2021-2022学年浙江省杭州北干重点达标名校中考数学对点突破模拟试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．五名女生的体重（单位：kg）分别为：37、40、38、42、42，这组数据的众数和中位数分别是（　　）

A．2、40    B．42、38    C．40、42    D．42、40

2．的算术平方根是（　　）

A．4 B．±4 C．2 D．±2

3．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为（     ）

A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm

4．下列四个式子中，正确的是（　　）

A． =±9 B．﹣ =6 C．（）2=5 D．=4

5．若a与5互为倒数，则a=（    ）

A． B．5 C．-5 D．

6．若关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围(         )

A． B． C． D．

7．如图，某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带（   ）

A．带③去 B．带②去 C．带①去 D．带①②去

8．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）

A．30° B．25°

C．20° D．15°

9．今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用的时间为t（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ）

A．小明中途休息用了20分钟

B．小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米

C．小明在上述过程中所走的路程为6600米

D．小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度

10．实数a在数轴上对应点的位置如图所示，把a，﹣a，a2按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　）

A．﹣a＜a＜a2 B．a＜﹣a＜a2 C．﹣a＜a2＜a D．a＜a2＜﹣a

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是_____．

12．关于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k+2=0有实数根，则k的取值范围是_____．

13．已知：正方形 ABCD．

求作：正方形 ABCD 的外接圆．

作法：如图，

（1）分别连接 AC，BD，交于点 O；

（2）以点 O 为圆心，OA 长为半径作⊙O，⊙O 即为所求作的圆．

请回答：该作图的依据是__________________________________．

14．△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝_  ▲  ．

15．如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为，再将所折得的图形沿EF折叠，使得点D和点A重合若，，则折痕EF的长为______．

16．因式分解：x3﹣4x=_____．

17．已知二次函数的部分图象如图所示，则______；当x______时，y随x的增大而减小．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图，已知的直径，是的弦，过点作的切线交的延长线于点，过点作，垂足为，与交于点，设，的度数分别是，，且．

（1）用含的代数式表示；

（2）连结交于点，若，求的长．

19．（5分）如图，在⊿中，,于, .

⑴.求的长；

⑵.求 的长.

20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．

（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；

（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；

（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）

21．（10分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求下列事件的概率：两次取出的小球标号相同；两次取出的小球标号的和等于4.

22．（10分）解不等式组：，并将它的解集在数轴上表示出来.

23．（12分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F

（1）证明：PC=PE； 

（2）求∠CPE的度数；

（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

24．（14分）如图，在中，点是的中点，点是线段的延长线上的一动点，连接，过点作的平行线，与线段的延长线交于点，连接、.

求证：四边形是平行四边形.若，，则在点的运动过程中：

①当______时，四边形是矩形；

②当______时，四边形是菱形.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】【分析】根据众数和中位数的定义分别进行求解即可得.

【详解】这组数据中42出现了两次，出现次数最多，所以这组数据的众数是42，

将这组数据从小到大排序为：37，38，40，42，42，所以这组数据的中位数为40，

故选D.

【点睛】本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数.

2、C

【解析】
先求出的值，然后再利用算术平方根定义计算即可得到结果．

【详解】

＝4，

4的算术平方根是2，

所以的算术平方根是2，

故选C．

【点睛】

本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．

3、A

【解析】

试题分析：利用轴对称图形的性质得出PM=MQ，PN=NR，进而利用PM=2．5cm，PN=3cm，MN=3cm，得出NQ=MN-MQ=3-2．5=2．5（cm），即可得出QR的长RN+NQ=3+2．5=3．5（cm）．

故选A．

考点：轴对称图形的性质

4、D

【解析】
A、表示81的算术平方根；B、先算-6的平方，然后再求−的值；C、利用完全平方公式计算即可；D、=．

【详解】

A、＝9，故A错误；

B、-=−=-6，故B错误；

C、()2=2+2+3=5+2，故C错误；

D、==4，故D正确．

故选D．

【点睛】

本题主要考查的是实数的运算，掌握算术平方根、平方根和二次根式的性质以及完全平方公式是解题的关键．

5、A

【解析】

分析：当两数的积为1时，则这两个数互为倒数，根据定义即可得出答案．

详解：根据题意可得：5a=1，解得：a=， 故选A．

点睛：本题主要考查的是倒数的定义，属于基础题型．理解倒数的定义是解题的关键．

6、A

【解析】
分别解两个不等式得到得x＜20和x＞3-2a，由于不等式组只有5个整数解，则不等式组的解集为3-2a＜x＜20，且整数解为15、16、17、18、19，得到14≤3-2a＜15，然后再解关于a的不等式组即可．

【详解】

解①得x＜20
解②得x＞3-2a，
∵不等式组只有5个整数解，
∴不等式组的解集为3-2a＜x＜20，
∴14≤3-2a＜15，

故选：A

【点睛】

本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能求出不等式14≤3-2a＜15是解此题的关键．

7、A

【解析】
第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃.

【详解】

③中含原三角形的两角及夹边，根据ASA公理，能够唯一确定三角形.其它两个不行.

故选：A.

【点睛】

此题主要考查全等三角形的运用，熟练掌握，即可解题.

8、B

【解析】

根据题意可知∠1+∠2+45°=90°，∴∠2=90°﹣∠1﹣45°=25°，

9、C

【解析】
根据图像，结合行程问题的数量关系逐项分析可得出答案.

【详解】

从图象来看，小明在第40分钟时开始休息，第60分钟时结束休息，故休息用了20分钟，A正确；

小明休息前爬山的平均速度为：（米/分），B正确；

小明在上述过程中所走的路程为3800米，C错误；

小明休息前爬山的平均速度为：70米/分，大于休息后爬山的平均速度：米/分，D正确．

故选C．

考点：函数的图象、行程问题．

10、D

【解析】
根据实数a在数轴上的位置，判断a，﹣a，a2在数轴上的相对位置，根据数轴上右边的数大于左边的数进行判断.

【详解】

由数轴上的位置可得，a<0,-a>0, 0<a2<a,

所以，a＜a2＜﹣a.

故选D

【点睛】

本题考核知识点：考查了有理数的大小比较，解答本题的关键是根据数轴判断出a，﹣a，a2的位置.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、3.1或4.32或4.2

【解析】

【分析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AC=5、S△ABC=1，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．

【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4，

∴AB==5，S△ABC=AB•BC=1．

沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：

①当AB=AP=3时，如图1所示，

S等腰△ABP=•S△ABC=×1=3.1；

②当AB=BP=3，且P在AC上时，如图2所示，

作△ABC的高BD，则BD=，

∴AD=DP==1.2，

∴AP=2AD=3.1，

∴S等腰△ABP=•S△ABC=×1=4.32；

③当CB=CP=4时，如图3所示，

S等腰△BCP=•S△ABC=×1=4.2；

综上所述：等腰三角形的面积可能为3.1或4.32或4.2，

故答案为：3.1或4.32或4.2．

【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键．

12、k≤．

【解析】
分k=1及k≠1两种情况考虑：当k=1时，通过解一元一次方程可得出原方程有解，即k=1符合题意；等k≠1时，由△≥1即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．综上此题得解．

【详解】

当k=1时，原方程为-x+2=1，

解得：x=2，

∴k=1符合题意；

当k≠1时，有△=[-（2k+1）]2-4k（k+2）≥1，

解得：k≤且k≠1．

综上：k的取值范围是k≤．

故答案为：k≤．

【点睛】

本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，分k=1及k≠1两种情况考虑是解题的关键．

13、正方形的对角线相等且互相垂直平分；点到圆心的距离等于圆的半径的点在这个圆上；四边形的四个顶点在同一个圆上，这个圆叫四边形的外接圆．

【解析】
利用正方形的性质得到 OA=OB=OC=OD，则以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，点B、C、D都在⊙O 上，从而得到⊙O 为正方形的外接圆．

【详解】

∵四边形 ABCD 为正方形，

∴OA=OB=OC=OD，

∴⊙O 为正方形的外接圆．

故答案为正方形的对角线相等且互相垂直平分；点到圆心的距离等于圆的半径的点在这个圆上；四边形的四个顶点在同一个圆上，这个圆叫四边形的外接圆．

【点睛】

本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

14、

【解析】
在直角△ABD中利用勾股定理求得AD的长，然后利用正弦的定义求解．

【详解】

在直角△ABD中，BD=1，AB=2，

则AD===，

则sinA= ==.

故答案是：.

15、

【解析】
首先由折叠的性质与矩形的性质，证得是等腰三角形，则在中，利用勾股定理，借助于方程即可求得AN的长，又由≌，易得：，由三角函数的性质即可求得MF的长，又由中位线的性质求得EM的长，则问题得解

【详解】

如图，设与AD交于N，EF与AD交于M，

根据折叠的性质可得：，，，

四边形ABCD是矩形，

，，，

，

，

，

设，则，

在中，，

，

，

即，

，，，

≌，

，

，

，

，

，

由折叠的性质可得：，

，

，

，

，

故答案为．

【点睛】

本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数的性质以及勾股定理等知识，综合性较强，有一定的难度，解题时要注意数形结合思想与方程思想的应用．

16、x（x+2）（x﹣2）

【解析】

试题分析：首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式．即x3﹣4x=x（x2﹣4）=x（x+2）（x﹣2）．故答案为x（x+2）（x﹣2）．

考点：提公因式法与公式法的综合运用．

17、3,    >1   

【解析】
根据函数图象与x轴的交点，可求出c的值，根据图象可判断函数的增减性．

【详解】

解：因为二次函数的图象过点．
所以，
解得．
由图象可知：时，y随x的增大而减小．
故答案为(1). 3,    (2). >1

【点睛】

此题考查二次函数图象的性质，数形结合法是解决函数问题经常采用的一种方法，关键是要找出图象与函数解析式之间的联系．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）；（2）

【解析】
（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥DE，可以证明AD∥OC，根据平行线的性质可得，则根据等腰三角形的性质可得，利用，化简计算即可得到答案；
（2）连接CF，根据，可得，利用中垂线和等腰三角形的性质可证四边形是平行四边形，得到△AOF为等边三角形，由并可得四边形是菱形，可证是等边三角形，有∠FAO=60°，再根据弧长公式计算即可．

【详解】

解：（1）如图示，连结，

∵是的切线，∴．

又，∴，

∴，

∴．

∵，

∴．∴．

∵，

∴．

∴，即．

（2）如图示，连结，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴四边形是平行四边形，

∵，

∴四边形是菱形，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

∵，

∴的长．

【点睛】

本题考查的是切线的性质、菱形的判定和性质、弧长的计算，掌握切线的性质定理、弧长公式是解题的关键．

19、（1）25（2）12

【解析】

整体分析：

（1）用勾股定理求斜边AB的长；（2）用三角形的面积等于底乘以高的一半求解.

解：(1).∵在⊿中，，.

∴，

(2).∵⊿，

∴即，

∴20×15＝25CD.

∴.

20、（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）三角形的形状为等腰直角三角形．

【解析】

【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作；

（2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2，

（3）根据勾股定理逆定理解答即可．

【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；

（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1=，A1B==，

即OB2+OA12=A1B2，

所以三角形的形状为等腰直角三角形．

【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．

21、（1）（2）

【解析】
试题分析：首先根据题意进行列表，然后求出各事件的概率．

试题解析：

（1）P（两次取得小球的标号相同）=；

（2）P（两次取得小球的标号的和等于4）=．

考点：概率的计算．

22、-1≤x<4,在数轴上表示见解析.

【解析】

试题分析: 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．

试题解析:

，

由①得，x<4；

由②得，x⩾−1.

故不等式组的解集为：−1⩽x<4.

在数轴上表示为：

23、（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE

【解析】
(1)、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE.

【详解】

(1)、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，

在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；

(2)、由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，

∵PA=PE， ∴∠DAP=∠E， ∴∠DCP=∠E， ∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），

∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，  即∠CPF=∠EDF=90°；

(3)、AP＝CE

理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，

在△ABP和△CBP中， 又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴PA=PC，∠BAP=∠DCP，

∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PC  ∴∠DAP=∠E， ∴∠DCP=∠E

∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，

即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°， ∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE

考点：三角形全等的证明

24、 (1)、证明过程见解析；(2)、①、2；②、1．

【解析】
(1)、首先证明△BEF和△DCF全等，从而得出DC=BE，结合DC和AB平行得出平行四边形；(2)、①、根据矩形得出∠CEB=90°，结合∠ABC=120°得出∠CBE=60°，根据直角三角形的性质得出答案；②、根据菱形的性质以及∠ABC=120°得出△CBE是等边三角形，从而得出答案．

【详解】

(1)、证明：∵AB∥CD，∴∠CDF=∠FEB，∠DCF=∠EBF，∵点F是BC的中点，

∴BF=CF，在△DCF和△EBF中，∠CDF=∠FEB，∠DCF=∠EBF，FC=BF，

∴△EBF≌△DCF（AAS）， ∴DC=BE， ∴四边形BECD是平行四边形；

(2)、①BE=2；∵当四边形BECD是矩形时，∠CEB=90°，∵∠ABC=120°，∴∠CBE=60°；

∴∠ECB=30°，∴BE=BC=2，

②BE=1，∵四边形BECD是菱形时，BE=EC，∵∠ABC=120°，∴∠CBE=60°，

∴△CBE是等边三角形，∴BE=BC=1．

【点睛】

本题主要考查的是平行四边形的性质以及矩形、菱形的判定定理，属于中等难度的题型．理解平行四边形的判定定理以及矩形和菱形的性质是解决这个问题的关键．