08解答题提升题-江苏省无锡市五年（2018-2022）中考数学真题分层分类汇编

这是一份08解答题提升题-江苏省无锡市五年（2018-2022）中考数学真题分层分类汇编，共22页。试卷主要包含了，其对称轴与x轴相交于点B等内容，欢迎下载使用。
08解答题提升题-江苏省无锡市五年（2018-2022）中考数学真题分层分类汇编
一．二次函数综合题（共4小题）
1．（2021•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；
（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标．

2．（2020•无锡）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1的图象与x轴仅有一个公共点A．
（1）求a的值；
（2）设该二次函数图象与y轴交于点B，点C为直线AB下方抛物线上的一个动点，点C运动到何处时，△ABC面积最大？请求出此时C点的坐标．
（3）过点（0，﹣1）作直线l平行于x轴，在抛物线上任取一点D（A点除外），过点D向直线l作垂线，垂足为E点，若在抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PDE始终为等腰三角形．请你猜测点P的坐标，并给出证明过程．
猜测：点P的坐标为 　 　．
证明：
3．（2019•无锡）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a＜0）的图象与它的对称轴相交于点A，与y轴相交于点C（0，﹣2），其对称轴与x轴相交于点B
（1）若直线BC与二次函数的图象的另一个交点D在第一象限内，且BD＝，求这个二次函数的表达式；
（2）已知P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，试直接写出a的值．

4．（2020•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y＝x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．

二．四边形综合题（共2小题）
5．（2020•无锡）已知菱形ABCD中，BD＝cm，tan∠ADB＝，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点A出发，以cm/s的速度沿A→B→C→D运动，当P、Q两点中有一个点到达终点时，P、Q两点同时停止运动．
（1）求菱形的周长；
（2）当t＝1时，求PQ的长；
（3）若△APQ的面积为S，写出S（cm2）与t（s）的函数表达式．

6．（2021•无锡）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．

（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连接CF，
①当m＝时，求线段CF的长；
②在△PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；
（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式．
三．相似形综合题（共1小题）
7．（2019•无锡）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．
（1）请找出图中与△ABE相似的三角形，并说明理由；
（2）求当A、E、F三点在一直线上时CD的长；
（3）设AE的中点为M，连接FM，试求FM长的取值范围．


参考答案与试题解析
一．二次函数综合题（共4小题）
1．（2021•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；
（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标．

【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝3，
∴B（3，0），C（0，3），
把B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：
，解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图：

在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0得x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，AB＝4，BC＝3，
∴∠ABC＝∠MFB＝∠CFE＝45°，
∴以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，B和F为对应点，
设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），
∴EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，CF＝＝m，
①△ABC∽△CFE时，＝，
∴＝，
解得m＝或m＝0（舍去），
∴EF＝，
②△ABC∽△EFC时，＝，
∴＝，
解得m＝0（舍去）或m＝，
∴EF＝，
综上所述，EF＝或．
（3）连接NE，如图：

∵点N、F关于直线EC对称，
∴∠NCE＝∠FCE，CF＝CN，
∵EF∥y轴，
∴∠NCE＝∠CEF，
∴∠FCE＝∠CEF，
∴CF＝EF＝CN，
由（2）知：
设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，CF＝＝m，
∴﹣m2+3m＝m，解得m＝0（舍去）或m＝3﹣，
∴CN＝CF＝m＝3﹣2，
∴N（0，3+1）．
2．（2020•无锡）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1的图象与x轴仅有一个公共点A．
（1）求a的值；
（2）设该二次函数图象与y轴交于点B，点C为直线AB下方抛物线上的一个动点，点C运动到何处时，△ABC面积最大？请求出此时C点的坐标．
（3）过点（0，﹣1）作直线l平行于x轴，在抛物线上任取一点D（A点除外），过点D向直线l作垂线，垂足为E点，若在抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PDE始终为等腰三角形．请你猜测点P的坐标，并给出证明过程．
猜测：点P的坐标为 　（2，1）　．
证明：
【解答】解：（1）函数图象与x轴只有一个公共点，所以△＝O，
即（﹣4a）2﹣4a＝0，
16a2﹣4a＝0，
4a（4a﹣1）＝0，
∴a1＝0，a2＝，
当a＝0时，y＝1不是二次函数（舍去），
当a＝时，y＝x2﹣x+1符合，
∴a＝；
（2）∵C在抛物线y＝x2﹣x+1上，
∴设C（m，m2﹣m+1）（0＜m＜2），
∴S△ABC＝S△AOB﹣S△BOC﹣S△AOC（由图可知），

令y＝0，x2﹣x+1＝0，
∴x＝2，
∴A（2，0），
令x＝0，y＝1，
∴B（0，1），
∴S△AOB＝2×1×＝1．
S△BOC＝1×m×＝m，
S△AOC＝2×（m2﹣m+1）×＝m2﹣m+1，
∴S△ABC＝S△AOB﹣S△BOC﹣S△AOC
＝1﹣m﹣（m2﹣m+1）
＝1﹣m﹣m2+m﹣1
＝﹣m2+m
＝﹣（m2﹣2m）
＝﹣（m﹣1）2+
∴当m＝1时，S△ABC最大，y＝﹣1+1＝，
此时C坐标为（1，）；
（3）猜测：点P坐标（2，1），
﹣＝2，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
∴设点P（2，e），
∵点D在抛物线y＝x2﹣x+1上，
∴设D（g，g2﹣g+1）（g≠2），
故E（g，﹣1），
∴PD＝，
DE＝，
＝g2﹣g+2，
PE＝，
∵△PDE为等腰三角形，
∴①PD＝DE时，
即＝g2﹣g+2，
两边平方得（g﹣2）2+（g2﹣g+1﹣e）2＝（g2﹣g+2）2，
（g﹣2）2+（g2﹣g+1）2﹣2（g2﹣g+1）e+e2＝（g2﹣g+1）2+1+2（g2﹣g+1）
（将g2﹣g+1看成一个整体），
（﹣e）g2+（2e﹣2）g+（e2﹣2e+1）＝0，
（﹣e）g2+（2e﹣2）g+（e﹣1）2＝0，
当e＝1时，无论g取何值时，该式均成立，
此时P坐标为（2，1），
②PD＝PE时，
即＝，
两边平方得（g﹣2）2+（g2﹣g+1﹣e）2＝（g﹣2）2+（﹣1﹣e）2，
∴（g2﹣g+1﹣e）2＝（1+e）2，
（﹣1﹣e）2＝（1+e）2，
∴（g2﹣g+1﹣e）2﹣（1+e）2＝0，
（g2﹣g+1﹣e+1+e）（g2﹣g+1﹣e﹣1﹣e）＝0，
∴（g2﹣g+2）（g2﹣g﹣2e）＝0，
故无论e取什么值，都不能满足，
无论g取何值时，该式均成立，
故此种情况舍去，
③PE＝DE时，
即＝g2﹣g+2，
两边平方得，（g﹣2）2+（﹣1﹣e）2＝（g2﹣g+2）2，
∴（1+e）2＝（g2﹣g+2）2﹣（g﹣2）
＝（g2﹣g+2+g﹣2）（g2﹣g+2﹣g+2）
＝g2（g2﹣2g+4），
∴（1+e）2＝g2（g2﹣2g+4），
故无论e取什么值，都不能满足，
无论g取何值时，该式均成立，
故此种情况舍去，
综上所述，当PD＝DE时满足题意，
此时P坐标为（2，1）．
3．（2019•无锡）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a＜0）的图象与它的对称轴相交于点A，与y轴相交于点C（0，﹣2），其对称轴与x轴相交于点B
（1）若直线BC与二次函数的图象的另一个交点D在第一象限内，且BD＝，求这个二次函数的表达式；
（2）已知P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，试直接写出a的值．

【解答】解：（1）过点D作DH⊥x轴于点H，如图1，

∵二次函数y＝ax2﹣4ax+c，
∴对称轴为x＝，
∴B（2，0），
∵C（0，﹣2），
∴OB＝OC＝2，
∴∠OBC＝∠DBH＝45°，
∵BH＝，
∴BH＝DH＝1，
∴OH＝OB+BH＝2+1＝3，
∴D（3，1），
把C（0，﹣2），D（3，1）代入y＝ax2﹣4ax+c中得，
，
∴，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣2；

（2）∵y＝ax2﹣4ax+c过C（0，﹣2），
∴c＝﹣2，
∴y＝ax2﹣4ax+c＝a（x﹣2）2﹣4a﹣2，
∴A（2，﹣4a﹣2），
∵P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，
∴①当抛物线的顶点A在x轴上时，∠POA＝90°，则OP＝OA，这样的P点只有2个，正、负半轴各一个，如图2，

此时A（2，0），
∴﹣4a﹣2＝0，
解得a＝；
②当抛物线的顶点A不在x轴上时，∠AOB＝30°时，则△OPA为等边三角形或∠AOP＝120°的等腰三角形，这样的P点也只有两个，如图3，

∴AB＝OB•tan30°＝2×＝，
∴|﹣4a﹣2|＝，
∴或．
综上，a＝﹣或或．
4．（2020•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y＝x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．

【解答】解：（1）①∵点A在y＝x2的图象上，横坐标为8，
∴A（8，16），
∴直线OA的解析式为y＝2x，
∵点M的纵坐标为m，
∴M（m，m）．

②假设能在抛物线上，连接OP．
∵∠AOB＝90°，
∴直线OB的解析式为y＝﹣x，
∵点N在直线OB上，纵坐标为m，
∴N（﹣2m，m），
∴MN的中点的坐标为（﹣m，m），
∴P（﹣m，2m），把点P坐标代入抛物线的解析式得到m＝．

（2）①当点A在y轴的右侧时，设A（a，a2），
∴直线OA的解析式为y＝ax，
∴M（，2），
∵OB⊥OA，
∴直线OB的解析式为y＝﹣x，可得N（﹣，2），
∴P（﹣，4），代入抛物线的解析式得到，﹣＝±4，
解得，a＝4±4，
∴直线OA的解析式为y＝（±1）x．

②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，
∴直线OA 的解析式为y＝﹣x＝﹣（±1）x，
综上所述，满足条件的直线OA的解析式为y＝（±1）x或y＝﹣（±1）x．

二．四边形综合题（共2小题）
5．（2020•无锡）已知菱形ABCD中，BD＝cm，tan∠ADB＝，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点A出发，以cm/s的速度沿A→B→C→D运动，当P、Q两点中有一个点到达终点时，P、Q两点同时停止运动．
（1）求菱形的周长；
（2）当t＝1时，求PQ的长；
（3）若△APQ的面积为S，写出S（cm2）与t（s）的函数表达式．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB＝BD＝，AC⊥BD，
∵tan∠ADB＝，
∴OA＝•OD＝，
∴AD＝＝＝10，
∴菱形的周长为4AD＝40；
（2）当t＝1时，AP＝1，AQ＝，过点B作BE⊥AD于E，过点Q作QF⊥AD于点F，

∵S△ABD＝AD•BE＝BD•OA，
∴BE＝＝，
∵QF∥BE，
∴△AQF∽△ABE，
∴，
∴，
∴QF＝，
∴AF＝＝，
∴PF＝AF﹣AP＝，
∴PQ＝＝＝；
（3）①当0＜t≤时，点Q在AB上，
由（2）知，，
∴QF＝t，
∴S△APQ＝AP•QF＝t＝；
②当＜t≤时，点Q在BC上，

∵AD∥BC，
∴QF＝BE＝，
∴S△APQ＝AP•QF＝t•＝t．
③当＜t≤10，点Q在CD上，
过点B作BM⊥AD于点M，过点Q作QF⊥AD，交AD的延长线于点F，

∴QF∥BM，
∴∠FDQ＝∠MAB，
∴sin∠FDQ＝sin∠MAB，
∴，
∴，
∴QF＝30×﹣t＝10﹣t，
∴S△APQ＝AP•QF＝＝﹣+5t．
∴S＝．
6．（2021•无锡）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．

（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连接CF，
①当m＝时，求线段CF的长；
②在△PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；
（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式．
【解答】解：（1）①过F作FG⊥BC于G，连接CF，如图：

∵四边形ABCD是正方形，∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠AEB＝∠FEG，∠B＝∠G＝90°，
∵等腰直角三角形AEF，
∴AE＝EF，
在△ABE和△EGF中，
，
∴△ABE≌△EGF（AAS），
∴FG＝BE＝，EG＝AB＝BC，
∴EG﹣EC＝BC﹣EC，即CG＝BE＝，
在Rt△CGF中，CF＝＝；
②△ABE绕A逆时针旋转90°，得△ADE'，过P作PH⊥EQ于H，如图：

∵△ABE绕A逆时针旋转90°，得△ADE'，
∴△ABE≌△ADE'，∠B＝∠ADE'＝90°，∠BAE＝∠DAE'，∠AEB＝∠E'，AE＝AE'，BE＝DE'，
∴∠ADC+∠ADE'＝180°，
∴C、D、E'共线，
∵∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠DAE'+∠EAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠E'AF＝45°，
在△EAQ和△E'AQ中，
，
∴△EAQ≌△E'AQ（SAS），
∴∠E'＝∠AEQ，EQ＝E'Q，
∴∠AEB＝∠AEQ，EQ＝DQ+DE'＝DQ+BE，
∴∠QEP＝90°﹣∠AEQ＝90°﹣∠AEB＝∠CEP，即EF是∠QEC的平分线，
又∠C＝90°，PH⊥EQ，
∴PH＝PC，
∵∠BAE＝∠CEP，∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECP，
∴＝，即＝，
∴CP＝m（1﹣m），
∴PH＝h＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，
∴m＝时，h最大值是；
（2）①当0≤m≤时，如图：

∵∠BAE＝90°﹣∠AEB＝∠HEG，∠B＝∠HGE＝90°，
∴△ABE∽△EGH，
∴＝，即＝，
∴HG＝﹣m2+m，
∵MG∥CD，G为BC中点，
∴MN为△ADQ的中位线，
∴MN＝DQ，
由（1）知：EQ＝DQ+BE，
设DQ＝x，则EQ＝x+m，CQ＝1﹣x，
Rt△EQC中，EC2+CQ2＝EQ2，
∴（1﹣m）2+（1﹣x）2＝（x+m）2，
解得x＝，
∴MN＝，
∴y＝NH＝MG﹣HG﹣MN
＝1﹣（﹣m2+m）﹣
＝1﹣m﹣+m2，
②当m＞时，如图：

∵MG∥AB，
∴＝，即＝，
∴HG＝，
同①可得MN＝DQ＝，
∴HN＝MG﹣HG﹣MN
＝1﹣﹣
＝，
∴y＝，
综上所述，y＝．
三．相似形综合题（共1小题）
7．（2019•无锡）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．
（1）请找出图中与△ABE相似的三角形，并说明理由；
（2）求当A、E、F三点在一直线上时CD的长；
（3）设AE的中点为M，连接FM，试求FM长的取值范围．

【解答】解：（1）△ABE∽△CBD，
∵在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠EBD＝45°，
∴∠ABE＝∠CBD，
∵＝，＝，
∴，
∴△ABE∽△CBD；
（2）∵△ABE∽△CBD，
∴＝＝，
∴CD＝AE，
∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝BC＝4，
∵当A、E、F三点在一直线上时，
∵∠AFB＝90°，
∴AF＝＝＝2，
如图1，当AE在AB左上方时，AE＝AF﹣EF＝2﹣2，
∴CD＝﹣；
如图2，当AE在AB右下方时，
同理，AE＝AF+EF＝2+2，
∴CD＝+；
综上所述，当A、E、F三点在一直线上时，CD的长为﹣或+；
（3）如图3，延长EF到G使FG＝EF，连接AG，BG，
则△BFG是等腰直角三角形，
∴BG＝BF＝2，
设M为AE的中点，
连接MF，
∴MF是△AGE的中位线，
∴AG＝2FM，
在△ABG中，∵AB﹣BG≤AG≤AB+BG，
∴2≤AG≤6，
∴FM≤3．