专题08 不等式【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编（全国通用版）（解析版）

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编

专题08不等式

一、选择题

1．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第3题)已知，，，则(　　)

【答案】答案：B

解析：，，，故．

【题目栏目】不等式\不等式的性质及其应用\比较实数或代数式的大小

【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第3题

2．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第12题)设，，则(　　)

A． B．

C． D．

【答案】B

解析：一方面，，所以

，，所以

所以即，而，所以，所以

综上可知，故选B．

【题目栏目】不等式\基本不等式\利用基本不等式证明简单不等式

【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第12题

3．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第5题)设，满足约束条件，则的最小值是(　　)

A． B． C． D．

【解析】解法一：常规解法

根据约束条件画出可行域(图中阴影部分), 作直线，平移直线，

将直线平移到点处最小，点的坐标为，将点的坐标代到目标函数，

可得，即．

解法二：直接求法

对于封闭的可行域，我们可以直接求三条直线的交点，代入目标函数中，三个数种选其最小的

为最小值即可，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，所求值分

别为﹑﹑，故，．

解法三：隔板法

首先 看约束条件方程的斜率

约束条件方程的斜率分别为﹑﹑；

其次 排序

按照坐标系位置排序﹑﹑；

再次 看目标函数的斜率和前的系数

看目标函数的斜率和前的系数分别为﹑；

最后 画初始位置，跳格，找到最小值点

目标函数的斜率在之间，即为初始位置，前的系数为正，则按逆时针旋转，第一格为

最大值点，即，第二个格为最小值点，即，只需解斜率为和这两条线的交点

即可，其实就是点，点的坐标为，将点的坐标代到目标函数，

可得，即．

【知识拓展】线性规划属于不等式范围，是高考必考考点，常考查数学的数形结合能力，一般

变化只在两个方向变化，1．约束条件的变化；2．目标函数的变化；约束条件变化从封闭程度方面

变化，目标函数则从方程的几何意义上变化，但此题型属于高考热点题型(已知封闭的约束条

件，求已知的二元一次方程目标函数)，此题型属于过渡中档题，只需多积累各题型解决的方法

即可．

【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题

【题目来源】2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第5题

4．(2014高考数学课标2理科·第9题)设x,y满足约束条件，则的最大值为(　　)

A．10 B．8 C．3 D．2

【答案】B

解析：画出不等式表示的平面区域，可以平移直线，可得最大值为8．

考点：(1)二元一次不等式(组)表示平面区域；(2)求线性目标函数的最值问题。

难度：B

备注：常考题

【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题

【题目来源】2014高考数学课标2理科·第9题

5．(2014高考数学课标1理科·第9题)不等式组的解集记为．有下面四个命题:

；

；．

其中真命题是(　　)

A． B． C． D．

【答案】  C

解析:作出可行域如图:设，即

当直线过时，，∴，∴命题、真命题，选C．

考点:(1)二元一次不等式组表示平面区域(2)求线性目标函数的最值问题

(3)全(特)称命题真假判断(4)数形结合思想

难度:C

备注:高频考点

【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题

【题目来源】2014高考数学课标1理科·第9题

6．(2013高考数学新课标2理科·第9题)已知满足约束条件若的最小值为1，则等于(　　)

A． B． C．1 D．2

【答案】B

解析：由得到，代入得

考点：(1)7．4．1二元一次不等式(组)表示平面区域；(2)7．4．2求线性目标函数的最值问题

难度： B

备注：高频考点

【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题

【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第9题

二、多选题

7．(2022新高考全国II卷·第12题)若x，y满足，则(　　)

A． B．

C． D．

【答案】BC

解析：因为(R)，由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；

由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；

因为变形可得，设，所以，因此

，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．

故选：BC．

【题目栏目】不等式\基本不等式\基本不等式的实际应用

【题目来源】2022新高考全国II卷·第12题

8．(2020年新高考I卷(山东卷)·第11题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则(　　)

A． B．

C． D．

【答案】ABD

解析：对于A，，

当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，，所以，故B正确；

对于C，，

当且仅当时，等号成立，故C不正确；

对于D，因为，

所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD

【题目栏目】不等式\不等式的综合问题

【题目来源】2020年新高考I卷(山东卷)·第11题

9．(2020新高考II卷(海南卷)·第12题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则(　　)

A． B．

C． D．

【答案】ABD

解析：对于A，，

当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，，所以，故B正确；

对于C，，

当且仅当时，等号成立，故C不正确；

对于D，因为，

所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD

【题目栏目】不等式\不等式的综合问题

【题目来源】2020新高考II卷(海南卷)·第12题

三、填空题

10．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第13题)若x，y满足约束条件则z=x+7y最大值为______________．

【答案】1

【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：，

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，

联立直线方程：，可得点A的坐标为：，

据此可知目标函数的最大值为：．

故答案为：1．

【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大．

【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题

【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第13题

11．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为_________．

【答案】7

解析：不等式组所表示的可行域如图

因为，所以，易知截距越大，则越大，

平移直线，当经过A点时截距最大，此时z最大，

由，得，，

所以．

故答案为：7．

【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题．

【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题

【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题

12．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第14题)若满足约束条件 则的最大值为_________．

【答案】9

解析：作出可行域，则直线过点时取得最大值9．

【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题

【题目来源】2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第14题

13．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第13题)若满足约束条件，  则最大值为         ．

【答案】6

解析：作出不等式组对应的平面区域如图

由得，平移直线，由图象知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，最大值为，故答案为6．

【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题

【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第13题

14．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第14题)设满足约束条件,则的最小值为__________．

【答案】

【解析】不等式组表示的可行域为如图所示

易求得

直线得在轴上的截距越大,就越小

所以,当直线过点时,取得最小值

所以取得最小值为．

【考点】线性规则

【点评】本题是常规的线性规划问题,线性规划问题常出现的形式有:①直线型:转化成斜截式比较截距,要注意前系数为负时,截距越大,值越小;②分式型:其几何意义是已知点与未知点的斜率;③平方型:其几何意义是距离,尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方;④绝对值型:转化后其几何意义是点到直线的距离．

【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题

【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第14题

15．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)若,满足约束条件,则的最小值为__________．

【答案】 

【解析】绘制不等式组表示的可行域,

目标函数即:,其中表示斜率为的直线系与可行域有交点时直线的截距值的倍,截距最大的时候目标函数取得最小值,数形结合可得目标函数在点 处取得最小值．

【考点】应用线性规划求最值

【点评】求线性目标函数z=ax+by(ab≠0)的最值,当b>0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大,在y轴截距最小时,z值最小;当b<0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最小,在y轴上截距最小时,z值最大．

【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题

【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题

16．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)若满足约束条件 ,则的最大值为_____________.

【答案】

【解析】作出不等式组满足的平面区域,可知当目标函数经过点时取得最大值,即.

【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题

【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题

17．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第16题)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料，乙材料，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料，乙材料，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料，乙材料，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为          元．

【答案】216000．【解析】设生产A产品件，B产品件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为

目标函数

作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为

在处取得最大值，

【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性规划的简单应用

【题目来源】2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第16题

18．(2015高考数学新课标2理科·第14题)若满足约束条件，则的最大值为____________．

【答案】

解析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当取到最大时，直线的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到，则的最大值为．

考点：线性规划．

【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题

【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第14题

19．(2015高考数学新课标1理科·第15题)若满足约束条件则的最大值为           ．

【答案】3

解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1,3)与原点连线的斜率最大，故的最大值为3．

考点：线性规划解法

【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题

【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第15题