2022年浙江省绍兴市上虞区中考数学模拟试卷（含解析）

2022年浙江省绍兴市上虞区中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 实数，，，中，为负数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 我国历来实行耕地保护党政同责，落实“长牙齿”的耕地保护硬措施，严守亩耕地红线．这个数字用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为中心对称图形的是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的投影长为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 在一个不透明的袋中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球和个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，四边形为的内接四边形，已知为，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，点，，均在网格交点上，是的外接圆，则的正弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在中，，，，点是斜边上一动点，连结，将以直线为对称轴进行轴对称变换，点的对称点为，连结，则在点从点出发向点运动的整个过程中，线段长度的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 一次函数的图象过点，且分别与轴和轴的正半轴交于，两点，点为坐标原点．当面积最小时，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30分）

11. 分解因式：______．
12. 不等式的解是______．
13. 我国古代数学名著孙子算经上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设鸡只，兔只，则由头数可列出方程，那么由足数可列出的方程为______．

14. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连结，则的度数是______．

15. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与两坐标轴的正半轴分别交于点，，以为三角形一边作等边，顶点在反比例函数的图象上，则______．

16. 在中，，，，是射线上的一个动点，点与点关于直线对称，当______时，为直角三角形．

三、解答题（本大题共8小题，共80分）

17. 计算：；
    化简：．
18. 杭州年第届亚运会，绍兴市将承办篮球、排球、棒球、垒球、攀岩个项目的比赛．为了解学生对这些比赛项目的喜欢程度，某校随机抽查了部分学生进行问卷调查，要求每名学生只选其中最喜欢的一个项目，并将抽查结果绘制成如图不完整的统计图．
    
    根据图中信息，解答下列问题：
    本次接受问卷调查的学生有多少人？在图中补全条形统计图并求图中“攀岩”的扇形圆心角的度数．
    全校共有名学生，请你估计全校学生中最喜欢“篮球”或“排球”的学生各有多少人．
19. 绍兴首条智慧快速路于今年月日正式通车．该快速路上，两站相距，甲、乙两名杭州亚运会会务工作志愿者从站出发前往站附近的比赛场馆开展服务．甲乘坐无人驾驶小巴，乙乘坐无人驾驶汽车．图中，分别表示甲、乙离开站的路程与时间的函数关系的图象．
    根据图象解答下列问题：
    填空：甲比乙提前______分钟出发；无人驾驶小巴的速度为______；当乙乘坐无人驾驶汽车到达站时，无人驾驶小巴离站还有______．
    求乙离开站的路程与时间的函数关系式，说明图中两函数图象交点的实际意义．

20. 如图，已知是矩形对角线的交点，，，作，，，交于点．
    记，求的值．
    求四边形的周长与面积．

21. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如表所示．
    根据相关信息解答下列问题．

求小球的飞行高度单位：关于飞行时间单位：的二次函数关系式．
小球从飞出到落地要用多少时间？
小球的飞行高度能否达到？如果能，请求出相应的飞行时间；如果不能，请说明理由．
 

22. 如图，海岸线上有两座灯塔，，灯塔位于灯塔的正东方向，与灯塔相距海上有甲、乙两艘货船，甲船位于灯塔的北偏东方向，与灯塔相距的处；乙船位于灯塔的北偏东方向，与灯塔相距的处．求：
    甲船与灯塔之间的距离；
    两艘货船之间的距离．

23. 正方形中，点，分别在边，上，且平分．
    如图，若点是的中点，求的值；
    如图，若点是的中点，求的值；
    如图，若去掉条件“平分”，增加条件“，”，求的值．
     

24. 如图，在中，，，点，分别是边，的中点，连结将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为．
    通过画图探究，发现：当时，______；当时，______；
    当时，试判断是否是定值？请仅就图所示情形给出证明．
    当旋转至，，三点共线时：
    求线段的长；
    设为射线上的一动点，若以，，三点为顶点的三角形是直角三角形，试求的长．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：实数，，，中，为负数的是，
故选：．
根据负数定义可得答案．
此题主要考查了实数，关键是掌握负数定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．对于较大数为原整数位减．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转后能够重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：该几何体的俯视图如下：

故选：．
根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

5.【答案】 

【解析】解：延长、分别交轴于、，作轴于，交于，如图，
，，．
，，，
，
∽，
，即，
．
故选D．
利用中心投影，延长、分别交轴于、，作轴于，交于，如图，证明∽，然后利用相似比可求出的长．
本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大即位似变换的关系．
 

6.【答案】 

【解析】解：共只球，白色的有个，
所以从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为，
故选：．
用白球的个数除以球的总数即可求得答案．
本题考查了概率公式，用到知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是的内接四边形，
，
由圆周角定理得，，
故选：．
根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理计算，得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，延长交于点，连接，

在中，，
由圆周角定理得：，
，
故选：．
延长交于点，连接，根据正切的定义求出，根据圆周角定理得到，得到答案．
本题考查的是三角形的外接圆与外心、正切的定义、圆周角定理，正确作出辅助性是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
，
的最小值为，
故选D．
解直角三角形求出，再根据，可得结论．
本题考查解直角三角形，轨迹等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：将代入函数表达式可得，
，
，
令，则，令，则，
一次函数的图象与轴的正半轴、轴的正半轴相交，
，，，
，
，
．
，
当，即时，等号成立．
当时，的面积最小，为，
此时．
故选：．
根据函数图象上点的坐标特征得到与的关系，用表示出点、点的坐标，根据三角形的面积公式解答即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，根据题意确定点、点的坐标是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
故答案为：．
去括号、移项，合并同类项即可．
本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设鸡有只，兔有只，则由头数可列出方程，那么由足数可列出的方程为．
故答案是：．
根据“鸡的数量兔的数量，鸡的脚的数量兔子的脚的数量”可列方程组．
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
 

14.【答案】或 

【解析】解：如图所示，

当点在点的左侧时，
，，
，
，
，
，
；
当点在点的右侧时，
，，
，
，
，
，
，
由上可得，的度数是或，
故答案为或．
根据等腰三角形的性质可以得到各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出的度数即可．
本题考查等腰三角形的性质、圆的性质，解答本题的关键是画出合适的辅助线，利用分类讨论的方法解答．
 

15.【答案】或 

【解析】解：一次函数的图象与两坐标轴的正半轴分别交于点，，
当时，，
，
，
当时，，
，
，
，
，
设点，
根据两点之间的距离公式，得，
，
解得，，
或，，
故答案为：或．
先求出点和点的坐标，根据勾股定理，求出等边三角形的边长，设点，根据两点之间的距离公式可得，，解方程组即可．
本题考查了反比例函数的解析式，等边三角形的性质，两点之间的距离公式等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：当在边上，时，过作于，如图：

，，，
，
，
，
在中，
，
，点与点关于直线对称，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
当在边的延长线上，时，如图：

，点与点关于直线对称，
，
是等腰直角三角形，
，
．
综上所述，的长度为或．
故答案为：或．
分两种情况：当在边上，时，过作于，当在边的延长线上，时，分别利用勾股定理，等腰直角三角形性质即可求解．
主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题．
 

17.【答案】解：原式

．
原式

． 

【解析】根据二次根式的性质、特殊角的锐角三角函数的值以及零指数幂的意义即可求出答案．
根据分式的加减运算法则即可求出答案．
本题考查分式的加减运算法则、二次根式的性质、特殊角的锐角三角函数的值以及零指数幂的意义，本题属于基础题型．
 

18.【答案】解：总人数为人，喜欢攀岩的人数为人，所占圆心角度数为，
补图如下：

最喜欢“篮球”的人数为人，最喜欢“排球”的人数为人，
答：最喜欢“篮球”的人数约人，最喜欢“排球”的人数为人． 

【解析】由篮球的人数和所占百分比可得总人数，再根据攀岩的百分比可得人数，用百分比可得圆心角度数；
利用样本估计总体的方法，即可求得答案．
本题考查了条形统计图，观察条形统计图、扇形统计图获得有效信息是解题关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：由图象可知，甲比乙提前分钟出发；
无人驾驶小巴的速度为：；当乙乘坐无人驾驶汽车到达站时，无人驾驶小巴离站还有：，
故答案为：；；；
设乙离开站的路程与时间的函数关系式为，
根据题意，得：
，
解得，
，
解方程，得，
故点的横坐标为，纵坐标为，
交点的实际意义为甲出发分钟后被乙追上，此时离站．
由图象可知，甲比乙提前分钟出发；根据“速度路程时间”可得无人驾驶小巴的速度；根据无人驾驶小巴的速度可得答案；
利用待定系数法可得乙离开站的路程与时间的函数关系式，再结合无人驾驶小巴的速度列方程可得的横坐标，进而得出的纵坐标，从而得出点的实际意义．
本题考查一次函数的应用，解题关键是掌握待定系数法，掌握一次函数与方程的关系．
 

20.【答案】解：在矩形中，，，
，
，
，
；
解：，，
四边形是平行四边形，
在矩形中，，
，
四边形是菱形，
四边形的周长为，
，
四边形的面积为． 

【解析】根据矩形的性质，由勾股定理得出的长，根据平行线的性质得出，进而解答即可；
得出四边形是菱形，进而得出周长，再求出面积即可．
此题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，关键是根据矩形的性质，由勾股定理得出的长解答．
 

21.【答案】解：抛物线过原点，
设该二次函数解析式为，
将、代入，得：，
解得，
小球的飞行高度关于飞行时间的二次函数关系式为；
小球飞出和落地时的高度都为，令，
得方程：，
解这个方程得：，，
所以小球从飞出到落地要用．
令，得方程，
整理得：，
因为，
所以方程无实数根，
所以小球的飞行高度不能达到； 

【解析】设该二次函数解析式为，将、代入求出、的值即可；
当时，，解方程即可解答；
当，得方程，解方程即可解答．
本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：连接，

，，
是等边三角形，
，
答：甲船与灯塔之间的距离是；
过作于，

由得，，，，
中，，
，
，
，
答：两艘货船之间的距离是． 

【解析】连接，由图可得，是等边三角形，进而可得的长度；
过作于，根据角的余弦求出，再根据勾股定理可得答案．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
 

23.【答案】解：如图，延长交的延长线于点，

四边形是正方形，
，
，
平分，
，
，
，
点是的中点，
，
，
≌，
，
设，则，
设，则，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
；
解：如图，延长交的延长线于点，

是的中点，故可设，
，则，
由知，
，
由得，，
，
∽，
；
解：如图，延长交的延长线于点，过点作延长线的垂线，垂足为，

，故可设，，则，
由勾股定理得，，
，，
∽，
，
，
设，，
由勾股定理得，，
在中，，
，
，
即，
，
，
，
，，
∽，
． 

【解析】延长交的延长线于点，根据证明≌，进而利用勾股定理解答即可；
延长交的延长线于点，证明∽，进而利用相似三角形的性质解答即可；
延长交的延长线于点，过点作延长线的垂线，垂足为，由∽，进而利用相似三角形的性质解答即可．
此题考查四边形综合题，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质解答．
 

24.【答案】  

【解析】解：当时，
中，，
，
点、分别是边、的中点，
，，
；
如图，
，
当时，可得，
，
．
故答案为：，；
当时，为定值，证明如下：
如图，
，
，
，
又，
∽，
；
如图，

，，，
，
，
，，
四边形是矩形，
；
如图，连接，过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，

，，，
，
点、分别是边、的中点，
，
，
由，可得，
．
综上所述，的长为或；
如图：

当时，
由知四边形是矩形，
，即为与交点，
，
当时，
，
，
∽，
，即，
，
；
如图：

当时，延长、交于，
，
，
，
，
，
由知，
，
由知∽，
，
，，
，
，即，
是的中位线，
，
；
如图：

当时，过作于，交于，
，
，，
又，
∽，
，即，
，，
，，
∽，
，即，
，，
，
，，
∽，
，即，
，
，
，
综上所述，的值为或或或．
当时，在中，由勾股定理，求出的值是多少；然后根据点、分别是边、的中点，分别求出、的大小，即可求出的值是多少．
时，可得，然后根据，求出的值是多少即可．
首先判断出，再根据，判断出∽，即可求出的值是多少，进而判断出的大小没有变化即可．
根据题意，分两种情况：点，，所在的直线和平行时；点，，所在的直线和相交时；然后分类讨论，求出线段的长各是多少即可；
在的基础上，分、为直角顶点，共有四种情况，分别画出图形，利用相似三角形的知识解决．
本题考查了几何变换综合应用，涉及相似三角形、全等三角形的判定和性质的应用以及矩形的判定和性质的应用，解题的关键是分类讨论思想的应用，有一定难度．