2022年四川省广元市中考数学试卷

这是一份2022年四川省广元市中考数学试卷，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年四川省广元市中考数学试卷
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意．每小题3分，共30分）
1．（3分）若实数的相反数是，则等于　　
A． B．0 C． D．3
2．（3分）如图是某几何体的展开图，该几何体是　　


A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱
3．（3分）下列运算正确的是　　
A． B．
C． D．
4．（3分）如图，直线，将三角尺直角顶点放在直线上，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
5．（3分）某药店在今年3月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，口罩花费9600元．已知一次性医用外科口罩的单价比口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为元，则列方程正确的是　　
A． B．
C． D．
6．（3分）如图是根据南街米粉店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是　　

A．平均数是6 B．众数是7 C．中位数是11 D．方差是8
7．（3分）如图，是的直径，、是上的两点，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
8．（3分）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点、，则的长度为　　

A． B．3 C． D．
9．（3分）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为　　

A． B． C． D．
10．（3分）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点，、点，在该函数图象上，则；（5）为常数）．其中正确的结论有　　

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：　　．
12．（4分）石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将这个数用科学记数法表示为 　　．
13．（4分）一个袋中装有个红球，10个黄球，个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么与的关系是 　　．
14．（4分）如图，将沿弦折叠，恰经过圆心，若，则阴影部分的面积为 　　．

15．（4分）如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在第二象限内，反比例函数的图象经过的顶点和边的中点，如果的面积为6，那么的值是 　　．

16．（4分）如图，直尺垂直竖立在水平面上，将一个含角的直角三角板的斜边靠在直尺的一边上，使点与点重合，．当点沿方向滑动时，点同时从点出发沿射线方向滑动．当点滑动到点时，点运动的路径长为 　　．

三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程．共96分）
17．（6分）计算：．
18．（8分）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解．
19．（8分）如图，在四边形中，，平分，，为中点，连结．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，求的面积．

20．（9分）为丰富学生课余活动，明德中学组建了体育类、美术类、音乐类和其它类四类学生活动社团，要求每人必须参加且只参加一类活动．学校随机抽取八年级（1）班全体学生进行调查，以了解学生参团情况．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）八年级（1）班学生总人数是 　　人，补全条形统计图，扇形统计图中区域所对应的扇形的圆心角的度数为 　　；
（2）明德中学共有学生2500人，请估算该校参与体育类和美术类社团的学生总人数；
（3）校园艺术节到了，学校将从符合条件的4名社团学生（男女各2名）中随机选择两名学生担任开幕式主持人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率．


21．（9分）如图，计划在山顶的正下方沿直线方向开通穿山隧道．在点处测得山顶的仰角为，在距点的处测得山顶的仰角为，从与点相距的处测得山顶的仰角为，点、、、在同一直线上，求隧道的长度．

22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象相交于点，并与轴交于点．点是线段上一点，与的面积比为．
（1）求和的值；
（2）若将绕点顺时针旋转，使点的对应点落在轴正半轴上，得到△，判断点是否在函数的图象上，并说明理由．

23．（10分）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？
24．（10分）在中，，以为直径的交于点，点是边的中点，连结．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．

25．（12分）在中，，将线段绕点旋转，得到线段，连接、．
（1）如图1，将线段绕点逆时针旋转，则的度数为 　　；
（2）将线段绕点顺时针旋转时
①在图2中依题意补全图形，并求的度数；
②若的平分线交于点，交的延长线于点，连结．用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明．


26．（14分）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，并与轴的正半轴交于点．
（1）求，满足的关系式及的值；
（2）当时，若点是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值；
（3）当时，若点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值．


2022年四川省广元市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意．每小题3分，共30分）
1．（3分）若实数的相反数是，则等于　　
A． B．0 C． D．3
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．
【解答】解：的相反数是3，
故选：．
2．（3分）如图是某几何体的展开图，该几何体是　　


A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱
【分析】根据由两个圆和一个长方形可以围成圆柱得出结论即可．
【解答】解：由两个圆和一个长方形可以围成圆柱，
故选：．
3．（3分）下列运算正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据合并同类项判断选项；根据幂的乘方与积的乘方判断选项；根据单项式乘单项式判断选项；根据平方差公式判断选项．
【解答】解：选项，与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
4．（3分）如图，直线，将三角尺直角顶点放在直线上，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
【分析】根据互余和两直线平行，同位角相等解答即可．
【解答】解：由图可知，，

，
，
故选：．
5．（3分）某药店在今年3月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，口罩花费9600元．已知一次性医用外科口罩的单价比口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为元，则列方程正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是元，则购进口罩的单价是元，利用数量总价单价，结合购进两种口罩的只数相同，即可得出关于的分式方程．
【解答】解：设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是元，则购进口罩的单价是元，
依题意得：，
故选：．
6．（3分）如图是根据南街米粉店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是　　

A．平均数是6 B．众数是7 C．中位数是11 D．方差是8
【分析】根据图中数据分别求出平均数、众数、中位数及方差即可得出结论．
【解答】解：由题意知，
平均数为：，
不存在众数；
中位数为：7；
方差为：；
故选：．
7．（3分）如图，是的直径，、是上的两点，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定，然后根据求得的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．
【解答】解：是直径，
，
，
，
，
故选：．
8．（3分）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点、，则的长度为　　

A． B．3 C． D．
【分析】利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出即可．
【解答】解：在中，，，
，
，
，
由作图可知垂直平分线段，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
9．（3分）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为　　

A． B． C． D．
【分析】把向上平移一个单位到，连接，则，由勾股定理逆定理可以证明为直角三角形，所以即可得答案．
【解答】解：把向上平移一个单位到，连接，如图．
则，
．
在中，有，，，
，
故为直角三角形，．
．
故选：．

10．（3分）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点，、点，在该函数图象上，则；（5）为常数）．其中正确的结论有　　

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据抛物线的对称轴方程和开口方向以及与轴的交点，可得，，，由对称轴为直线，可得，当时，函数有最大值；由经过点，可得，；再由，可知图象上的点离对称轴越近对应的函数值越大；再结合所给选项进行判断即可．
【解答】解：抛物线的开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线交轴的正半轴，
，
，所以（1）正确；
对称轴为直线，
，
，
，
，
经过点，
，
，
，
，
，
，故（2）不正确；
，故（3）正确；
，，，
，故（4）错误；
当时，函数有最大值，
，
为常数），故（5）正确；
综上所述：正确的结论有（1）（3）（5），共3个，
故选：．
二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：　　．
【分析】原式提取，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：
12．（4分）石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将这个数用科学记数法表示为 　　．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
【解答】解：．
故答案为：．
13．（4分）一个袋中装有个红球，10个黄球，个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么与的关系是 　　．
【分析】根据任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，可知摸到黄球的概率为0.5，从而可以求出袋中球的总数，然后即可计算出和的关系．
【解答】解：任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，
摸到黄球的概率为0.5，
袋中球的总数为：，
，
，
故答案为：．
14．（4分）如图，将沿弦折叠，恰经过圆心，若，则阴影部分的面积为 　　．

【分析】过点作的垂线并延长，垂足为，交于点，连结，，根据垂径定理得：，根据将沿弦折叠，恰经过圆心，得到，得到，得到，进而证明是等边三角形，得到，在中根据勾股定理求出半径，证明，可以将补到上，得到阴影部分的面积，即可得出答案．
【解答】解：如图，过点作的垂线并延长，垂足为，交于点，连结，，
根据垂径定理得：，
将沿弦折叠，恰经过圆心，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，
，
解得：，
，，，
，
阴影部分的面积．
故答案为：．

15．（4分）如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在第二象限内，反比例函数的图象经过的顶点和边的中点，如果的面积为6，那么的值是 　　．

【分析】过作于，设，根据三角形的面积公式得到，求得，，根据点是的中点，可得，，列方程即可得到结论．
【解答】解：过作于，

点在反比例函数的图象上，
设，点在第二象限内，
的面积为6，
，
，，
点是的中点，
，，
点在反比例函数的图象上，
，
，
，
故答案为：．
16．（4分）如图，直尺垂直竖立在水平面上，将一个含角的直角三角板的斜边靠在直尺的一边上，使点与点重合，．当点沿方向滑动时，点同时从点出发沿射线方向滑动．当点滑动到点时，点运动的路径长为 　　．

【分析】当点沿方向下滑时，得△，过点作于点，作于点．证明，推出平分，推出点在射线上运动，当时，的值最大，最大值为12，当点滑动到点时，点运动的路径长为．
【解答】解：当点沿方向下滑时，得△，过点作于点，作于点．

，，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
△△，
，
，，
平分，
点在射线上运动，
当时，的值最大，最大值为，
当点滑动到点时，点运动的路径长为．
故答案为：．
三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程．共96分）
17．（6分）计算：．
【分析】根据特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的化简，负整数指数幂计算即可．
【解答】解：原式

．
18．（8分）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解．
【分析】小括号内通分，因式分解，除法转化为乘法，约分即可；求出不等式组的解集，得到整数解，再根据分式有意义的条件得到只能取2，代入求值即可．
【解答】解：原式

，
解第一个不等式得：，
解第二个不等式得：，
不等式组的解集为：，
为整数，
的值为，0，1，2，
，，，，
只能取2，
当时，
原式．
19．（8分）如图，在四边形中，，平分，，为中点，连结．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，求的面积．

【分析】（1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可证，可得结论；
（2）由菱形的性质可求，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求，的长，即可求解．
【解答】（1）证明：为中点，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）四边形是菱形，，
，，
，，
，是等边三角形，
，，
，
，
．
20．（9分）为丰富学生课余活动，明德中学组建了体育类、美术类、音乐类和其它类四类学生活动社团，要求每人必须参加且只参加一类活动．学校随机抽取八年级（1）班全体学生进行调查，以了解学生参团情况．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）八年级（1）班学生总人数是 　40　人，补全条形统计图，扇形统计图中区域所对应的扇形的圆心角的度数为 　　；
（2）明德中学共有学生2500人，请估算该校参与体育类和美术类社团的学生总人数；
（3）校园艺术节到了，学校将从符合条件的4名社团学生（男女各2名）中随机选择两名学生担任开幕式主持人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率．


【分析】（1）根据选的人数和所占的百分比，可以计算出八年级（1）班学生总人数，然后即可计算出选择的人数，从而可以将条形统计图补充完整，再根据条形统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中区域所对应的扇形的圆心角的度数；
（2）根据条形统计图中的数据，可以计算出该校参与体育类和美术类社团的学生总人数；
（3）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求得恰好选中1名男生和1名女生的概率．
【解答】解：（1）八年级（1）班学生总人数是：，
选择的学生有：（人，
扇形统计图中区域所对应的扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：40，，
补全的条形统计图如右图所示；
（2）（人，
答：估算该校参与体育类和美术类社团的学生有1625人；
（3）设男生用表示，女生有表示，
树状图如下所示：

由上可得，存在12种可能性，其中恰好选中1名男生和1名女生的可能性有8种，
故恰好选中1名男生和1名女生的概率是．

21．（9分）如图，计划在山顶的正下方沿直线方向开通穿山隧道．在点处测得山顶的仰角为，在距点的处测得山顶的仰角为，从与点相距的处测得山顶的仰角为，点、、、在同一直线上，求隧道的长度．

【分析】过点作，垂足为，设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，从而求出，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
【解答】解：过点作，垂足为，

设米，
在中，，
（米，
米，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，
在中，，
米，
米，
隧道的长度为米．

22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象相交于点，并与轴交于点．点是线段上一点，与的面积比为．
（1）求和的值；
（2）若将绕点顺时针旋转，使点的对应点落在轴正半轴上，得到△，判断点是否在函数的图象上，并说明理由．

【分析】（1）将代入可求出的值；再将代入可求出的值；
（2）过点作轴于，过点作轴于，过作轴于，先求出点的坐标，再由旋转的性质和三角形面积、勾股定理求出点的坐标，即可解决问题．
【解答】解：（1）函数的图像与函数的图像相交于点，
，，
，；
（2）点不在函数的图像上，理由如下：
过点作轴于，过点作轴于，过作轴于，
点，
，，
与的面积比为，
，
，
，
即点的纵坐标为4，
把代入得：，
，
，
中，当时，，
，
由旋转的性质得：△，
，

在△中，，
点的坐标为，，
，
点不在函数的图像上．

23．（10分）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？
【分析】（1）设科技类图书的单价为元，文学类图书的单价为元，根据“购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设科技类图书的购买数量为本，购买这两种图书的总金额为元，则文学类图书的购买数量为本，分，及三种情况考虑，利用总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征（或二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征），可求出的取值范围，取其最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设科技类图书的单价为元，文学类图书的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．
（2）设科技类图书的购买数量为本，购买这两种图书的总金额为元，则文学类图书的购买数量为本．
①当时，，
，
随的增大而增大，
；
②当时，，
，
当时，随的增大而减小，
；
③当时，，
，
随的增大而增大，
．
综上，当时，的最小值为2700．
答：社区至少要准备2700元购书款．
24．（10分）在中，，以为直径的交于点，点是边的中点，连结．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．

【分析】（1）连接，，根据已知可得，利用等腰三角形的性质可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形斜边上的中线可得，进而可得，然后可得，即可解答；
（2）利用（1）的结论可证，从而利用相似三角形的性质可求出的长，即可解答．
【解答】（1）证明：连接，，

，
，
，
，
是的直径，
，
，
点是边的中点，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，，
，
，，
，
，
，
，
的半径为．

25．（12分）在中，，将线段绕点旋转，得到线段，连接、．
（1）如图1，将线段绕点逆时针旋转，则的度数为 　　；
（2）将线段绕点顺时针旋转时
①在图2中依题意补全图形，并求的度数；
②若的平分线交于点，交的延长线于点，连结．用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明．


【分析】（1）根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的性质得出，，即可得的度数；
（2）①依题意可补全图形，根据旋转的性质以及等腰三角形的性质即可求解；
②过点作，交的延长线于点，根据等腰三角形的性质可得出垂直平分，求出．可得，，证明，可得，根据线段的和差即可得出结论．
【解答】解：（1）在中，，将线段绕点旋转，
，，
，
，，
，，
，
故答案为：；

（2）①依题意补全图形如图，

由旋得：，，
，
，，
，，
；
②．
证明：过点作，交的延长线于点，

，平分，
垂直平分，
，，
由①知，，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
26．（14分）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，并与轴的正半轴交于点．
（1）求，满足的关系式及的值；
（2）当时，若点是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值；
（3）当时，若点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值．

【分析】（1）在直线中，令和可得点和的坐标，代入抛物线中可解答；
（2）连接交直线于点，利用两点之间线段最短可得出此时的周长最小，从而可以解答；
（3）根据时，可得抛物线的解析式，如图2，过点作轴于，交于，则是等腰直角三角形，设，则，表示的长，配方后可解答．
【解答】解：（1）直线中，当时，，
，
当时，，
，
，
将，代入抛物线中，得，
，
，；
（2）如图1，当时，，

，
抛物线的解析式为：，
抛物线的对称轴是：，
由对称性可得，
要使的周长最小，只需最小即可，
如图1，连接交直线于点，
因为点与点关于直线对称，由对称性可知：，
此时的周长最小，所以的周长为，
中，，
中，，
周长的最小值为；
（3）当时，，
，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
如图2，过点作轴于，交于，则是等腰直角三角形，

设，则，
，
，
当时，有最大值是，
当时，，
综上，点的坐标为时，有最大值是．
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