08图形的性质解答题-2022年江苏省各地区中考数学真题分类汇编

这是一份08图形的性质解答题-2022年江苏省各地区中考数学真题分类汇编，共48页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
08 图形的性质 解答题：
一、解答题
1．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均为格点．
【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段、，相交于点并给出部分说理过程，请你补充完整：
解：在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．
在Rt△ABC中，
在Rt△CDE中， ，
所以．
所以∠=∠．
因为∠ ∠ =∠ =90°，
所以∠ +∠ =90°，
所以∠ =90°，
即⊥．


(1)【拓展应用】如图②是以格点为圆心，为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使=，写出作法，并给出证明：
(2)【拓展应用】如图③是以格点为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦上找出一点P．使=·，写出作法，不用证明．
2．（2022·江苏常州·中考真题）（现有若干张相同的半圆形纸片，点是圆心，直径的长是，是半圆弧上的一点（点与点、不重合），连接、．


(1)沿、剪下，则是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
(2)分别取半圆弧上的点、和直径上的点、．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(3)经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点，一定存在线段上的点、线段上的点和直径上的点、，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由．
3．（2022·江苏常州·中考真题）如图，点在射线上，．如果绕点按逆时针方向旋转到，那么点的位置可以用表示．

(1)按上述表示方法，若，，则点的位置可以表示为______；
(2)在（1）的条件下，已知点的位置用表示，连接、．求证：．
4．（2022·江苏常州·中考真题）在四边形中，是边上的一点．若，则点叫做该四边形的“等形点”．

(1)正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；
(2)如图，在四边形中，边上的点是四边形的“等形点”．已知，，，连接，求的长；
(3)在四边形中，EH//FG．若边上的点是四边形的“等形点”，求的值．
5．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在平行四边形中，点，分别是边，的中点．求证：．

6．（2022·江苏泰州·中考真题）如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．


(1)求证：AF与DE互相平分；
(2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．
7．（2022·江苏泰州·中考真题）已知：△ABC中，D 为BC边上的一点.


(1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；
(2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上做点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由.
8．（2022·江苏泰州·中考真题）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒

(1)如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
(2)在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值.
9．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，△ABC为锐角三角形．


(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，，则四边形ABCD的面积为 ．（如需画草图，请使用试卷中的图2）
10．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，已知四边形ABCD为矩形，，点E在BC上，，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．


(1)求EF的长；
(2)求sin∠CEF的值．
11．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．

(1)求证；
(2)当时，求CE的长．
12．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．

求证：
(1)△DOF≌△BOE；
(2)DE=BF．
13．（2022·江苏扬州·中考真题）如图1，在中，，点在边上由点向点运动（不与点重合），过点作，交射线于点．


(1)分别探索以下两种特殊情形时线段与的数量关系，并说明理由；
①点在线段的延长线上且；
②点在线段上且．
(2)若．
①当时，求的长；
②直接写出运动过程中线段长度的最小值．
14．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，为的弦，交于点，交过点的直线于点，且．


(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的长．
15．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，某学习小组在教学楼的顶部观测信号塔底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保冒根号）．

16．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在中，分别平分，交于点．

(1)求证：；
(2)过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积．
17．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，AB是的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且．

(1)求证：为的切线；
(2)连接BD，取BD的中点G，连接AG．若，，求AG的长．
18．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F．


(1)求证：；
(2)若，求的度数．
19．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，∠ =45°，，以为直径的⊙与边交于点．

(1)判断直线与⊙的位置关系，并说明理由；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
20．（2022·江苏扬州·中考真题）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？
【初步尝试】如图1，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
【问题联想】如图2，已知线段，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以为斜边的等腰直角三角形；
【问题再解】如图3，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．
（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）

21．（2022·江苏连云港·中考真题）【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中，，．
【问题探究】小昕同学将三角板绕点B按顺时针方向旋转．




(1)如图2，当点落在边上时，延长交于点，求的长．
(2)若点、、在同一条直线上，求点到直线的距离．
(3)连接，取的中点，三角板由初始位置（图1），旋转到点、、首次在同一条直线上（如图3），求点所经过的路径长．
(4)如图4，为的中点，则在旋转过程中，点到直线的距离的最大值是_____．
22．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且．

(1)求证：四边形为菱形；
(2)若是边长为2的等边三角形，点、、分别在线段、、上运动，求的最小值．

参考答案：
1．(1)；见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）取格点，作射线交于点P，则根据垂径定理可知，点P即为所求作；
（2）取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作．利用正切函数证得∠FMI=∠MNA，利用圆周角定理证得∠B=∠MNA，再推出△PAM∽△MAB，即可证明结论．
(1)
解：【操作探究】在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．
在Rt△ABC中，
在Rt△CDE中，，
所以．
所以∠=∠．
因为∠ ∠ =∠ =90°，
所以∠ +∠ =90°，
所以∠ =90°，
即⊥．
故答案为：；
取格点，作射线交于点P，点P即为所求作；







(2)
解：取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作；
证明：作直径AN，连接BM、MN，
在Rt△FMI中，，
在Rt△MNA中，，
所以．
∴∠FMI=∠MNA，
∵∠B=∠MNA，
∴∠AMP=∠B，
∵∠PAM=∠MAB，
∴△PAM∽△MAB，
∴，
∴=·．

【点睛】
本题考查作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．(1)直角
(2)见详解
(3)小明的猜想错误，理由见详解
【解析】
【分析】
（1）AB是圆的直径，根据圆周角定理可知∠ACB=90°，即可作答；
（2）以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点E，再以E为圆心，EO为半径画弧交于⊙O点F连接EF、FO、EA，G、H点分别与A、O点重合，即可；
（3）过C点作，交AB于点G，连接CO，根据，可得，即有，则可求得，依据，NQ=4，可得GC=OC=6，即可判断．
(1)
如图，


∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB是直角，
即△ABC是直角三角形，
故答案为：直角，
(2)
以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点E，再以E为圆心，EO为半径画弧交于⊙O点F连接EF、FO、EA，G、H点分别与A、O点重合，即可，
作图如下：


由作图可知AE=EF=FH=HG=OA=AB=6，
即四边形EFHG是边长为6cm的菱形；
(3)
小明的猜想错误，理由如下：
如图，菱形MNQP的边长为4，过C点作，交AB于点G，连接CO，


在菱形MNQP中MN=QN=4，，
∵，
∴，
∴，
∵AB=12，MN=4，
∴，
∵BN=BC-CN，
∴，
∵，NQ=4，
，

∴，
∴GC=6，
∵AB=12，
∴OC=6，
∴OC=GC，
显然若C点靠近A点时，要满足GC=OC=6，此时的G点必在BA的延长线上，
∵P点在线段AB上，   
∴直线GC必与直线PM相交，这与相矛盾，
故小明的猜想错误．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、尺规作图、菱形的性质、平行的性质等知识，掌握菱形的性质以及平行的性质求得GC=OC是解答本题的关键．
3．(1)(3,37°)
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据点的位置定义，即可得出答案；
（2）画出图形，证明△AOA′≌△BOA′（SAS），即可由全等三角形的性质，得出结论．
(1)
解：由题意，得A′(a,n°)，
∵a=3,n=37，
∴A′(3,37°)，
故答案为：(3,37°)；
(2)
证明：如图，

∵，B(3,74°)，
∴∠AOA′=37°，∠AOB=74°，OA= OB=3，
∴∠A′OB=∠AOB-∠AOA′=74°-37°=37°，
∵OA′=OA′，
∴△AOA′≌△BOA′（SAS），
∴A′A=A′B．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，新定义，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
4．(1)不存在，理由见详解
(2)
(3)1
【解析】
【分析】
（1）根据“等形点”的概念，采用反证法即可判断；
（2）过A点作AM⊥BC于点M，根据“等形点”的性质可得AB=CD=，OA=OC=5，OB=7=OD，设MO=a，则BM=BO-MO=7-a，在Rt△ABM和Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM，则在Rt△AMC中利用勾股定理即可求出AC；
（3）根据“等形点”的性质可得OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，再根据，可得∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，即有∠OEH=∠OHE，进而有OE=OH，可得OF=OG，则问题得解．
(1)
不存在，
理由如下：
假设正方形ABCD存在“等形点”点O，即存在△OAB≌△OCD，
∵在正方形ABCD中，点O在边BC上，
∴∠ABO=90°，
∵△OAB≌△OCD，
∴∠ABO=∠CDO=90°，
∴CD⊥DO，
∵CD⊥BC，
∴，
∵O点在BC上，
∴DO与BC交于点O，
∴假设不成立，
故正方形不存在“等形点”；
(2)
如图，过A点作AM⊥BC于点M，如图，

∵O点是四边形ABCD的“等形点”，
∴△OAB≌△OCD，
∴AB=CD，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，
∵，OA=5，BC=12，
∴AB=CD=，OA=OC=5，
∴OB=BC-OC=12-5=7=OD，
∵AM⊥BC，
∴∠AMO=90°=∠AMB，
∴设MO=a，则BM=BO-MO=7-a，
∴在Rt△ABM和Rt△AOM中，，
∴，即，
解得：，即，
∴MC=MO+OC=，
∴在Rt△AMC中，，
即AC的长为；
(3)
如图，

∵O点是四边形EFGH的“等形点”，
∴△OEF≌△OGH，
∴OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，
∵，
∴∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，
∴根据∠EOF=∠GOH有∠OEH=∠OHE，
∴OE=OH，
∵OF=OH，OE=OG，
∴OF=OG，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质、勾股定理、正方形的性质、平行的性质等知识，充分利用全等三角形的性质是解答本题的关键．
5．证明见解析
【解析】
【分析】
利用是平行四边形，得到，，再证明，即可证明是平行四边形，利用平行四边形的性质即可得到．
【详解】
证明：∵是平行四边形，
∴，，
∵点，分别是边，的中点，
∴，
∵，
∴是平行四边形，
∴．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定及性质，解题的关键是证明是平行四边形．
6．(1)见解析
(2)AF=BC，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）易知点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，所以线段DF与EF也为△ABC的中位线，由中位线定理证得四边形ADFE是平行四边形，因为平行四边形的对角线相互平分，此题可证；
（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形，结合已知条件可知，当AF=BC时，平行四边形ADFE为矩形．
(1)
证明：∵线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线，
∴D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴线段DF与EF也为△ABC的中位线，
∴DFAC，EFAB，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AF与DE互相平分．
(2)
解：当AF=BC时，四边形ADFE为矩形，理由如下：
∵线段DE为△ABC的中位线，
∴DE=BC，
由（1）知四边形ADFE为平行四边形，若ADFE为矩形，则AF=DE，
∴当AF=BC时，四边形ADFE为矩形．
【点睛】
此题考查了中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质；解题的关键是数形结合，熟练运用上述知识．
7．(1)2
(2)图见详解
(3)直线BC与⊙F相切，理由见详解
【解析】
【分析】
（1）由题意易得，则有，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解；
（2）作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；
（3）作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，证明四边形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，由CF∥BR，推出，推出CD⊥DF，然后问题可求解．
(1)
解：∵DE∥AB，
∴，
∴，
∵AB=5，BD=9，DC=6，
∴，
∴；
(2)
解：作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；
如图所示：点F即为所求，


(3)
解：直线BC与⊙F相切，理由如下：
作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，如图，


∵∠DFA=∠A，
∴四边形ABRF是等腰梯形，
∴，
∵△FBC的面积等于，
∴，
∴CD⊥DF，
∵FD是⊙F的半径，
∴直线BC与⊙F相切．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定是解题的关键．
8．(1)
(2)8或9秒
【解析】
【分析】
(1)通过计算当t=2.5时EB=BO，进而得到△MBE≌△MBO，判断出△MEO为等边三角形得到∠EOM=60°，然后根据弧长公式求解；
(2)通过判定△GAO≌△HBO，然后利用全等三角形的性质分析求解．
(1)
解：设BC与⊙O交于点M，如下图所示：

当t=2.5时，BE=2.5，
∵EF=10，
∴OE=EF=5，
∴OB=2.5，
∴EB=OB，
在正方形ABCD中，∠EBM=∠OBM=90°，且MB=MB，
∴△MBE≌△MBO(SAS)，
∴ME=MO，
∴ME=EO=MO，
∴△MOE是等边三角形，
∴∠EOM=60°，
∴．
(2)
解：连接GO和HO，如下图所示：

∵∠GOH=90°，
∴∠AOG+∠BOH=90°，
∵∠AOG+∠AGO=90°，
∴∠AGO=∠BOH，
在△AGO和△OBH中，，
∴△AGO≌△BOH(AAS)，
∴AG=OB=BE-EO=t-5，
∵AB=7，
∴AE=BE-AB=t-7，
∴AO=EO-AE=5-(t-7)=12-t，
在Rt△AGO中，AG2+AO2=OG2，
∴(t-5)2+(12-t)2=52，
解得：t1=8，t2=9，
即t的值为8或9秒．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，弧长公式的计算，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定(一线三垂直模型)，结合勾股定理列方程是解题关键．
9．(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分线的性质作，即可找出点D；
（2）由题意可知四边形ABCD是梯形，利用直角三角形的性质求出AE、BE、CE、AD的长，求出梯形的面积即可．
(1)
解：如图，


∴点D为所求点．
(2)
解：过点A作AE垂直于BC，垂足为E，




∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵∠DAC＝∠ACB，
∴，四边形ABCD是梯形，
∴，
∴四边形AECD是矩形，
∴，
∴四边形ABCD的面积为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查作图，作相等的角，根据垂直平分线的性质做垂线，根据直角三角形的性质及勾股定理求线段的长，正确作出图形是解答本题的关键．
10．(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)先由可求得的长度，再由角度关系可得，即可求得的长;
(2)过F作于，利用勾股定理列方程，即可求出的长度，同时求出的长度，得出答案.
(1)
设，则，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠可知，
∴，，
∴，
∴，
在中，.


(2)
过F作FM⊥BC于M，
∴∠FME=∠FMC=90°，
设EM=a,则EC=3-a，
在中， ，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ .




【点睛】
此题考查了锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质，通过添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．
11．(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据同弧所对圆周角相等可得，再由对顶角相等得，故可证明绪论；
（2）根据可得由可得出连接AE，可证明，得出 代入相关数据可求出，从而可求出绪论．
(1)
∵所对的圆周角是，
∴，
又，
∴；
(2)
∵△是等边三角形，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴，
∴
∴
连接如图，

∵
∴
∴∠
又∠，
∴△
∴，
∴
∴，
∴（负值舍去）
∴，
解得，
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，相似三角形和判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
12．(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形ABCD的性质，利用ASA即可证明△DOF≌△BOE；
（2）证明四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论．
(1)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，
∴AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF．
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA）；
(2)
证明：∵△BOE≌△DOF，
∴EO=FO，
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴DE=BF．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，证明三角形全等是解决问的关键．
13．(1)①②
(2)①②4
【解析】
【分析】
（1）①算出各个内角，发现其是等腰三角形即可推出；
②算出各内角发现其是30°的直角三角形即可推出；
（2）①分别过点A，E作BC的垂线，得到一线三垂直的相似，即，设，，利用30°直角三角形的三边关系，分别表示出，，，，列式求解a即可；
②分别过点A，E作BC的垂线，相交于点G，H，证明可得，然后利用完全平方公式变形得出，求出AE的取值范围即可．
(1)
①如图：

∵在中，，
∴
∵
∴，
在中，
∴
∴
∴；
②如图：

∵
∴，
∴在中，
∴
∴；
(2)
①分别过点A，E作BC的垂线，相交于点H，G，则∠EGD＝∠DHA＝90°，

∴∠GED＋∠GDE＝90°，
∵∠HDA＋∠GDE＝90°，
∴∠GED＝∠HDA，
∴，
设，，则，，
在中，，AB=6
则，
在中，，
则
在中，，
∴
∴
由得，
即
解得：，（舍）
故；
②分别过点A，E作BC的垂线，相交于点G，H，则∠EHD＝∠AGD＝90°，

∵∠ADE＝90°，
∴∠EDH=90°-∠ADG＝∠DAG，
∵∠EHD＝∠AGD＝90°，
∴，
∴，
∴，
∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，
∴∠B=30°，
∴，
∴，
∴=，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故AE的最小值为4.
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，一线三垂直相似模型，垂线段最短，熟练掌握直角三角形的性质，一线三垂直模型，垂线段最短原理是解题的关键．
14．(1)相切，证明见详解
(2)6
【解析】
【分析】
（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得出，，从而求出，再根据切线的判定得出结论；
（2）分别作交AB于点M，交AB于N，根据求出OP，AP的长，利用垂径定理求出AB的长，进而求出BP的长，然后在等腰三角形CPB中求解CB即可．
(1)
证明：连接OB，如图所示：


，
，，
，
，
，即，
，
，
为半径，经过点O，
直线与的位置关系是相切．
(2)
分别作交AB于点M，交AB于N，如图所示：


，
，
，，

，，
，
，
，

，
．
【点睛】
本题考查了切线的证明，垂径定理的性质，等腰三角形，勾股定理，三角函数等知识点，熟练掌握相关知识并灵活应用是解决此题的关键，抓住直角三角形边的关系求解线段长度是解题的主线思路．
15．（20＋20）m．
【解析】
【分析】
过点A作AE⊥CD于点E，则四边形ABDE是矩形，DE＝AB＝20m，在Rt△ADE中，求出AE的长，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，求出CE的长，即可得到CD的长，得到信号塔的高度．
【详解】
解：过点A作AE⊥CD于点E，
由题意可知，∠B＝∠BDE＝∠AED＝90°，
∴四边形ABDE是矩形，
∴DE＝AB＝20m，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝30°，DE＝20m，
∵tan∠DAE＝，
∴m，
在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠CAE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴ m，
∴CD＝CE＋DE＝（20＋20）m，
∴信号塔的高度为（20＋20）m．

【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、特殊角的锐角三角函数等知识，借助仰角俯角构造直角三角形与矩形是解题的关键．
16．(1)见详解
(2)84
【解析】
【分析】
（1）由平行四边形的性质证即可求证；
（2）作，由即可求解；
(1)
证明：在中，
∵，
∴，
∵分别平分，，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∴．
(2)
如图，作，

∵的周长为56，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质、三角形的全等、角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）方法一：如图1，连接OC，OD．由，，可得，由是的直径，D是的中点，，进而可得，即可证明CF为的切线；
方法二：如图2，连接OC，BC．设．同方法一证明，即可证明CF为的切线；
（2）方法一：如图3，过G作，垂足为H．设的半径为r，则．在Rt△OCF中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得；
方法二：如图4，连接AD．由方法一，得．，D是的中点，可得，根据勾股定理即可求得．
(1)
（1）方法一：如图1，连接OC，OD．
∵，
∴．
∵，
∴．   
∵，
∴．
∵是的直径，D是的中点，
∴．
∴．
∴，即．
∴．
∴CF为的切线．

方法二：如图2，连接OC，BC．设．
∵AB是的直径，D是的中点，
∴．
∴．
∵，
∴．   
∴．
∵，
∴．
∴．
∵AB是的直径，
∴．
∴．
∴，即．
∴．
∴CF为的切线．

(2)
解：方法一：如图3，过G作，垂足为H．
设的半径为r，则．
在Rt△OCF中，，
解之得．
∵，
∴．   
∵，
∴．
∴．

∴．
∵G为BD中点，
∴．
∴，．
∴．
∴．

方法二：如图4，连接AD．由方法一，得．
∵AB是的直径，
∴．
∵，D是的中点，
∴．
∵G为BD中点，
∴．
∴．

【点睛】
本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由矩形与折叠的性质可得，，从而可得结论；
（2）先证明，再求解， 结合对折的性质可得答案．
(1)
证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，
则，．
在△DAF和△ECF中，

∴．
(2)
解：∵，
∴．
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，矩形的性质，熟练的运用轴对称的性质证明边与角的相等是解本题的关键．
19．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明 从而可得结论；
（2）如图，记BC与的交点为M，连接OM，先证明 再利用阴影部分的面积等于三角形ABC的面积减去三角形BOM的面积，减去扇形AOM的面积即可．
(1)
证明： ∠ =45°，，

即
在上，
为的切线．
(2)
如图，记BC与的交点为M，连接OM，
，

，
，
，，
，
．

【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质，切线的判定，扇形面积的计算，掌握“切线的判定方法与割补法求解不规则图形面积的方法”是解本题的关键．
20．见解析
【解析】
【分析】
【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线所在直线即为所求；
【问题联想】如图2，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；
【问题再解】如图3先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆, 与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形所交的圆弧即为所求．
【详解】
【初步尝试】如图所示，作∠AOB的角平分线所在直线OP即为所求；


【问题联想】如图，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；


【问题再解】如图，先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆, 与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形所交的圆弧CD即为所求．


【点睛】
本题考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，扇形的面积等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握基本作图方法．
21．(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）在Rt△BEF中，根据余弦的定义求解即可；
（2）分点在上方和下方两种情况讨论求解即可；
（3）取的中点，连接，从而求出OG=，得出点在以为圆心，为半径的圆上，然后根据弧长公式即可求解；
（4）由（3）知，点在以为圆心，为半径的圆上，过O作OH⊥AB于H，当G在OH的反向延长线上时，GH最大，即点到直线的距离的最大，在Rt△BOH中求出OH，进而可求GH.
(1)
解：由题意得，，
∵在中，，，．
∴．
(2)
①当点在上方时，
如图一，过点作，垂足为，


∵在中，，，，
∴，
∴．
∵在中，，，
，，
∴．
∵点、、在同一直线上，且，
∴．
又∵在中，，，，
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
②当点在下方时，
如图二，


在中，∵，，，
∴．
∴．
过点作，垂足为．
在中，，
∴．
综上，点到直线的距离为．
(3)
解：如图三，取的中点，连接，则．


∴点在以为圆心，为半径的圆上．
当三角板绕点B顺时针由初始位置旋转到点、B、首次在同一条直线上时，点所经过的轨迹为所对的圆弧，圆弧长为．
∴点所经过的路径长为．
(4)
解：由（3）知，点在以为圆心，为半径的圆上，
如图四，过O作OH⊥AB于H，


当G在OH的反向延长线上时，GH最大，即点到直线的距离的最大，
在Rt△BOH中，∠BHO=90°，∠OBH=30°，，
∴，
∴，
即点到直线的距离的最大值为.
【点睛】
本题考查了勾股定理，旋转的性质，弧长公式，解直角三角形等知识，分点在上方和下方是解第（2）的关键，确定点G的运动轨迹是解第（3）（4）的关键.
22．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先根据四边形为平行四边形的性质和证明四边形为平行四边形，再根据，即可得证；
（2）先根据菱形对称性得，得到，进一步说明的最小值即为菱形的高，再利用三角函数即可求解．
(1)
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
又∵点在的延长线上，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形．
(2)
解：如图，由菱形对称性得，点关于的对称点在上，
∴，
当、、共线时，
，
过点作，垂足为，
∵，
∴的最小值即为平行线间的距离的长，
∵是边长为2的等边三角形，
∴在中，，，，
∴，
∴的最小值为．

【点睛】
本题考查了最值问题，考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角函数等知识，运用了转化的思想方法．将最值问题转化为求菱形的高是解答本题的关键．