2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高一下学期（6月）期末考试网上测试数学试卷（含详解）

这是一份2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高一下学期（6月）期末考试网上测试数学试卷（含详解），共19页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
嘉定一中高一数学第二学期期末网上测试一、填空题（本大题共74分，1-6每题4分，7-16每题5分）1. 函数，的值域为______．2. 已知一个扇形的弧所对的圆心角为40°，半径，则该扇形的弧长为______cm．3. 已知复数，，若所对应的点在实轴上，则______．4. 若，，则______．5. 若向量，，已知与夹角为，则实数k是______．6. 将一枚均匀的骰子抛掷两次，得到的数字依次记为a，b，则实数a是方程的解的概率为______．7. 已知，且是第二象限角，则______．8. 若函数在区间上至少取得3次最大值，则实数t的最小值为______．9. 实系数一元二次方程的根是（i是虚数单位）是的______条件．（填充分非必要、必要非充分、充要、既非充分又非必要）10. 2022年3月，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得上海学生不得不在家“停课不停学”．为了解高三学生每天居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n个学生的调查问卷进行分析，得到学生学习时长的频率分布直方图（如图所示）．已知学习时长在的学生人数为72，则n的值为______．11. 三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，则三角形ABC的周长为______．12. 某位同学参加物理、化学、地理科目等级考，已知这位同学在物理、化学、地理科目考试中达的概率分别为、、，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个的概率是______．13. 在中，，M是AB的中点，若，D在线段AC上运动，则的最小值为______．14. 在中，，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为______．15. 已知函数（其中，），若（T为周期），是函数图像一条对称轴，在区间上单调，则的值为______．16. 锐角三角形ABC中，，且最长边与最短边之比为m，则m的取值范围是______．二、解答题（本大题共76分，17，18，19每题14分，20题16分，21题18分）17. 设平面上有两个向量，．（1）求证：向量与垂直；（2）当向量与平行时，求大小．18. 已知向量，，，在复平面坐标系中，为虚数单位，复数对应的点为．（1）求；（2）若复数z满足（为的共轭复数），且复数z对应的点为Z，求点Z与点之间的最小距离．19. 某小区拟用一块半圆形地块（如图所示）建造一个居民活动区和绿化区．已知半圆形地块的直径千米，点O是半圆的圆心，在圆弧上取点C、D，使得，把四边形ABCD建为居民活动区，并且在居民活动区周围铺上一条由线段AB，BC，CD和DA组成的塑胶跑道，其它部分建为绿化区．设，且；
 （1）当时，求四边形ABCD的面积；（2）求塑胶跑道的总长l关于的函数关系式；（3）当为何值时，塑胶跑道的总长l最短，并求出l的最小值．（答案保留2位小数）20. 已知复数，，（其中是虚数单位）．（1）若，求所有的值所构成的集合；（2）设，记（表示复数的虚部），求的最小正周期与单调递增区间；（3）将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．21. 我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为R的函数，若存在正常数T，使得是以T为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称T为其正弦周期．（1）验证是以为周期的正弦周期函数．（2）已知函数是周期函数，请求出它的一个周期．并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由．（3）已知存在这样一个函数，它是定义在R上严格增函数，值域为R，且是以T为周期的正弦周期函数．若，，且存在，使得，求的值．
嘉定一中高一数学第二学期期末网上测试一、填空题（本大题共74分，1-6每题4分，7-16每题5分）1. 函数，的值域为______．【答案】【分析】由二倍角公式化为一个角的一个三角函数，然后由正弦函数性质得结论．【详解】．故答案为：．2. 已知一个扇形的弧所对的圆心角为40°，半径，则该扇形的弧长为______cm．【答案】【分析】直接利用弧长公式即可求解.【详解】因为一个扇形的弧所对的圆心角为40°，所以圆心角的弧度数为，所以该扇形的弧长为.故答案为：3. 已知复数，，若所对应的点在实轴上，则______．【答案】1011【分析】由复数加法得出，得对应点坐标，由点在实轴得参数值．【详解】，对应点坐标为，所以，．故答案为：1011．4. 若，，则______．【答案】【分析】由两角差的正切公式计算．【详解】由已知．故答案为：．5. 若向量，，已知与的夹角为，则实数k是______．【答案】【分析】解方程即得解.【详解】解：因为与的夹角为，所以，所以所以.故答案为：6. 将一枚均匀的骰子抛掷两次，得到的数字依次记为a，b，则实数a是方程的解的概率为______．【答案】【分析】先确定有序数对的总数，再确定其中满足实数是的解的个数，最后利用古典概型概率计算公式进行求解即可．【详解】解：由题意，有序数对，，，2，3，4，5，，共有种，其中，满足实数是的解，共种，故所求概率．故答案为：7. 已知，且是第二象限角，则______．【答案】##【分析】利用诱导公式求出，即可求出，再由诱导公式计算可得；【详解】解：因为，所以，即，又是第二象限角，所以，所以；故答案为：8. 若函数在区间上至少取得3次最大值，则实数t的最小值为______．【答案】9【分析】根据正弦函数的性质求解．【详解】时，取得最大值，因此在上恰好有3个最大值，由题意函数在区间上至少取得3次最大值，则，，所以的最小值是9．故答案为：9．9. 实系数一元二次方程的根是（i是虚数单位）是的______条件．（填充分非必要、必要非充分、充要、既非充分又非必要）【答案】充要【分析】分成充分性和必要性分别讨论.【详解】充分性：因为实系数一元二次方程的根是，所以且，即.故充分性满足.必要性：因为，所以关于x的实系数一元二次方程中判别式.所以方程的根为，即.故必要性满足.故实系数一元二次方程的根是（i是虚数单位）是的充要条件.故答案为：充要10. 2022年3月，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得上海学生不得不在家“停课不停学”．为了解高三学生每天居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n个学生的调查问卷进行分析，得到学生学习时长的频率分布直方图（如图所示）．已知学习时长在的学生人数为72，则n的值为______．【答案】【分析】由频率分布直方图性质，列出方程，求出，再由学习时长在的频率，再根据频率、频数、总数之间的关系计算可得．【详解】解：由频率分布直方图的性质，得，解得，学习时长在的频率为，所以．故答案为：．11. 三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，则三角形ABC的周长为______．【答案】##【分析】先求出，利用余弦定理求出，即可求出三角形ABC的周长.【详解】三角形ABC中，若A为钝角，则.由大角对大边可得：.因为，所以，这与相矛盾，所以.因为，所以.由余弦定理得： ,解得：.又，所以，所以，三角形ABC的周长为.故答案为：12. 某位同学参加物理、化学、地理科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、地理科目考试中达的概率分别为、、，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个的概率是______．【答案】【分析】利用对立事件和独立事件的概率公式计算．【详解】这位考生没有得到一个的概率是，所以他至少得1个的概率是．故答案为：．13. 在中，，M是AB的中点，若，D在线段AC上运动，则的最小值为______．【答案】．【分析】以为轴，边的中垂线为轴建立平面直角坐标系，求出点坐标，设出点坐标，由数量积的坐标运算求出数量积，由二次函数性质得最小值．【详解】如图，以为轴，边的中垂线为轴建立平面直角坐标系，，，则，，所以，，，，设，，，，所以时，取得最小值．故答案为：14. 在中，，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为______．【答案】【分析】利用三点共线求出，由三角形面积求得，然后把平方转化为数量积，利用基本不等式得最小值．【详解】由题意，所以，所以，又三点共线，所以，，，，，当且仅当，即，，时等号成立，所以．故答案为：．15. 已知函数（其中，），若（T为周期），是函数图像的一条对称轴，在区间上单调，则的值为______．【答案】2或6【分析】由得，由对称轴得出的表达式，由单调性首先缩小的范围，然后对可能取值一一验证可得．【详解】，，，又，所以，，是函数图象的一条对称轴，则，，，，，时，，则在区间上不单调，所以，，时，，符合题意，时，，符合题意，时，，而，不合题意，时，，而，不合题意，故答案为：2或6．16. 锐角三角形ABC中，，且最长边与最短边之比为m，则m取值范围是______．【答案】．【分析】由，得出最大角和最小值在中，从而最大边和最小边是中的一个，不妨设，得，，由正弦定理得，转化为的三角函数后，求出范围．【详解】，则，因此角是中间的角，不妨设，即，，，，，，，所以．故答案为：．二、解答题（本大题共76分，17，18，19每题14分，20题16分，21题18分）17. 设平面上有两个向量，．（1）求证：向量与垂直；（2）当向量与平行时，求的大小．【答案】（1）证明见解析；    （2）或．【分析】（1）计算可得；（2）由向量平行的坐标表示列方程求解．【小问1详解】，所以向量与垂直；【小问2详解】向量与平行，即向量与平行，所以，，又，所以或．18. 已知向量，，，在复平面坐标系中，为虚数单位，复数对应的点为．（1）求；（2）若复数z满足（为的共轭复数），且复数z对应的点为Z，求点Z与点之间的最小距离．【答案】（1）    （2）【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算先求出，再利用复数代数形式的除法运算即可得到复数，从而求出其模．（2）利用复数的几何意义可得曲线是复平面内以圆心，半径为1的圆，再利用点与圆的位置关系求解．【小问1详解】解： 因为，，，所以，所以，所以，所以；【小问2详解】解：由（1）可得，，曲线，即，因此曲线是复平面内以圆心，半径为1的圆，如图， 故与之间的距离为，所以与之间的最小距离为，19. 某小区拟用一块半圆形地块（如图所示）建造一个居民活动区和绿化区．已知半圆形地块的直径千米，点O是半圆的圆心，在圆弧上取点C、D，使得，把四边形ABCD建为居民活动区，并且在居民活动区周围铺上一条由线段AB，BC，CD和DA组成的塑胶跑道，其它部分建为绿化区．设，且；
 （1）当时，求四边形ABCD的面积；（2）求塑胶跑道的总长l关于的函数关系式；（3）当为何值时，塑胶跑道的总长l最短，并求出l的最小值．（答案保留2位小数）【答案】（1）（平方千米）    （2）    （3）时，塑胶跑道的总长l最短，最小值千米．分析】（1），，由三角形面积公式求得三个三角形面积后可得四边形面积；（2），，利用等腰三角形的性质求得底边长，从而得的表达式；（3）利用二倍角公式化简函数式为关于的二次函数，结合二次函数性质、正弦函数性质得最小值．小问1详解】连接，因为，又，则，所以，，，所以（平方千米）；【小问2详解】由（1）知，，，所以（千米）．【小问3详解】，，，所以，即时，．时，，，时，，所以时，取得最小值千米．20. 已知复数，，（其中是虚数单位）．（1）若，求所有的值所构成的集合；（2）设，记（表示复数的虚部），求的最小正周期与单调递增区间；（3）将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）    （2），单调递增区间为；    （3）【分析】（1）根据复数代数形式的加减运算及复数模的计算公式得到，再根据辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；（2）根据复数代数形式的乘法化简复数，即可得到，再根据正弦函数的性质计算可得；（3）根据三角函数的平移变换得到，即可求出的值域，令，依题意可得在上恒成立，参变分离，再利用对勾函数的性质计算可得；【小问1详解】解：因为，，所以， 所以，即，所以，即，所以，，所以，，即，【小问2详解】解：因为，，所以，所以，所以的最小正周期，令，解得，所以函数的单调递增区间为；【小问3详解】解：将向右平移个单位长度，得到，因为，所以，所以，则，因恒成立，令，，则在上恒成立，即在上恒成立，令，，则在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即；21. 我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为R的函数，若存在正常数T，使得是以T为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称T为其正弦周期．（1）验证是以为周期的正弦周期函数．（2）已知函数是周期函数，请求出它的一个周期．并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由．（3）已知存在这样一个函数，它是定义在R上严格增函数，值域为R，且是以T为周期的正弦周期函数．若，，且存在，使得，求的值．【答案】（1）证明见解析；    （2）是它的一个周期且是最小正周期，证明见解析；    （3）．【分析】（1）根据正弦周期函数的定义求解；（2）结合正弦、余弦函数性质由周期函数定义求解．（3）从是严格递增函数，时，进行推理可得．【小问1详解】，证毕．【小问2详解】，易知是它的一个周期，因为，下面证明是的最小正周期，时，是增函数，时，是减函数，又，，所以，即函数图象关于直线对称，所以当时，不可能是函数的周期，假设函数有小于的正周期，则，取，与时，函数的单调性相同，但，而在这两个区间上单调性相反，假设错误．所以是的最小正周期．【小问3详解】因为是周期函数，是它的一个周期，，，又由题意，,因为，，是严格递增函数，所以，又时，，，，因为是严格递增函数，所以与是一一对应的，因此，．