2022年陕西省中考数学试卷（b卷）

2022年陕西省中考数学试卷（B卷）

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）

1．（3分）的相反数是　　

A． B． C．37 D．

2．（3分）如图，，．若，则的大小为　　

A． B． C． D．

3．（3分）计算：　　

A． B． C． D．

4．（3分）在下列条件中，能够判定为矩形的是　　

A． B． C． D．

5．（3分）如图，是的高．若，，则边的长为　　

A． B． C． D．

6．（3分）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于，的方程组的解为　　

A． B． C． D．

7．（3分）如图，内接于，，连接，则　　

A． B． C． D．

8．（3分）已知二次函数的自变量，，对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是　　

A． B． C． D．

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9．（3分）计算：　　．

10．（3分）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则　　．（填“”“ ”或“”

11．（3分）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为 　　米．

12．（3分）已知点在一个反比例函数的图象上，点与点关于轴对称．若点在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为 　　．

13．（3分）如图，在菱形中，，．若、分别是边、上的动点，且，作，，垂足分别为、，则的值为 　　．

三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）

14．（5分）计算：．

15．（5分）解不等式组：．

16．（5分）化简：．

17．（5分）如图，已知，，是的一个外角．

请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法）

18．（5分）如图，在中，点在边上，，，．求证：．

19．（5分）如图，的顶点坐标分别为，，．将平移后得到△，且点的对应点是，点、的对应点分别是、．

（1）点、之间的距离是 　　；

（2）请在图中画出△．

20．（5分）有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为，，，，．现将这五个纸箱随机摆放．

（1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为的概率是 　　；

（2）若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为的概率．

21．（6分）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为16米，的影长为20米，小明的影长为2.4米，其中、、、、五点在同一直线上，、、三点在同一直线上，且，．已知小明的身高为1.8米，求旗杆的高．

22．（7分）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）当输入的值为1时，输出的值为 　　；

（2）求，的值；

（3）当输出的值为0时，求输入的值．

23．（7分）某校为了了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”（简称“劳动时间” 情况，在本校随机调查了100名学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：

根据上述信息，解答下列问题：

（1）这100名学生的“劳动时间”的中位数落在　　组；

（2）求这100名学生的平均“劳动时间”；

（3）若该校有1200名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数．

24．（8分）如图，是的直径，是的切线，、是的弦，且，垂足为，连接并延长，交于点．

（1）求证：；

（2）若的半径，，求线段的长．

25．（8分）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为．

（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点、处分别安装照明灯．已知点、到的距离均为，求点、的坐标．

26．（10分）问题提出

（1）如图1，是等边的中线，点在的延长线上，且，则的度数为 　　．

问题探究

（2）如图2，在中，，．过点作，且，过点作直线，分别交、于点、，求四边形的面积．

问题解决

（3）如图3，现有一块型板材，为钝角，．工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，并要求，．工人师傅在这块板材上的作法如下：

①以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接；

②作的垂直平分线，与交于点；

③以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，连接、，得．

请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的结论．

2022年陕西省中考数学试卷（B卷）

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）

1．（3分）的相反数是　　

A． B． C．37 D．

【分析】直接利用相反数的定义得出答案．

【解答】解：的相反数是37．

故选：．

2．（3分）如图，，．若，则的大小为　　

A． B． C． D．

【分析】根据两直线平行，内错角相等分别求出、，再根据平角的概念计算即可．

【解答】解：，，

，

，

，

，

故选：．

3．（3分）计算：　　

A． B． C． D．

【分析】直接利用单项式乘单项式计算，进而得出答案．

【解答】解：．

故选：．

4．（3分）在下列条件中，能够判定为矩形的是　　

A． B． C． D．

【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．

【解答】解：．中，，

是菱形，故选项不符合题意；

．中，，

是菱形，故选项不符合题意；

．中，，不能判定是矩形，故选项不符合题意；

．中，，

是矩形，故选项符合题意；

故选：．

5．（3分）如图，是的高．若，，则边的长为　　

A． B． C． D．

【分析】根据，可得，由，可得，可得是等腰三角形，进而可以解决问题．

【解答】解：，

，，

，

，

故选：．

6．（3分）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于，的方程组的解为　　

A． B． C． D．

【分析】先将点代入，求出，即可确定方程组的解．

【解答】解：将点代入，

得，

，

原方程组的解为，

故选：．

7．（3分）如图，内接于，，连接，则　　

A． B． C． D．

【分析】根据圆周角定理可得的度数，再进一步根据等腰三角形和三角形的内角和定理可求解．

【解答】解：如图，连接，

，

，

，

．

故选：．

8．（3分）已知二次函数的自变量，，对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是　　

A． B． C． D．

【分析】首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题．

【解答】解：抛物线，

对称轴，顶点坐标为，

当时，，

解得或，

抛物线与轴的两个交点坐标为：，，

当，，时，，

故选：．

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9．（3分）计算：　　．

【分析】首先利用算术平方根的定义化简，然后加减即可求解．

【解答】解：原式

．

故答案为：．

10．（3分）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则　　．（填“”“ ”或“”

【分析】根据正数大于0，0大于负数即可解答．

【解答】解：与互为相反数

与关于原点对称，即位于3和4之间

位于左侧，

，

故答案为：．

11．（3分）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为 　　米．

【分析】根据，建立方程求解即可．

【解答】解：，

设，则，

，

，

即，

解得：，（舍去），

线段的长为米．

故答案为：．

12．（3分）已知点在一个反比例函数的图象上，点与点关于轴对称．若点在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为 　　．

【分析】根据轴对称的性质得出点，代入求得，由点在一个反比例函数的图象上，从而求得反比例函数的解析式．

【解答】解：点与点关于轴对称，点，

点，

点在正比例函数的图象上，

，

，

点在一个反比例函数的图象上，

反比例函数的表达式为，

故答案为：．

13．（3分）如图，在菱形中，，．若、分别是边、上的动点，且，作，，垂足分别为、，则的值为 　　．

【分析】连接交于，根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，用含的代数式表示、，计算即可．

【解答】解：连接交于，

四边形为菱形，

，，，

由勾股定理得：，

，，

，

，

，即，

解得：，

同理可得：，

，

故答案为：．

三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）

14．（5分）计算：．

【分析】根据有理数混合运算法则计算即可．

【解答】解：

．

15．（5分）解不等式组：．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【解答】解：由，得：，

由，得：，

则不等式组的解集为．

16．（5分）化简：．

【分析】根据分式混合运算的法则计算即可．

【解答】解：

．

17．（5分）如图，已知，，是的一个外角．

请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】利用尺规作图作出的平分线，得到射线．

【解答】解：如图，射线即为所求．

18．（5分）如图，在中，点在边上，，，．求证：．

【分析】利用平行线的性质得，再利用证明，可得结论．

【解答】证明：，

，

在和中，

，

，

．

19．（5分）如图，的顶点坐标分别为，，．将平移后得到△，且点的对应点是，点、的对应点分别是、．

（1）点、之间的距离是 　4　；

（2）请在图中画出△．

【分析】（1）根据两点间的距离公式即可得到结论；

（2）根据平移的性质作出图形即可．

【解答】解：（1），，

点、之间的距离是，

故答案为：4；

（2）如图所示，△即为所求．

20．（5分）有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为，，，，．现将这五个纸箱随机摆放．

（1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为的概率是 　　；

（2）若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为的概率．

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；

（2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中所选两个纸箱里西瓜的重量之和为的结果有4种，再由概率公式求解即可．

【解答】解：（1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为的概率是，

故答案为：；

（2）画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中所选两个纸箱里西瓜的重量之和为的结果有4种，

所选两个纸箱里西瓜的重量之和为的概率为．

21．（6分）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为16米，的影长为20米，小明的影长为2.4米，其中、、、、五点在同一直线上，、、三点在同一直线上，且，．已知小明的身高为1.8米，求旗杆的高．

【分析】先证明，列比例式可得的长，再证明，可得的长，最后由线段的差可得结论．

【解答】解：，

，

，

，

，即，

，

同理得，

，即，

，

（米，

答：旗杆的高是3米．

22．（7分）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）当输入的值为1时，输出的值为 　8　；

（2）求，的值；

（3）当输出的值为0时，求输入的值．

【分析】（1）把代入，即可得到结论；

（2）将，，代入解方程即可得到结论；

（3）解方程即可得到结论．

【解答】解：（1）当输入的值为1时，输出的值为，

故答案为：8；

（2）将，，代入得，

解得；

（3）令，

由得，

（舍去），

由，得，

，

输出的值为0时，输入的值为．

23．（7分）某校为了了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”（简称“劳动时间” 情况，在本校随机调查了100名学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：

根据上述信息，解答下列问题：

（1）这100名学生的“劳动时间”的中位数落在　　组；

（2）求这100名学生的平均“劳动时间”；

（3）若该校有1200名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数．

【分析】（1）利用中位数的定义解答即可；

（2）根据平均数的定义解答即可；

（3）用样本估计总体即可．

【解答】解：（1）（2）把100名学生的“劳动时间”从小到大排列，排在中间的两个数均在组，故这100名学生的“劳动时间”的中位数落在组，

故答案为：；

（2）（分钟），

答：这100名学生的平均“劳动时间”为112分钟；

（3）（人，

答：估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数为912人．

24．（8分）如图，是的直径，是的切线，、是的弦，且，垂足为，连接并延长，交于点．

（1）求证：；

（2）若的半径，，求线段的长．

【分析】（1）根据平行线的判定和切线的性质解答即可；

（2）通过添加辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理和相似三角形的判定和性质解答即可．

【解答】（1）证明：是的切线，

，

，

，

，

，

．

（2）解：如图，连接，

是直径，

，

，，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

．

故答案为：．

25．（8分）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为．

（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点、处分别安装照明灯．已知点、到的距离均为，求点、的坐标．

【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入，可得，即可解决问题；

（2）把，代入抛物线的解析式，解方程可得结论．

【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点，

可以假设抛物线的解析式为，

把代入，可得，

抛物线的解析式为；

（2）令，得，

解得，，

，，，．

26．（10分）问题提出

（1）如图1，是等边的中线，点在的延长线上，且，则的度数为 　　．

问题探究

（2）如图2，在中，，．过点作，且，过点作直线，分别交、于点、，求四边形的面积．

问题解决

（3）如图3，现有一块型板材，为钝角，．工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，并要求，．工人师傅在这块板材上的作法如下：

①以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接；

②作的垂直平分线，与交于点；

③以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，连接、，得．

请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的结论．

【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算，得到答案；

（2）连接，证明四边形为菱形，求出，解直角三角形求出、、，根据三角形的面积公式计算即可；

（3）过点作的平行线，过点作的平行线，两条平行线交于点，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边三角形的性质得到，进而求出，根据要求判断即可．

【解答】解：（1）为等边三角形，

，，

是等边的中线，

，

，

，

故答案为：；

（2）如图2，连接，

，，

四边形为平行四边形，

，

平行四边形为菱形，

，，

，，

，，

，

，

；

（3）符合要求，

理由如下：如图3，过点作的平行线，过点作的平行线，两条平行线交于点，

，，

，

四边形为正方形，

是的垂直平分线，

是的垂直平分线，

，

，

，

为等边三角形，

，

，

裁得的型部件符合要求．

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