北京市三年（2020-2022）中考数学真题按题型分类汇编：04解答题基础题知识点分类

这是一份北京市三年（2020-2022）中考数学真题按题型分类汇编：04解答题基础题知识点分类，共22页。试卷主要包含了2的值，的值，解不等式组，，且与y轴交于点A等内容，欢迎下载使用。

1．（2021•北京）计算：2sin60°+12+|﹣5|﹣（π+2）0．
二．整式的混合运算—化简求值（共2小题）
2．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．
3．（2021•北京）已知a2+2b2﹣1＝0，求代数式（a﹣b）2+b（2a+b）的值．
三．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
4．（2021•北京）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
四．解一元一次不等式组（共2小题）
5．（2022•北京）解不等式组：2+x＞7−4x，x＜4+x2．．
6．（2021•北京）解不等式组：4x−5＞x+13x−42＜x．
五．一次函数图象与几何变换（共2小题）
7．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y=12x的图象向下平移1个单位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
8．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
六．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）
9．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（4，3），（﹣2，0），且与y轴交于点A．
（1）求该函数的解析式及点A的坐标；
（2）当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围．
七．二次函数与不等式（组）（共1小题）
10．（2020•北京）小云在学习过程中遇到一个函数y=16|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）．
下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而 ，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而 ，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而 ．
（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：
结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．
（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y=16|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，则m的最大值是 ．
八．三角形内角和定理（共1小题）
11．（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
九．全等三角形的判定与性质（共1小题）
12．（2022•北京）在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．
（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．
一十．三角形的外接圆与外心（共1小题）
13．（2021•北京）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长．
一十一．切线的性质（共1小题）
14．（2020•北京）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC＝∠AOF；
（2）若sinC=13，BD＝8，求EF的长．
一十二．切线的判定（共1小题）
15．（2022•北京）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．
（1）求证：∠BOD＝2∠A；
（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．
一十三．旋转的性质（共1小题）
16．（2021•北京）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE．
（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；
（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．
一十四．折线统计图（共1小题）
17．（2022•北京）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲、乙两位同学得分的折线图：
b．丙同学得分：
10，10，10，9，9，8，3，9，8，10
c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求表中m的值；
（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对 的评价更一致（填“甲”或“乙”）；
（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是 （填“甲”“乙”或“丙”）．
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2021•北京）计算：2sin60°+12+|﹣5|﹣（π+2）0．
【解答】解：原式＝2×32+23+5﹣1
=3+23+5﹣1
＝33+4．
二．整式的混合运算—化简求值（共2小题）
2．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．
【解答】解：x（x+2）+（x+1）2
＝x2+2x+x2+2x+1
＝2x2+4x+1，
∵x2+2x﹣2＝0，
∴x2+2x＝2，
∴当x2+2x＝2时，原式＝2（x2+2x）+1
＝2×2+1
＝4+1
＝5．
3．（2021•北京）已知a2+2b2﹣1＝0，求代数式（a﹣b）2+b（2a+b）的值．
【解答】解：原式＝a2﹣2ab+b2+2ab+b2
＝a2+2b2，
∵a2+2b2﹣1＝0，
∴a2+2b2＝1，
∴原式＝1．
三．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
4．（2021•北京）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．
∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：方法一：∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0，
∴x1＝m，x2＝3m．
∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，
∴3m﹣m＝2，
∴m＝1．
方法二：
设方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝4m，x1•x2＝3m2，
∵x1﹣x2＝2，
∴（x1﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，
∴（4m）2﹣4×3m2＝4，
∴m＝±1，
又m＞0，
∴m＝1．
四．解一元一次不等式组（共2小题）
5．（2022•北京）解不等式组：2+x＞7−4x，x＜4+x2．．
【解答】解：由2+x＞7﹣4x，得：x＞1，
由x＜4+x2，得：x＜4，
则不等式组的解集为1＜x＜4．
6．（2021•北京）解不等式组：4x−5＞x+13x−42＜x．
【解答】解：解不等式4x﹣5＞x+1，得：x＞2，
解不等式3x−42＜x，得：x＜4，
则不等式组的解集为2＜x＜4．
五．一次函数图象与几何变换（共2小题）
7．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y=12x的图象向下平移1个单位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）函数y=12x的图象向下平移1个单位长度得到y=12x﹣1，
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y=12x的图象向下平移1个单位长度得到，
∴这个一次函数的表达式为y=12x﹣1．
（2）把x＝﹣2代入y=12x﹣1，求得y＝﹣2，
∴函数y＝mx（m≠0）与一次函数y=12x﹣1的交点为（﹣2，﹣2），
把点（﹣2，﹣2）代入y＝mx，求得m＝1，
∵当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y=12x﹣1的值，
∴12≤m≤1．
8．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝x平移得到，
∴k＝1，
将点（1，2）代入y＝x+b，
得1+b＝2，解得b＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x+1；
（2）把点（1，2）代入y＝mx，求得m＝2，
∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝x+1的值，
∴m≥2．
六．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）
9．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（4，3），（﹣2，0），且与y轴交于点A．
（1）求该函数的解析式及点A的坐标；
（2）当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围．
【解答】解：（1）把（4，3），（﹣2，0）分别代入y＝kx+b得4k+b=3−2k+b=0，
解得k=12b=1，
∴函数解析式为y=12x+1，
当x＝0时，y=12x+1＝1，
∴A点坐标为（0，1）；
（2）当n≥1时，当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值．
七．二次函数与不等式（组）（共1小题）
10．（2020•北京）小云在学习过程中遇到一个函数y=16|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）．
下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而 减小 ，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而 减小 ，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而 减小 ．
（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：
结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．
（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y=16|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，则m的最大值是 73 ．
【解答】解：（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而减小，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而减小，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而减小．
故答案为：减小，减小，减小．
（2）函数图象如图所示：
（3）∵直线l与函数y=16|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，
观察图象可知，x＝﹣2时，m的值最大，最大值m=16×2×（4+2+1）=73，
故答案为：73．
八．三角形内角和定理（共1小题）
11．（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
【解答】证明：方法一：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°；
方法二：延长BC，如图，
∵CD∥AB，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCE，
∵∠ACB+∠ACD+∠DCE＝180°，
∴∠A+∠ACD+∠B＝180°．
九．全等三角形的判定与性质（共1小题）
12．（2022•北京）在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．
（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．
【解答】（1）证明：在△BCD和△FCE中，
BC=CF∠BCD=∠FCECD=CE，
∴△BCD≌△FCE（SAS），
∴∠DBC＝∠EFC，
∴BD∥EF，
∵AF⊥EF，
∴BD⊥AF；
（2）解：由题意补全图形如下：
CD＝CH．
证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，
∵AC⊥BF，BC＝CF，
∴AB＝AF，
由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，
∵AB2＝AE2+BD2，
∴AF2＝AE2+EF2，
∴∠AEF＝90°，
∴AE⊥EF，
∴BD⊥AE，
∴∠DHE＝90°，
又∵CD＝CE，
∴CH＝CD＝CE．
一十．三角形的外接圆与外心（共1小题）
13．（2021•北京）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长．
【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴∠BAD＝∠CAD；
（2）解：在Rt△BOE中，OB＝5，OE＝3，
∴BE=OB2−OE2=4，
∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，
∴BC＝2BE＝8，
∵BG是⊙O的直径，
∴∠BCG＝90°，
∴GC=BG2−BC2=6，
∵AD⊥BC，∠BCG＝90°，
∴AE∥GC，
∴△AFO∽△CFG，
∴OAGC=OFFG，即56=OF5−OF，
解得：OF=2511．
一十一．切线的性质（共1小题）
14．（2020•北京）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC＝∠AOF；
（2）若sinC=13，BD＝8，求EF的长．
【解答】解：（1）连接OD，
∵OF⊥AD，
∴∠AOF+∠DAO＝90°，
∵CD是⊙O的切线，D为切点，
∴∠CDO＝90°，
∴∠ADC+∠ADO＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠AOF＝∠ADC；
（2）∵OF⊥AD，BD⊥AD，
∴OF∥BD，
OF∥BD，AO＝OB，
∴AE＝DE，
∴OE=12BD=12×8＝4，
∵sinC=ODOC=13，
∴设OD＝x，OC＝3x，
∴OB＝x，
∴CB＝4x，
∵OF∥BD，
∴△COF∽△CBD，
∴OCBC=OFBD，
∴3x4x=OF8，
∴OF＝6，
∴EF＝OF﹣OE＝6﹣4＝2．
一十二．切线的判定（共1小题）
15．（2022•北京）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．
（1）求证：∠BOD＝2∠A；
（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．
【解答】证明：（1）如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴BC=BD，
∴∠CAB＝∠BAD，
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BOD＝2∠A；
（2）如图，连接OC，
∵F为AC的中点，
∴DF⊥AC，
∴AD＝CD，
∴∠ADF＝∠CDF，
∵BC=BD，
∴∠CAB＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CDF＝∠CAB，
∵OC＝OD，
∴∠CDF＝∠OCD，
∴∠OCD＝∠CAB，
∵BC=BC，
∴∠CAB＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠OCD，
∵∠E＝90°，
∴∠CDE+∠DCE＝90°，
∴∠OCD+∠DCE＝90°，
即OC⊥CE，
∵OC为半径，
∴直线CE为⊙O的切线．
一十三．旋转的性质（共1小题）
16．（2021•北京）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE．
（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；
（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．
【解答】解：（1）∵∠DAE＝∠BAC＝α，
∴∠DAE﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，
即∠BAE＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD，
∵M为BC的中点，
∴BM＝CM，
∴BE+MD＝BM；
（2）如图，作EH⊥AB交BC于H，交AB于F，
由（1）△ABE≌△ACD得：∠ABE＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABD，
在△BEF和△BHF中，
∠EBF=∠HBFBF=BF∠BFE=∠BFH，
∴△BEF≌△BHF（ASA），
∴BE＝BH，
由（1）知：BE+MD＝BM，
∴MH＝MD，
∵MN∥HF，
∴ENDN=MHMD，
∴EN＝DN．
一十四．折线统计图（共1小题）
17．（2022•北京）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲、乙两位同学得分的折线图：
b．丙同学得分：
10，10，10，9，9，8，3，9，8，10
c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求表中m的值；
（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对 甲 的评价更一致（填“甲”或“乙”）；
（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是 丙 （填“甲”“乙”或“丙”）．
【解答】解：（1）m=110×（10+10+10+9+9+8+3+9+8+10）＝8.6；
（2）甲同学的方差S2甲=110×[2×（7﹣8.6）2+2×（8﹣8.6）2+4×（9﹣8.6）2+2×（10﹣8.6）2]＝1.04，
乙同学的方差S2乙=110×[4×（7﹣8.6）2+2×（9﹣8.6）2+4×（10﹣8.6）2]＝1.84，
∵S2甲＜S2乙，
∴评委对甲同学演唱的评价更一致．
故答案为：甲；
（3）甲同学的最后得分为18×（7+8×2+9×4+10）＝8.625；
乙同学的最后得分为18×（3×7+9×2+10×3）＝8.625；
丙同学的最后得分为18×（8×2+9×3+10×3）＝9.125，
∴在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙．
故答案为：丙．x
0
12
1
32
2
52
3
…
y
0
116
16
716
1
9548
72
…
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
方法一
证明：如图，过点A作DE∥BC．
方法二
证明：如图，过点C作CD∥AB．
同学
甲
乙
丙
平均数
8.6
8.6
m
x
0
12
1
32
2
52
3
…
y
0
116
16
716
1
9548
72
…
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
方法一
证明：如图，过点A作DE∥BC．
方法二
证明：如图，过点C作CD∥AB．
同学
甲
乙
丙
平均数
8.6
8.6
m