2022年山东省德州市陵城区中考数学二模试卷（含解析）

2022年山东省德州市陵城区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 在实数，，，中，比大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 函数自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

3. 在如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 已知点关于轴对称的点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 两个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点若，则的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 一次函数与反比例函数的图象如图，则二次函数的大致图象是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能让灯泡发光的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，从外一点引圆的切线，切点为，连接并延长交圆于点，连接若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 有下列四个函数：，其中图象经过如图所示的阴影部分包括边界的函数有(    )

A.  个
B. 个
C.  个
D. 个

11. 如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，连结，过点作平行于轴，点在点的右侧，连结交该函数的图象于点，连结，若，且的面积为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在四边形中，，，，，动点，同时从点出发，点以的速度沿向终点运动，点以的速度沿折线向终点运动．设点的运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 计算的结果是______ ．
14. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是______．
15. 如图，在中，，以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点，，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，若，，则的长为______．
16. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转角得到，并使点落在边上，则点所经过的路径长为______ 结果保留

17. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙墙的最大可用长度为，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积刚好为，则此时花圃段的长为______

18. 如图，边长为的正方形中，平分，交于点，，垂足为点，，垂足为点，点在边上，，连接、，与交于点，以下结论：；；；；，其中正确结论的有______只填序号．

三、解答题（本大题共7小题，共78分）

19. 化简求值：，其中是不等式组的整数．
20. 某校为了解九年级男生米长跑的成绩，从中随机抽取了名男生进行测试，根据测试评分标准，将他们的得分进行统计后分为，，，四等，并绘制成下面的频数分布表和如图扇形统计图．

试直接写出，，，的值；
分别求出中位数所在等次，及平均数，众数．
如果该校九年级共有男生名，试估计这名男生中成绩达到等和等的人数共有多少人？

21. 如图，是▱的对角线．
    尺规作图请用铅笔：作线段的垂直平分线，交，，分别于，，，连接，保留作图痕迹，不写作法．
    试判断四边形的形状并说明理由．

22. 李师傅将容量为升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地行驶过程中，货车离目的地的路程千米与行驶时间小时的关系如图所示中途休息、加油的时间不计当油箱中剩余油量为升时，货车会自动显示加油提醒设货车平均耗油量为升千米，请根据图象解答下列问题：
    直接写出工厂离目的地的路程；
    求关于的函数表达式；
    当货车显示加油提醒后，问行驶时间在怎样的范围内货车应进站加油？

23. 如图，是的直径，点是上一点与点，不重合，过点作直线，使得．
    求证：直线是的切线．
    过点作于点，交于点，若的半径为，，求图中阴影部分弓形的面积．

24. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的一半，则称这样的方程为“半等分根方程”，
    方程______半等分根方程填“是”或“不是”；
    若是半等分根方程，则代数式______；
    若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是半等分根方程吗？并说明
    理由；
    如果方程是半等分根方程，且相异两点，都在抛物线上，试说明方程的一个根为．
25. 如图，抛物线与直线相交于，两点，且抛物线经过点
    
    求抛物线的解析式．
    点是抛物线上的一个动点不与点点重合，过点作直线轴于点，交直线于点当时，求点坐标；
    如图所示，设抛物线与轴交于点，在抛物线的第一象限内，是否存在一点，使得四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
比大的数是：．
故选：．
直接利估算无理数的方法得出答案．
此题主要考查了实数比较大小，正确估算无理数的大小是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意得：
且，
且，
故选：．
根据二次根式，分母不为，可得且，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式，分母不为是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
C.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故此选项正确；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误．
故选：．
直接利用积的乘方运算法则，完全平方公式，同底数幂的除法，单项式乘以单项式运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：点关于轴对称的点为在第四象限，
，
解得：，
故选：．
直接利用关于原点对称点的性质得出点对应点，进而利用第四象限内点的坐标特点得出的取值范围．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出的取值范围是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
在中，，
．
故选：．
首先根据“两直线平行，内错角相等”，可求出的度数，在中，利用三角形内角和可求出的度数．
本题主要考查三角形内角和，平行线的性质等内容，根据图形，结合定理求出每个角的度数是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：一次函数图象过第一、二、四象限，
，，
，
二次函数开口向下，二次函数对称轴在轴右侧；
反比例函数的图象在第二、四象限，
，
二次函数的图象与轴交点在轴下方．
满足上述条件的函数图象只有选项A．
故选：．
根据一次函数与反比例函数图象找出、、的正负，再根据抛物线的对称轴为直线，找出二次函数对称轴在轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论．
本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出、、的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：画树状图得：

共有种等可能的结果，能让灯泡发光的有种情况，
能让灯泡发光的概率为．
故选：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
为切线，
，
，
，
．
故选：．
连接，如图，先根据切线的性质得到，再利用互余计算出，然后根据圆周角定理得到的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
 

10.【答案】 

【解析】解：在函数中，当时，，故符合题意；
函数的图象经过二、四象限，故不符合题意；
函数经过一、三象限，当时，，故符合题意；
函数的图象开口向下，对称轴是直线当时，，当时，，故不符合题意；
故选：．
根据题目中的函数解析式和性质，可以判断是否符合题意，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的图象、二次函数的图象、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用它们的性质解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴交轴于点，延长交轴于，
，且的面积为，
，
轴，轴，
，
，
，
∽，
，
，
解得：，
故选：．
过点作轴交轴于点，延长交轴于，根据，可得，根据反比例函数的的几何意义可得，从而得出：，再由∽，依据相似三角形性质列方程求解即可．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，三角形面积，相似三角形的判定和性质等，解题关键是添加辅助线构造相似三角形．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图中，当时，过点作于．

，
如图中，当时，连接，，

如图中，当时，连接，，

由此可知函数图象是选项B，
故选：．
分三种情形：如图中，当时，如图中，当时，如图中，当时，分别求解即可．
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
直接化简二次根式，再合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
 

14.【答案】且 

【解析】解：方程两边同时乘以得：
，
解得：，
关于的分式方程的解为正数，
，
，
，
，
，
的取值范围是且，
故答案为：且．
根据分式方程的解为正数及分式方程的意义得出关于的不等式，解不等式即可得出的取值范围．
本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，根据题意正确得出关于的不等式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：作于，如图，
由作法得平分，
，
在中，，
，
，
．
故答案为．
作于，如图，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后利用面积法得到，从而可求出的长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了角平分线的性质．
 

16.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，，
，
将绕点逆时针旋转角得到，
，
点所经过的路径长，
故答案为：
由直角三角形的性质可求，，由旋转的性质可求，由弧长公式可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，轨迹，弧长公式等知识，求出和是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：设米，则米，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
故答案为：．
设米，则米，根据围成的花圃的面积刚好为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合的长度不超过米，即可确定的值，此题得解．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，

四边形是正方形，
，，，
平分，
，
在和中，
≌，
，，
，
，，
平分，
，
，
故正确；
在中，，
是等腰直角三角形，
正方形的边长为，
，，
，
，
故不正确；
，
∽，
，
，
，
故正确；
延长和交于，如图，

，平分，
，
，
，
在中，，
，
∽，
，
，
，
故选项正确；
故答案为：．
、证明≌，得，再得平分，则既是中线，又是高线，得，证明，则；所以都正确；
可以直接求出的长，计算，错误；
根据正方形边长为，分别计算和的长得结论正确；
利用相似先得出，再根据三角形的中位线定理则，得出也正确．
本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理、角平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的中位线等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式



，
解不等式组得，
不等式组的整数解为、，
又且，
且且，
取，
所以原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组得出其整数解，继而将符合分式的的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
 

20.【答案】解：，
，
，
；
共人，中位数是第和第人的平均数，
中位数所在等次是级；
平均数是分，
分出现的次数最多，故众数是分．
达到等和等的人数为：人． 

【解析】首先根据扇形统计图计算等的人数，从而计算出的值，再根据总数计算的值，最后根据频率频数总数，计算，的值；
根据总人数和每个小组的频数确定中位数、利用加权平均数的计算方法求平均数，根据众数的定义求众数即可；
首先计算样本中达到等和等的人数的频率，进一步估计总体中的人数；
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

21.【答案】解：如图，、为所作；

四边形为菱形．
理由如下：如图，
垂直平分，
，，，
四边形为平行四边形，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形为菱形． 

【解析】利用基本作图，作线段的垂直平分线即可；
先根据线段垂直平分线的性质得到，，，再证明≌得到，所以，于是可判断四边形为菱形．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的判定．
 

22.【答案】解：由图象，得时，，
工厂离目的地的路程为千米，
答：工厂离目的地的路程为千米；
设，
将和代入得，
，
解得：，
关于的函数表达式：，
答：关于的函数表达式：；
当油箱中剩余油量为升时，
千米，
，
解得：小时，
当油箱中剩余油量为升时，
千米，
，解得：小时，
，
随的增大而减小，
的取值范围是． 

【解析】由图象直接求出工厂离目的地的路程；
用待定系数法求出函数解析式即可；
当油箱中剩余油量为升时和当油箱中剩余油量为升时，求出的取值即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

23.【答案】证明：连接．

，
，，
为直径，
，
，
，
，即，
，
为半径，
直线是的切线．
解：过点作于，连接．

，
，
，
由得，
，
又，
，
，
，
，且，
为等边三角形，即，
． 

【解析】连接，由直径所对的圆周角为直角，可得；利用等腰三角形的性质及已知条件，可求得，根据切线的判定定理可得结论．
过点作于，连接由，可得，从而可得的度数，进而判定为等边三角形，则的度数可得出；利用，可求得答案．
本题考查了切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形及扇形和三角形的面积计算等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：不是

点在反比例函数的图象上，
，
关于的方程的根为，
即：，，
，
因此是“半等分根方程”．
方程是半等分根方程，
设，
相异两点 ， 都在抛物线上，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
． 

【解析】解：解方程得，，，
所以，方程不是半等分根方程，
故答案：不是；
方程的一个根为，则另一个根为或，
当另一个根为时，则，，
当另一个根为时，则，，
，
故答案为；
见答案；
见答案．
求得方程的根，根据“半等分根方程”的定义判定即可；
方程有一个根为，由“半等分根方程”的意义可知另一个根为或，当另一个根为时代入方程可得，当另一个根为代入方程可得，而代数式可分解为，因此，
点在反比例函数的图象上，可得，再根据求根公式求出方程的两个根为，，进而判断是“半等分根方程”；
求得抛物线对称轴，然后利用“半等分根方程”的定义以及方程与二次函数的关系进行解答．，
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程与抛物线的关系，一元二次方程的根与系数的关系，以及新定义“半等分根方程”的意义，掌握一元二次方程根与系数的关系和“半等分根方程”的意义是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：点在直线上，
，
，
把、、三点坐标代入抛物线解析式可得，
解得，
抛物线解析式为；

设，则，，
则，，
，
，
当时，解得或，但当时，与重合不合题意，舍去，
；
当时，解得或，但当时，与重合不合题意，舍去，
；
综上可知点坐标为或；

存在这样的点，使得四边形的面积最大．
如图，过点作轴于点，

设，
则，，，
四边形的面积


，
当时，四边形的面积取得最大值，最大值为，此时点的坐标为 

【解析】先由点在直线上求出点的坐标，再利用待定系数法求解可得；
可设出点坐标，则可表示出、的坐标，从而可表示出和的长，由条件可知到关于点坐标的方程，则可求得点坐标；
作轴于点，设，知，，，根据四边形的面积建立关于的函数，再利用二次函数的性质求解可得．
本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及利用割补法列出四边形面积的函数关系式．