山东省泰安市三年（2018-2022）年中考数学模拟题汇编：04解答题中档题、提升题知识点分类

这是一份山东省泰安市三年（2018-2022）年中考数学模拟题汇编：04解答题中档题、提升题知识点分类，共25页。试卷主要包含了问题探究，，A组等内容，欢迎下载使用。
山东省泰安市三年（2018-2022）年中考数学模拟题汇编：04解答题中档题、提升题知识点分类
一．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
1．（2022•泰安）如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为C，OA＝2，tanA＝，反比例函数y＝的图象经过OA的中点B，与AC交于点D．
（1）求k值；
（2）求△OBD的面积．

二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
2．（2020•泰安）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，a），点B（14﹣2a，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．

三．二次函数综合题（共3小题）
3．（2021•泰安）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式；
（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．

4．（2020•泰安）若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图（1），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；
（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF．
①当m＝时，求点P的坐标；
②求m的最大值．

5．（2022•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（0，﹣4），其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一交点为C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．
①若点N在线段OC上，且MN＝3NC，求点M的坐标；
②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．


四．矩形的性质（共1小题）
6．（2021•泰安）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．
（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；
（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△DGF是等腰直角三角形．

五．圆的综合题（共2小题）
7．（2021•泰安）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝ED；
（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．

8．（2022•泰安）问题探究
（1）在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC与∠BCA的平分线．
①若∠A＝60°，AB＝AC，如图1，试证明BC＝CD+BE；
②将①中的条件“AB＝AC”去掉，其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立？并说明理由．
迁移运用
（2）若四边形ABCD是圆的内接四边形，且∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，如图3，试探究线段AD，BC，AC之间的等量关系，并证明．


六．相似三角形的判定与性质（共1小题）
9．（2022•泰安）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．
（1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；
（2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；
（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．

七．列表法与树状图法（共2小题）
10．（2022•泰安）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 　 　名学生的成绩，频数分布直方图中m＝　 　，所抽取学生成绩的中位数落在 　 　组；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
（4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．


11．（2020•泰安）为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次参加比赛的学生人数是 　 　名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；
（4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．

参考答案与试题解析
一．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
1．（2022•泰安）如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为C，OA＝2，tanA＝，反比例函数y＝的图象经过OA的中点B，与AC交于点D．
（1）求k值；
（2）求△OBD的面积．

【解答】解：（1）∵∠ACO＝90°，tanA＝，
∴AC＝2OC，
∵OA＝2，
由勾股定理得：（2）2＝OC2+（2OC）2，
∴OC＝2，AC＝4，
∴A（2，4），
∵B是OA的中点，
∴B（1，2），
∴k＝1×2＝2；
（2）当x＝2时，y＝1，
∴D（2，1），
∴AD＝4﹣1＝3，
∵S△OBD＝S△OAD﹣S△ABD
＝×3×2﹣×3×1
＝1.5．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
2．（2020•泰安）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，a），点B（14﹣2a，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．

【解答】解：（1）∵点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，
∴3×a＝（14﹣2a）×2，解得：a＝4，则m＝3×4＝12，
故反比例函数的表达式为：y＝；

（2）∵a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），
设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则，解得，
故一次函数的表达式为：y＝﹣x+6；
当x＝0时，y＝6，故点C（0，6），故OC＝6，
而点D为点C关于原点O的对称点，则CD＝2OC＝12，
△ACD的面积＝×CD•xA＝×12×3＝18．
三．二次函数综合题（共3小题）
3．（2021•泰安）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式；
（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．

【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）如图，设BP与y轴交于点E，
∵PD∥y轴，
∴∠DPB＝∠OEB，
∵∠DPB＝2∠BCO，
∴∠OEB＝2∠BCO，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴BE＝CE，
令x＝0，得y＝4，
∴C（0，4），OC＝4，
设OE＝a，则CE＝4﹣a，
∴BE＝4﹣a，
在Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2+OB2，
∴（4﹣a）2＝a2+12，
解得：a＝，
∴E（0，），
设BE所在直线表达式为y＝kx+e（k≠0），
∴，
解得：，
∴直线BP的表达式为y＝﹣x+；
（3）有最大值．
如图，设PD与AC交于点N，
过点B作y轴的平行线与AC相交于点M，
设直线AC表达式为y＝mx+n，
∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴，
解得：，
∴直线AC表达式为y＝x+4，
∴M点的坐标为（1，5），
∴BM＝5，
∵BM∥PN，
∴△PNQ∽△BMQ，
∴＝＝，
设P（a0，﹣a02﹣3a0+4）（﹣4＜a0＜0），则N（a0，a0+4），
∴＝＝＝，
∴当a0＝﹣2时，有最大值，
此时，点P的坐标为（﹣2，6）．

4．（2020•泰安）若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图（1），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；
（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF．
①当m＝时，求点P的坐标；
②求m的最大值．

【解答】解：（1）一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3），
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）设直线BE交y轴于点M，

从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为x＝1，
∵CD∥x轴交抛物线于点D，故点D（2，﹣3），
由点B、C的坐标知，直线BC与AB的夹角为45°，即∠MCB＝∠DCB＝45°，
∵BC恰好平分∠DBE，故∠MBC＝∠DBC，
而BC＝BC，
故△BCD≌△BCM（ASA），
∴CM＝CD＝2，故OM＝3﹣2＝1，故点M（0，﹣1），
设直线BE的表达式为：y＝kx+b，则，解得，
故直线BE的表达式为：y＝x﹣1；

（3）过点P作PN∥x轴交BC于点N，

则△PFN∽△AFB，则，
而S△BFP＝mS△BAF，则＝，解得：m＝PN，
①当m＝时，则PN＝2，
设点P（t，t2﹣2t﹣3），
由点B、C的坐标知，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，当x＝t﹣2时，y＝t﹣5，故点N（t﹣2，t﹣5），
故t﹣5＝t2﹣2t﹣3，
解得：t＝1或2，故点P（2，﹣3）或（1，﹣4）；
②m＝PN＝[t﹣（t2﹣2t）]＝﹣（t﹣）2+，
∵＜0，故m的最大值为．
5．（2022•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（0，﹣4），其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一交点为C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．
①若点N在线段OC上，且MN＝3NC，求点M的坐标；
②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．


【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点B（0，﹣4），
∴c＝﹣4，
∵对称轴为直线x＝1，经过A（﹣2，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4；

（2）①如图1中，

设直线AB的解析式为y＝kx+n，
∵A（﹣2，0），B（0，﹣4），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣4，
∵A，C关于直线x＝1对称，
∴C（4，0），
设N（m，0），
∵MN⊥x轴，
∴M（m，﹣2m﹣4），
∴NC＝4﹣m，
∵MN＝3NC，
∴2m+4＝3（4﹣m），
∴m＝，
∴点M（，﹣）；

②如图2中，连接PQ，MN交于点E．设M（t，﹣2t﹣4），则点N（t，0），

∵四边形MPNQ是正方形，
∴PQ⊥MN，NE＝EP，NE＝MN，
∴PQ∥x轴，
∴E（t，﹣t﹣2），
∴NE＝t+2，
∴ON+EP＝ON+NE＝t+t+2＝2t+2，
∴P（2t+2，﹣t﹣2），
∵点P在抛物线y＝x2﹣x﹣4上，
∴（2t+2）2﹣（2t+2）﹣4＝﹣t﹣2，
解得t1＝，t2＝﹣2，
∵点P在第四象限，
∴t＝﹣2舍去，
∴t＝，
∴点M坐标为（，﹣5）．


四．矩形的性质（共1小题）
6．（2021•泰安）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．
（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；
（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△DGF是等腰直角三角形．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，CB⊥AE，
又∵AC＝EC，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD为平行四边形；
（2）∵AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形，
∵EG⊥AC，
∴∠E＝∠GAE＝45°，
∴GE＝GA，
又∵AF＝BE，
∴AB＝FE，
∴FE＝AD，
在△EGF和△AGD中，
，
∴△EGF≌△AGD（SAS），
∴GF＝GD，∠DGA＝∠FGE，
∠DGF＝∠DGA+∠AGF＝∠EGF+∠AGF＝∠AGE＝90°，
∴△DGF是等腰直角三角形．
五．圆的综合题（共2小题）
7．（2021•泰安）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝ED；
（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．

【解答】（1）证明：如图1中，连接BC．

∵＝，
∴∠DCB＝∠DBC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠BCE＝90°，
∴∠E+∠DBC＝90°，∠ECD+∠DCB＝90°，
∴∠E＝∠DCE，
∴CD＝ED．

（2）①证明：如图2中，

∵CF＝CH，
∴∠CFH＝∠CHF，
∵∠AFO＝∠CFH，
∴∠AFO＝∠CHF，
∵＝，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴△AFO∽△AHC，
∴＝，
∴＝，
∴CF•AF＝OF•AH．

②解：如图3中，连接OD交BC于G．设OG＝x，则DG＝2﹣x．

∵＝，
∴∠COD＝∠BOD，
∵OC＝OB，
∴OD⊥BC，CG＝BG，
在Rt△OCG和Rt△BGD中，则有22﹣x2＝12﹣（2﹣x）2，
∴x＝，即OG＝，
∵OA＝OB，
∴OG是△ABC的中位线，
∴OG＝AC，
∴AC＝．
8．（2022•泰安）问题探究
（1）在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC与∠BCA的平分线．
①若∠A＝60°，AB＝AC，如图1，试证明BC＝CD+BE；
②将①中的条件“AB＝AC”去掉，其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立？并说明理由．
迁移运用
（2）若四边形ABCD是圆的内接四边形，且∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，如图3，试探究线段AD，BC，AC之间的等量关系，并证明．


【解答】（1）①证明：如图1中，

∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
∴点D，E分别是AC，AB的中点，
∴BE＝AB＝BC，CD＝AC＝BC，
∴BE+CD＝BC；

②解：结论成立．
理由：如图2中，设BD交CE于点O，在BC上取一点G，使得BG＝BE，连接OG．

∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BOE＝∠COD＝60°，
∵BE＝BG，∠EBO＝∠GBO，BO＝BO，
∴△EBO≌△GBO（SAS），
∴∠BOE＝∠BOG＝60°，
∴∠COD＝∠COG＝60°，
∵CO＝CO，∠DCO＝∠GCO，
∴△OCD≌△OCG（ASA），
∴CD＝CG，
∴BE+CD＝BG+CG＝BC；

（2）解：结论：AC＝AD+BC．
理由：如图3中，作点B关于AC的对称点E，连接AE，EC．

∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DAB+∠BCD＝180°，
∵∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，
∴3∠BAC+3∠ACD＝180°，
∴∠BAC+∠ACD＝60°，
∵∠BAC＝∠EAC，
∴∠FAC+∠FCA＝60°，
∴∠AFC＝120°，
∴∠AFD＝∠EFC＝60°，
∵∠DAF＝∠FAC，∠FCA＝∠FCE，
由②可知AD+EC＝AC，
∵EC＝BC，
∴AD+BC＝AC．
六．相似三角形的判定与性质（共1小题）
9．（2022•泰安）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．
（1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；
（2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；
（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．

【解答】（1）证明：如图，

在矩形ABCD中，OD＝OC，AB∥CD，∠BCD＝90°，
∴∠2＝∠3＝∠4，∠3+∠5＝90°，
∵DE＝BE，
∴∠1＝∠2，
又∵BE平分∠DBC，
∴∠1＝∠6，
∴∠3＝∠6，
∴∠6+∠5＝90°，
∴BF⊥AC；
（2）解：与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF，理由如下：
由（1）可得∠1＝∠4，BF⊥AC，
∴∠AFB＝∠BFC＝90°，
∴△ABF∽△BOF，
∵∠1＝∠3，∠EFC＝∠BFO，
∴△ECF∽△BOF；
（3）解：∵△ECF∽△BOF，
∴，
∴，即3CF＝2BF，
∴3OA＝2BF+9①，
∵△ABF∽△BOF，
∴，
∴BF2＝OF•AF，
∴BF2＝3（OA+3）②，
联立①②，可得BF＝1±（负值舍去），
∴DE＝BE＝2+1+＝3+．
七．列表法与树状图法（共2小题）
10．（2022•泰安）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 　400　名学生的成绩，频数分布直方图中m＝　60　，所抽取学生成绩的中位数落在 　D　组；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
（4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．


【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取的学生总人数为：96÷24%＝400（名），
∴B组的人数为：400×15%＝60（名），
∴m＝60，
∵所抽取学生成绩的中位数是第200个和第201个成绩的平均数，20+96+60＝176，
∴所抽取学生成绩的中位数落在D组，
故答案为：400，60，D；
（2）E组的人数为：400﹣20﹣60﹣96﹣144＝80（人），
补全学生成绩频数分布直方图如下：

（3）3000×＝1680（人），
答：估计该校成绩优秀的学生有1680人；
（4）画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有12种，
∴抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为＝．
11．（2020•泰安）为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次参加比赛的学生人数是 　80　名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；
（4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．
【解答】解：（1）本次参加比赛的学生人数为18÷22.5%＝80（名）；
故答案为：80；
（2）D组人数为：80﹣16﹣18﹣20﹣8＝18（名），把条形统计图补充完整如图：

（3）扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数为360°×＝72°；
（4）画树状图如图：

共有9个等可能的结果，所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有5个，
∴所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为．