初三数学几何(相似三角形、锐角三角函数)单元测试(含答案)
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这是一份初三数学几何(相似三角形、锐角三角函数)单元测试(含答案),共9页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
初三数学几何(相似三角形、锐角三角函数)单元测试一、选择题(30分)1. (2020·绍兴)如图,三角板在灯光照射下形成投影,三角板与其投影的相似比为2︰5,且三角板的一边长为8cm.则投影三角板的对应边长为( )A.20cm B.10cm C.8cm D.3.2cm第1题第2题第4题2.(2020·嘉兴) 如图,在直角坐标系中,△OAB的顶点为O(0,0),A(4,3),B(3,0).以点O为位似中心,在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD,则点C坐标为( )A.(﹣1,﹣1) B.() C.() D.(﹣2,﹣1)3.(2020·铜仁)已知△FHB∽△EAD,它们的周长分别为30和15,且FH=6,则EA的长为( )A.3 B.2 C.4 D.54.(2020·新疆)如图,在△ABC中,∠A=90°,D是AB的中点,过点D作BC的平行线交AC于点E,作BC的垂线交BC于点F,若AB=CE,且△DFE的面积为1,则BC的长为 ( )A. B.5 C. D.105. (2020·福建)如图,面积为1的等边三角形中,分别是,,的中点,则的面积是( )A.1; B.; C.; D.第5题第7题第8题6. (2020·天津)2sin45°的值等于( )A. 1 B. C. D. 27. (2020·湖北荆州)如图,在6×6的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,点A,B,C均在网格交点上,⊙O是△ABC的外接圆,则的值为( )A. B. C. D. 8. 如图,在中,D、E分别是AB和AC的中点,,则( )A. 30 B. 25 C. 22.5 D. 209. (2020·威海)如图,矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3,l4,l2,l1上.若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等,AB=4,BC=3,则tanα的值为( )A. B. C. D.10. (2020·广西北部湾经济区)如图,在△ABC中,BC=120,高AD=60,正方形EFGH一边在BC上,点E,F分别在AB,AC上,AD交EF于点N,则AN的长为( )A.15 B.20 C.25 D.30第9题第10题二、填空题(24分)11.(2020·黔东南州)cos60°= .12.(2020·常州)如图,点C在线段AB上,且AC=2BC,分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形 ACDE、BCFG,连接 EC、EG,则tan∠CEG=________.第12题第13题13.(2020·盐城) 如图,且,则= .14. (2020·东营)如图,P为平行四边形ABCD边BC边上一点,E、F分别为PA、PD上的点,且PA=3PE,PD=3PF,△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为、、,若=2,则+= .第14题第15题第16题15. (2020·吉林)如图,在中,,分别是边,的中点.若的面积为.则四边形的面积为_______.16.(2020·郴州)在平面直角坐标系中,将以点为位似中心,为位似比作位似变换,得到.已知,则点的坐标是 .17.(2020·威海)如图,点C在∠AOB的内部,∠OCA=∠OCB,∠OCA与∠AOB互补.若AC=1.5,BC=2,则OC= .第17题第18题18. (2020·苏州)如图,已知是一个锐角,以点为圆心,任意长为半径画弧,分别交、于点、,再分别以点、为圆心,大于长为半径画弧,两弧交于点,画射线.过点作,交射线于点,过点作,交于点.设,,则________.三、解答题:(76分)19. (2020·苏州)如图,在矩形中,是的中点,,垂足为.(1)求证:;(2)若,,求的长.20. (2020·攀枝花)三角形三条边上的中线交于一点,这个点叫三角形的重心.如图是的重心.求证:.21. (2020·泰州)如图,在中,,,,为边上的动点(与、不重合),,交于点,连接,设,的面积为.(1)用含的代数式表示的长;(2)求与的函数表达式,并求当随增大而减小时的取值范围.22. (2020·昆明)如图1,在矩形ABCD中,AB=5,BC=8,点E,F分别为AB,CD的中点.(1)求证:四边形AEFD是矩形;(2)如图2,点P是边AD上一点,BP交EF于点O,点A关于BP的对称点为点M,当点M落在线段EF上时,则有OB=OM.请说明理由;(3)如图3,若点P是射线AD上一个动点,点A关于BP的对称点为点M,连接AM,DM,当△AMD是等腰三角形时,求AP的长.23.(2020年安徽)如图,山顶上有一个信号塔AC,已知信号塔高AC=15米,在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD=36.9°,塔顶A的仰角∠ABD=42.0°,求山高CD(点A,C,D在同一条竖直线上).(参考数据:tan36.9°≈0.75,sin36.9°≈0.60,tan42.0°≈0.90.)24.(2020年武汉)(10分)问题背景 如图(1),已知△ABC∽△ADE,求证:△ABD∽△ACE;尝试应用 如图(2),在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,∠ABC=∠ADE=30°,AC与DE相交于点F,点D在BC边上,=,求的值;拓展创新 如图(3),D是△ABC内一点,∠BAD=∠CBD=30°,∠BDC=90°,AB=4,AC=2,直接写出AD的长.
参考答案:1.A;2.B;3.A;4.A;本题考查了相似三角形的判定与性质,三角形的中位线定理.如答图,过点E作EG⊥BC于G,过点A作AH⊥BC于H.又因为DF⊥BC,所以DF∥AH∥EG,四边形DEGF是矩形.所以△BDF∽△BAH,DF=EG,所以=,因为D为AB中点,所以=,所以=.设DF=EG=x,则AH=2x.因为∠BAC=90°,所以∠B+∠C=90°,因为EG⊥BC,所以∠C+∠CEG=90°,所以∠B=∠CEG,又因为∠BHA=∠CGE=90°,AB=CE,所以△ABH≌△CEG,所以CG=AH=2x.同理可证△BDF∽△ECG,所以=,因为BD=AB=CE,所以=EG=x.在Rt△BDF中,由勾股定理得BD===x,所以AD=x,所以CE=AB=2AD=x.因为DE∥BC,所以==,所以AE=AC=CE=x.在Rt△ADE中,由勾股定理得DE===x.因△DEF的面积为1,所以DE·DF=1,即×x·x=1,解得x=,所以DE=×=,因为AD=BD,AE=CE,所以BC=2DE=,因此本题选A. 第7题5.D;6.B;7.B;过A点作BC的垂线,垂足为D,∵每个小正方形的边长都是1,点A,B,C均在网格交点上,∴AD=1,CD=3,∴,过点B作AC的垂线,垂足为E,∴,即,∴.在中,,在中,AE=,∴cos∠BAC=.8.D;9. 作CF⊥l4于点F,交l3于点E,设CB交l3于点G,由已知可得,GE∥BF,CE=EF,∴△CEG∽△CFB,∴,∵,∴,∵BC=3,∴GB,∵l3∥l4,∴∠α=∠GAB,∵四边形ABCD是矩形,AB=4,∴∠ABG=90°,∴tan∠BAG,∴tanα的值为,故选:A.10. B;{解析}设正方形EFGH的边长EF=EH=x,∵四边EFGH是正方形,∴∠HEF=∠EHG=90°,EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∵AD是△ABC的高,∴∠HDN=90°,∴四边形EHDN是矩形,∴DN=EH=x,∵△AEF∽△ABC,∴(相似三角形对应边上的高的比等于相似比),∵BC=120,AD=60,∴AN=60﹣x,∴,解得:x=40,∴AN=60﹣x=60﹣40=20.因此本题选B.11. ;12. ;13.2;14. ∵PA=3PE,PD=3PF,∠APD =∠EPF,∴△PEF∽△PAD,相似比为1︰3,∵△PEF的面积为=2,∴=9S=9×2=18,∴+==18.15.;16. (,2);17. 【分析】通过证明△ACO∽△OCB,可得,可求OC.【解析】:∵∠OCA=∠OCB,∠OCA与∠AOB互补,∴∠OCA+∠AOB=180°,∠OCB+∠AOB=180°,∵∠OCA+∠COA+∠OAC=180°,∠OCB+∠OBC+∠COB=180°,∴∠AOB=∠COA+∠OAC,∠AOB=∠OBC+∠COB,∴∠AOC=∠OBC,∠COB=∠OAC,∴△ACO∽△OCB,∴,∴OC2=23,∴OC,故答案为.18.。19. 解: 证明:(1)∵四边形是矩形,∴,.∴,∵,∴.∴,∴.解:(2)∵,∴.∵,是的中点,∴.∴在中,.又∵,∴,∴.20. 连接DE,∵点G是△ABC的重心,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥AC且DE=AC,∴△DEG∽△ACG,∴,∴∴AD=3DG,即AD=3GD.21. 解: (1)∵DP∥AB,∴△DCP∽△ACB,∴ ∴ ∴∴AD=3-(2)∵△DCP∽△ACB,且相似比为x:4.∴S△DCP:S△ACB=x2:16∴S△ABC=∴S△DCP=∴S△APB=∴S=S△ABC-S△ABP-S△CDP 当 时,S随x增大而减少.22. 本题考查了矩形的性质定理和判定定理、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质.(1)利用矩形ABCD得到∠A=90°,AB∥CD,AB=CD,再结合E、F是中点得到AE∥DF,AE=DF,最后利用矩形的判定定理得到四边形AEFD是矩形.(2)连接OA、AM,根据对称性得到OA=OM,利用EF垂直平分AB得到OA=OB,最后利用等量代换得到OM=OB.(3)当△AMD是等腰三角形时,分三种情况求解:①AM=DM;②AD=AM;③DA=DM.{答案}(1)证明:∵四边形是ABCD矩形,∴∠A=90°,AB∥CD,AB=CD,∵点E,F分别为AB,CD的中点,∴AE∥DF,AE=DF,∴四边形AEFD是平行四边形.又∵∠A=90°,四边形AEFD是矩形.(2)证明:如图2,连接OA、AM,图2 图3∵点A关于BP的对称点为点M,∴OA=OM.∵四边形AEFD是矩形,∴AE=BE,又∵点E为AB的中点,∴EF垂直平分AB,∴OA=OB,∴OM=OB.(3)∵△AMD是等腰三角形,∴分以下三种情况求解:①如图3所示:当AM=DM时,连接BM、PM,作HM⊥AD于H,交BC于G,则∠MHP=∠BGH=90°.∵AB=5,BC=8,∴PH=AH-PA=4-PM,BM=AB=5,BG=AH=AD=×8=4,∴,∴MH=5-3=2.∵,∴,∴,∴.②如图4所示,当AM=AD=8时,连接BM、PM,则OA=AM=AD=×8=4.∵∠BAP=∠AOB=∠AOP=90°,∴,△AOP∽△BOA,∴,即,∴.∴.图4图5③如图5所示,当DM=AD=8时,点P与点D重合,∴AP=AD=8.综上所述,AP的长度为或或8.23. 解:由题意,在Rt△ABD中,tan∠ABD=,∴tan42.0°=≈0.9,∴AD≈0.9BD,在Rt△BCD中,tan∠CBD=,∴tan36.9°=≈0.75,∴CD≈0.75BD,∵AC=AD﹣CD,∴15=0.15BD,∴BD=100米,∴CD=0.75BD=75(米),答:山高CD为75米.24. 问题背景证明:∵△ABC∽△ADE,∴,∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,,∴△ABD∽△ACE;尝试应用解:如图1,连接EC,∵∠BAC=∠DAE=90°,∠ABC=∠ADE=30°,∴△ABC∽△ADE,由(1)知△ABD∽△ACE,∴,∠ACE=∠ABD=∠ADE,在Rt△ADE中,∠ADE=30°,∴,∴=3.∵∠ADF=∠ECF,∠AFD=∠EFC,∴△ADF∽△ECF,∴=3.拓展创新解:如图2,过点A作AB的垂线,过点D作AD的垂线,两垂线交于点M,连接BM,∵∠BAD=30°,∴∠DAM=60°,∴∠AMD=30°,∴∠AMD=∠DBC,又∵∠ADM=∠BDC=90°,∴△BDC∽△MDA,∴,又∠BDC=∠ADM,∴∠BDC+∠CDM=∠ADM+∠ADC,即∠BDM=∠CDA,∴△BDM∽△CDA,∴,∵AC=2,∴BM=2=6,∴AM===2,∴AD=.
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