021-2022学年湖南省株洲市荷塘区景炎中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省株洲市荷塘区景炎中学九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 年月日，中国疾控中心成功分离我国首株新型冠状病毒毒种，该毒种直径大约为纳米纳米毫米，数据“纳米”用科学记数法表示为(    )

A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米

4. 不等式组：的解集用数轴表示为(    )

A.  B.
C.  D.

5. 函数中，自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 且

6. 如图，小明同学在折幸运星时，将一张长方形的纸条折成一个正五边形，则图中的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在边长为的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

8. “微信运动“是腾讯开发的一个记录跑步或行走情况步数里程的公众号，用户通过该公众号可查看自己某时间段的运动情况某人根据年月至年月期间每月跑步的里程单位：十公里的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图下列结论错误的是(    )

A. 月至月的月跑步里程相对于月至月波动性更小
B. 月跑步里程的中位数为月份对应的里程数
C. 月跑步里程最大值出现在月
D. 月跑步里程逐月增加

9. 如图，已知菱形，在轴上，交轴于点，点在反比例函数上，点在反比例函数上，且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 若点在某一个函数的图象上，且点的横纵坐标相等，则称点为这个函数的“优级点”若关于的二次函数有两个“优级点”，则的取值范围为(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共8小题，共32分）

11. ______．
12. 分解因式：______．
13. 若单项式与单项式是同类项，则______．
14. 某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是分，面试成绩是分，综合成绩笔试占，面试占，则该教师的综合成绩为______分．
15. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是______．

16. 圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过万亿位．有学者发现，随着小数部分位数的增加，这个数字出现的频率趋于稳定接近相同，从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是的概率为______．

17. 如图，有一块边长为的正方形厚纸板，做成如图所示的一套七巧板点为正方形纸板对角线的交点，点、分别为、的中点，，，将图所示七巧板拼成如图所示的“鱼形”，则“鱼尾”的长为______．

18. 如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：；；关于的一元二次方程的两根分别为和；若点、、均在二次函数图象上，则；为任意实数其中正确的结论有______填序号．

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19. 计算：
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，在平行四边形中，为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点．
    求证：；
    连接和相交于点为，若的面积为，求平行四边形的面积．

22. 病毒虽无情，人间有大爱．年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国除湖北省外共有个省区、市及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国个省区、市各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图不完整和扇形统计图如下：数据分成组：，，，，，．
    
    根据以上信息回答问题：
    补全频数分布直方图．
    求扇形统计图中派出人数大于等于小于所占圆心角度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“后”也有“后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“后”医务人员的数据：
    市派出的名医护人员中有人是“后”；
    市派出的名医护人员中有人是“后”；
    市某医院派出的名医护人员中有人是“后”．
    请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员按万人计中，“后”大约有多少万人？写出计算过程，结果精确到万人
23. 小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线与底板的边缘线所在水平线的夹角为时，感觉最舒适如图侧面示意图为图；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图，点、、在同一直线上，，，．
    
    求的长；
    如图，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持，求点到的距离．结果保留根号
24. 如图，一次函数的图象与坐标轴交于和两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为．
    求一次函数和反比例函数的表达式；
    设点是轴上一动点，过点作交直线于点，设．
    用含的代数式表示；
    求取最小值时点坐标．

25. 如图，为的直径，为上一点，连接，是上的一点，，与、分别交于点、．
    求证：；
    求证：；
    若，求的值．

26. 抛物线的顶点为，与直线为常数相交于，两点．当时，点的横坐标恰好为如图．
    求、的值；
    当时，若点是抛物线上异于、的一点，且满足，试判断的形状，并说明理由；
    若直线交轴于点，过点、分别作该直线的垂线，垂足分别为、，连接、如图设、、的面积分别为、、，是否存在常数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数等于，
故选：．
直接根据相反数的概念解答即可．
此题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故A正确，不符合题意；
，故B错误，符合题意；
，故C正确，不符合题意；
，故D正确，不符合题意；
故选：．
根据积的乘方、幂的乘方法则，完全平方公式、合并同类项法则及单项式除法法则分别判断即可．
本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算的相关法则．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【解答】
解：纳米毫米，
纳米毫米毫米．
故选C．  

4.【答案】 

【解析】解：不等式组可化为：，
在数轴上可表示为：
故选：．
本题应该先对不等式组进行化简，然后在数轴上分别表示出的取值范围，它们相交的地方就是不等式组的解集．
本题考查不等式组解集的表示方法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：且．
故选：．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于，分母不等于，可以求出的范围．
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题得：为正五边形的外角．
根据正多边形的性质，每个外角相等，
．
故选：．
根据多边形的外角、正多边形的性质、任意多边形的外角和等于解决此题．
本题主要考查多边形的外角、正多边形的性质、任意多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角、正多边形的性质、任意多边形的外角和等于是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接、．
和所对的弧长都是，
根据圆周角定理知，，
为直径，
，
在中，根据锐角三角函数的定义知，
，
，
故选：．
首先根据圆周角定理可知，，然后在中，根据锐角三角函数的定义求出的正切值．
本题考查了圆周角定理，解直角三角形，解答本题的关键是利用圆周角定理把求的正切值转化成求的正切值，本题是一道比较不错的习题．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
在中，月至月的月跑步里程相对于月至月波动性更小，故A选项正确；
在中，月跑步里程高峰期大致在月、月，从小到大排列为：
月，月，月，月，月，月，月，月，月，月，月，
所以月跑步里程的中位数为月份对应的里程数，
故B选项正确；
在中，月跑步里程最大值出现在月，故C选项正确；
在中，月跑步里程比月小，月跑步里程比月小，月跑步里程比月小，故D选项错误．
故选：．
根据题意，依次分析选项，即可得答案．
本题考查了折线统计图、中位数、方差等基础知识．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，
轴，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
估计菱形的性质得到，求得轴，得到，，求得，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意可得“优级点”在直线上，
令，整理得，
，
解得或，
故选：．
根据题意可得“优级点”在直线上，由方程有个不同的解求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是将函数问题转换为一元二次方程解的问题．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．
本题主要考查二次根式的加减，解题的关键是掌握二次根式的加减运算顺序和法则．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了提公因式法与平方差的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式．  

13.【答案】 

【解析】解：单项式与单项式是同类项，
，
，
故答案为：．
根据同类项的意义，列方程求解即可．
本题考查同类项的意义，理解同类项的意义是正确解答的前提．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查加权平均数及其计算，是中考的常考知识点，熟练掌握其计算方法是解题的关键．
根据综合成绩笔试占，面试占，即综合成绩等于笔试成绩乘以，加上面试成绩乘以，即可求解．
【解答】
解：根据题意知，该名老师的综合成绩为分
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：，
，
四边形是的内接四边形，
，
故答案为：．
首先根据圆周角定理可得，然后再根据圆内接四边形对角互补可得答案．
此题主要考查了云内接四边形的性质和圆周角定理，关键是掌握圆内接四边形的对角互补；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

16.【答案】 

【解析】解：随着小数部分位数的增加，这个数字出现的频率趋于稳定接近相同，
从的小数部分随机取出一个数字共有种等可能的结果，其中出现数字的只有种结果，
数字是．
故答案为：．
从的小数部分随机取出一个数字共有种等可能的结果，其中出现数字的只有种结果，利用概率公式求解即可．
本题考查了利用频率估计概率，掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：等腰直角三角形中，，
，
又，
，，
，
故答案为：．
依据勾股定理即可得到的长，进而得出，，即可得到“鱼尾”的长．
本题主要考查了勾股定理以及等腰直角三角形的性质，掌握七巧板的结构特点是解决问题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：抛物线过点，
．
正确．
抛物线的对称轴是直线，开口向下，
，．
．
当时，．
，
．
．
正确．
抛物线对称轴为，过点．
抛物线过点．
关于的一元二次方程的两根分别为和，
正确．
点到对称轴的距离为：．
到对称轴的距离为：，
到对称轴的距离为：．
抛物线开口向上．
．
错误．
抛物线开口向上，对称轴为：，
当时，有最小值，
当时，函数值不小于．
．
．
错误．
故答案为；．
根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，正确掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
 

19.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式，
当时，
原式． 

【解析】根据分式的运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
；
为中点，
，
在与中，
，
≌，
，
．
解：四边形是平行四边形，
，，
∽，
，，
，
，
，，
的面积为，
，，
，
平行四边形的面积． 

【解析】由平行线的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
由平行四边形的性质得出，，证明∽，由相似三角形的性质得出，，求出，则可得出答案．
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．
 

22.【答案】解：由直方图可得，
，这一组的频数是：，
补全的频数分布直方图如右图所示；
，
即扇形统计图中派出人数大于等于小于所占圆心角度数是；
万人，
答：在支援湖北省的全体医务人员按万人计中，“后”大约有万人． 

【解析】根据题意和直方图中的数据，可以计算出这一组的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整；
根据统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中派出人数大于等于小于所占圆心角度数；
根据小华给出的数据，可以计算出在支援湖北省的全体医务人员按万人计中，“后”大约有多少万人．
本题考查频数分布直方图、近似数和有效数字、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】解：如图，在中，，．
；
如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意得，，
当显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持，看可得，
，
，
在中，，
又，
，
即：点到的距离为． 

【解析】解即可求出的长；
求出，在中求出，进而求出．
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是常用的方法．
 

24.【答案】解：一次函数的图象与坐标轴交于和两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为．
，，
解得：，，
一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；
在中，令，得，
，
，，
，
点，
，
，
，
，
∽，
，
，
解得，
，
；
由得，
，
当时，取最小值，此时，点坐标为． 

【解析】把，代入和解方程或方程组即可得到结论；
根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，根据，即可得到结论；根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法由函数的解析式，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

25.【答案】证明：如图，连接，
，
，
，即，
，
，
，
；
，
，
又，
∽，
，
；
是直径，
，
，
设，，
，
∽，
，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
，

，
，
． 

【解析】由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论；
通过证明∽，可得结论；
设，，由勾股定理可求的长，由相似三角形的性质可求的长，通过证明∽，可求的长，由勾股定理可求的长，由锐角三角函数可求解．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，利用参数解决问题是本题的关键．
 

26.【答案】解：抛物线的顶点为，故，
则抛物线的表达式为，
当时，直线轴，则点的纵坐标为，
故点的坐标为，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得；

由知，当时，点，则点，则，
由点、的坐标知，，故AB，
，则，
为直角三角形；

设直线交轴于点，则点，

设点、的坐标分别为，，
联立和并整理得：，
则，，则，
由题意得：，；，；，；
则，
同理可得，
，
即，
，
故． 

【解析】抛物线的顶点为，故，则抛物线的表达式为，当时，直线轴，则点的纵坐标为，故点的坐标为，即可求解；
，，故AB，而，则，即可求解；
设点、的坐标分别为，，则，，进而求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、根与系数的关系、面积的计算等，用根与系数的关系处理复杂数据是本题的难点．