专题06 数列解答题【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编（全国通用版）（解析版）

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编

专题06 数列解答题

1．(2022年全国甲卷理科·第17题)记为数列的前n项和．已知．

(1)证明：是等差数列；

(2)若成等比数列，求的最小值．

【答案】(1)证明见解析：；    (2)．

解析：(1)解：因为，即①，

当时，②，

①②得，，

即，

即，所以，且，

所以是以为公差的等差数列．

(2)解：由(1)可得，，，

又，，成等比数列，所以，

即，解得，

所以，所以，

所以，当或时．

【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题

【题目来源】2022年全国甲卷理科·第17题

2．(2022新高考全国II卷·第17题)已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．

(1)证明：；

(2)求集合中元素个数．

【答案】(1)证明见解析；   

(2)．

解析：(1)设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．

（2）由(1)知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．

【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题

【题目来源】2022新高考全国II卷·第17题

3．(2022新高考全国I卷·第17题)记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)证明：．

【答案】(1)   

(2)见解析

解析：(1)∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，

∴,∴,∴当时，，

∴,整理得：,

即,∴

，

显然对于也成立，

∴的通项公式；

(2)

∴

【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题

【题目来源】2022新高考全国I卷·第17题

4．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第17题)记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．

(1)求数列的通项公式；

(2)求使成立的n的最小值．

【答案】解析:(1)由等差数列的性质可得：，则：，

设等差数列的公差为，从而有：，

，

从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：．

(2)由数列的通项公式可得：，则：，

则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为．

【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题

【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第17题

5．(2021年新高考Ⅰ卷·第17题)已知数列满足，

(1)记，写出，，并求数列的通项公式；

(2)求的前20项和．

【答案】；．

解析:(1)由题设可得

又，，故即即

所以为等差数列，故．

(2)设的前项和为，则，

因为，

所以

．

【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题

【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第17题

6．(2020年新高考I卷(山东卷)·第18题)已知公比大于的等比数列满足．

(1)求的通项公式；

(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．

【答案】(1)；(2)．

解析：(1)由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，

所以，所以数列的通项公式为．

(2)由于，所以

对应的区间为：，则；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个．

所以．

【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题

【题目来源】2020年新高考I卷(山东卷)·第18题

7．(2020新高考II卷(海南卷)·第18题)已知公比大于的等比数列满足．

(1)求通项公式；

(2)求．

【答案】(1)；(2)

解析：(1)设等比数列的公比为q(q>1)，则，

整理可得：，

，

数列的通项公式为：．

(2)由于：，故：

．

【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题

【题目来源】2020新高考II卷(海南卷)·第18题

8．(2021年高考全国乙卷理科·第19题)记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．

(1)证明：数列是等差数列;

(2)求的通项公式．

【答案】(1)证明见解析；(2)．

解析：(1)由已知得,且，,

取,由得,

由于为数列的前n项积，

所以,

所以，

所以,

由于

所以，即,其中

所以数列是以为首项，以为公差等差数列;

(2)由(1)可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，

,

,

当n=1时，,

当n≥2时,,显然对于n=1不成立,

∴．

【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和与项的关系，数列的前n项积与项的关系，其中由,得到，进而得到是关键一步；要熟练掌握前n项和，积与数列的项的关系，消和(积)得到项(或项的递推关系)，或者消项得到和(积)的递推关系是常用的重要的思想方法．

【题目栏目】数列\等差、等比数列的综合应用

【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第19题

9．(2021年高考全国甲卷理科·第18题)已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

【答案】答案见解析

解析：选①②作条件证明③：

设，则，

当时，；

当时，；

因为也是等差数列，所以，解得；

所以，所以．

选①③作条件证明②：

因为，是等差数列，

所以公差，

所以，即，

因为，

所以是等差数列．

选②③作条件证明①：

设，则，

当时，；

当时，；

因为，所以，解得或；

当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；

当时，，不合题意，舍去．

综上可知为等差数列．

【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法．

【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题

【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第18题

10．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第17题)设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．

(1)求的公比；

(2)若，求数列的前项和．

【答案】(1)；(2)．

【解析】(1)设的公比为，为的等差中项，

，

；

(2)设前项和为，，

，①

，②

①②得，

，

．

【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题．

【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题

【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第17题

11．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题)设数列{an}满足a1=3，．

(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

(2)求数列{2nan}的前n项和Sn．

【答案】(1)，，，证明见解析；(2)．

解析：(1)由题意可得，，

由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，

证明如下：

当时，成立；

假设时，成立．

那么时，也成立．

则对任意的，都有成立；

(2)由(1)可知，

，①

，②

由①②得：

，

即．

【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题．

【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题

【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题

12．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第19题)已知数列和满足，，，．

证明：是等比数列，是等差数列；

求和的通项公式．

【答案】见解析；，.

【官方解析】

由题设得，即．

又因为，所以是首项为，公比为的等比数列．

由题设得，即．

又因为，所以是首项为，公差为的等差数列．

由知，，．

所以，

．

【分析】可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；

可通过中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果.

【解析】由题意可知，，，，

所以，即，

所以数列是首项为、公比为的等比数列，，

因为，

所以，数列是首项、公差为等差数列，.

由可知，，，

所以，.

【点评】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题.

【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题

【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第19题

13．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第17题)(12分)等比数列中，，

(1)求的通项公式；

(2)记为的前项和，若，求．

(1)或；(2)

【答案】【官方解析】(1)设的公比为，由题设得

由已知得，解得(舍去)，或

故或

(2)若，则，由，得，此方和没有正整数解

若，则，由，得，解得

综上，．

【民间解析】(1)设等比数列的公比为，由，可得，所以

所以

当时，；当时，

(2)由(1)可知

当时，由即，即，所以；

当时，由即，即，无解

综上可知．

【题目栏目】数列\等比数列\等比数列的综合应用

【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第17题

14．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第17题)(12分)记为等差数列的前项和，已知，．

(1)求的通项公式；

(2)求，并求的最小值．

【答案】解析：(1)设的公差为，由题意得．

由得，所以的通项公式为．

(2)由(1)得．

所以当时，取得最小值，最小值为．

【题目栏目】数列\等差数列\等差数列的前n项和

【题目来源】2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第17题

15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题)已知数列的前项和,其中.

(Ⅰ)证明是等比数列,并求其通项公式;

(Ⅱ)若,求.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).

【解析】(Ⅰ)由题意得,故,,.

由,得,即.

由,得,所以.

因此是首项为,公比为的等比数列,于是.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,由得,即,解得.

【题目栏目】数列\等比数列\等比数列的前n项和

【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题

16．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第17题)(本题满分12分)为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．

(I)求；(II)求数列的前1 000项和．

【答案】(1)，，；(2)．

【解析】(1)设的公差为，据已知有，解得．

所以数列的通项公式为．

，，．

(2)因为

所以数列的前项和为．

【题目栏目】数列\等差数列\等差数列的前n项和

【题目来源】2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第17题

17．(2015高考数学新课标1理科·第17题)(本小题满分12分)为数列的前项和．已知

(Ⅰ)求的通项公式：

(Ⅱ)设,求数列的前项和

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)

分析：(Ⅰ)先用数列第项与前项和的关系求出数列{}的递推公式，可以判断数列{}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{}的通项公式；(Ⅱ)根据(Ⅰ)数列{}的通项公式，再用拆项消去法求其前项和．

解析：(Ⅰ)当时，，因为，所以=3，

当时，==，即，因为，所以=2，

所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，

所以=；

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，=，

所以数列{}前n项和为= =．

考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法

【题目栏目】数列\数列的求和\裂项相消法求和问题

【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第17题

18．(2014高考数学课标2理科·第17题)(本小题满分12分)

已知数列满足=1，．

(Ⅰ)证明是等比数列，并求的通项公式；

(Ⅱ)证明：

【答案】解析：(Ⅰ)由，得，且

所以是首相为，公比为的等比数列。

因此，所以的通项公式为．

(Ⅱ)由(1)知

当时，，所以

于是

所以

考点：(1)等比数列的证明及通项公式的求法；(2)等比数列的前项的和

     (3)放缩法证明不等式

难度：C

备注：一题多解

【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的放缩问题

【题目来源】2014高考数学课标2理科·第17题

19．(2014高考数学课标1理科·第17题)已知数列的前项和为,,,,其中为常数．

(1)证明:;

(2)是否存在,使得为等差数列?并说明理由．

【答案】解析:(1)由题设,,两式相减

,由于,所以．

(2)由题设,,可得,由(1)知

假设为等差数列,则成等差数列,∴,解得;

证明时,为等差数列:由知

数列奇数项构成的数列是首项为1,公差为4的等差数列

令则,∴

数列偶数项构成的数列是首项为3,公差为4的等差数列

令则,∴

∴(),

因此,存在存在,使得为等差数列．  

考点:(1)等差数列的证明;(2)等差数列的前项和及综合应用(3)分类讨论思想

难度:C

备注:高频考点

【题目栏目】数列\等差数列\等差数列的判定或证明

【题目来源】2014高考数学课标1理科·第17题