【通用版】2023届高考数学一轮复习数列专练（1）数列的概念

（1）数列的概念

1.下列结论中，正确的是(   )

A.数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数

B.数列的项数一定是无限的

C.数列的通项公式的形式是唯一的

D.数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式

2.下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(   )

A.-1，-2，-3，-4，…  B.-1，，，，…

C.-1，-2，-4，-8， …  D.1，，，，…，

3.已知且，函数，数列满足，且是递增数列，则实数k的取值范围是(   )

A. B. C. D.

4.已知数列2，，2，…的通项公式为，则的值为(   )

A. B. C. D.

5.已知在数列中，，，则的值为(   )

A. B.0 C. D.

6.给出以下通项公式：

①；②；③.其中可以作为数列，0，，0，，0，…的通项公式的是(   )

A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

7.已知数列中，，，，则(   )

A.6 B.-6 C.3 D.-3

8.在数列中，，，则的值为(   )

A.0 B. C. D.3

9.已知数列是一个递增数列，满足，，，则(   )

A.4 B.6 C.7 D.8

10.数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，一般指冰雹猜想，它是指一个正整数，如果是奇数就乘3再加1，如果是偶数就析出偶数因数，这样经过若干次数，最终回到1.对任意正整数，记按照上述规则实施第n次运算的结果为，则使的所有可能取值的个数为(   )

A.3 B.4 C.5 D.6

11.已知数列满足：，若，则___________.

12.在数列中，则数列中的最小项是第________项.
 

13.若正项数列满足，则称数列为型数列.给出正项数列的4种递推关系为:①;②;③;④.则使得数列是型数列的递推关系的序号为____________________.

14.已知数列满足，且，则的通项公式为_______________.

15.已知数列满足，.

（1）求的通项公式；

（2）若，求的前n项和.

答案以及解析

1.答案：A

解析：A显然正确；有穷数列的项数是有限的，故B错误；数列的通项公式的形式不一定是唯一的，故C错误；数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…存在通项公式故D错误.

2.答案：B

解析：对于A，数列-1，-2，-3，-4，…是递减数列，故A不符合题意；对于B，数列-1，，，，…是递增数列，也是无穷数列，故B符合题意；对于C，数列-1，-2，-4，-8，…是递减数列，故C不符合题意；对于D，此数列不是无穷数列，故D不符合题意.故选B.

3.答案：D

解析：因为是递增数列，所以，解得，所以实数k的取值范围是.

4.答案：C

解析：将，代入通项公式，得解得则，所以.

5.答案：B

解析：由递推公式写出前几项分别是：0，，，0，…，则数列是一个以3为周期的周期数列，所以.

6.答案：D

解析：代入验证，可知①②③均可以作为，0，，0，，0，…的通项公式.

7.答案：D

解析：，，，，，，，，，…，周期为6，即..所以D选项是正确的.

8.答案：B

解析：因为，所以，.

9.答案：B

解析：当时，.

因为是递增数列且，所以或或.

当时，代入，得，矛盾，舍去.

当时，代入，得，

所以，，

即，，，.

又是一个递增数列，且，所以.

当时，代入，得，不满足数列是一个递增数列，舍去.

10.答案：D

解析：由题意知，由得或
①若则或或
②若则或.
当时此时或；
当时，此时或.
综上，满足条件的的值共有6个.故选D.

11.答案：

解析：由题意，得.①若，则，，所以；②若，则，，则，与矛盾.综上，.

12.答案：5

解析：因为，
所以当时，，且，当时，且
所以当时，取得最小值.

13.答案：①②③④

解析：对于①，，且的各项均为正数，，即，此时数列为型数列;

对于②，，，此时数列为型数列;

对于③，，此时数列为型数列;

对于④，，，即，此时数列为型数列.

14.答案：

解析：依题意数列满足，且①.

当时，，，

②，

②-①得，，

则，

所以，

，都符合上式.

所以的通项公式为.

故答案为：.

15.答案：（1）

（2）

解析：（1）由，得，

即，

所以当时，，

，

……

，

将上达式子进行累加得，

将代入可得，即.

当时也满足上式，所以.

（2）由（1）得，

则.