2021-2022学年江苏省南京市建邺区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省南京市建邺区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12分）

1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值(    )

A. 扩大为原来的倍 B. 缩小为原来的倍
C. 缩小为原来的倍 D. 不变

3. 下列事件中必然事件的个数有(    )
   当是非负实数时，； 
   打开数学课本时刚好翻到第页；
   个人中至少有人的生日是同一个月．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4. 能判定四边形为平行四边形的条件是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5. 已知反比例函数的图像上有两点、，如果，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D. 或

6. 如图，以的斜边为边，在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接若，，则的长等于(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共20分）

7. 二次根式在实数范围内有意义，则自变量的取值范围是______ ．
8. 为了解我校八年级学生的线上学习质量，从八年级的个班共名学生中，每班随机抽取名学生进行调研，则此次抽样调查的样本容量为______．
9. 最简二次根式是两个同类二次根式，则______．
10. 若，是一元二次方程的两个实数根，则______．
11. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标为______ ．

12. 关于的方程的解是正数，则的取值范围是______．
13. 菱形的边长为，一个内角等于，则这个菱形的面积为______．
14. 如图，为的中位线，点在上，且，若，，则______．

15. 如图，在矩形中，是延长线上一点，连接，，，若，则的度数是______．

16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是函数图像上的一个动点，过点作轴交函数的图像于点，点在轴上在的左侧，且，连接，有如下四个结论：
    四边形可能是菱形；四边形可能是正方形；四边形的周长是定值；四边形的面积是定值．所有正确结论的序号是______．

三、解答题（本大题共10小题，共68分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 解方程：
    ；
    ．
19. 先化简，再求值：，其中的值是方程的解．
20. 教育部办公厅印发了关于加强中小学生手机管理工作的通知，要求中小学生原则上不得将个人手机带入校园确有需求的，须经家长同意、书面提出申请，进校后应将手机由学校统一保管，禁止带入课堂为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图，的统计图，已知“查资料”的人数是人．
    
    请你根据以上信息解答下列问题：
    在扇形统计图中，“玩游戏”对应的百分比为______ ，圆心角度数是______ 度；
    补全条形统计图；
    该校共有学生人，估计每周使用手机时间在小时以上不含小时的人数．
21. 小明去图书馆借书，到达后发现借书卡没带，于是他跑步回家，拿到借书卡后骑车返回图书馆．已知图书馆离小明家，小明骑车时间比跑步时间少，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的倍，求小明跑步的平均速度．
22. 已知：线段，，．
    请用两种方法求作：矩形要求：用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹
     

23. 已知关于的一元二次方程为常数．
    若它的一个实数根是关于的方程的根，求的值；
    若它的一个实数根是关于的方程的根，求证：．
24. 如图，四边形为矩形，为中点，过点作的垂线分别交、于点、，连接、．
    求证：四边形是菱形．
    若，，求的长．

25. 如图，已知正方形的边长为，点从点出发，以的速度沿着折线运动，到达点时停止运动；点从点出发，也以的速度沿着折线运动，到达点时停止运动．点、分别从点、同时出发，设运动时间为．
    当为何值时，、两点间的距离为；
    连接、交于点，
    在整个运动过程中，的最小值为______；
    当时，此时的值为______．
     

26. 阅读下面的问题及其解决途径．

结合阅读内容，完成下面的问题．
填写下面的空格．

理解应用
将函数的图像先向左平移个单位长度，再沿轴翻折，最后绕原点旋转，求所得到的图像对应的函数表达式．
灵活应用
如图，已知反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于点和点将函数的图像和直线同时向右平移个单位长度，得到的图像分别记为和已知图像经过点．
求出平移后的图像对应的函数表达式；
直接写出不等式的解集．
 

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：把和都扩大倍后，原式为，约分后仍为原式，分式值不变，
故选：．
根据分式的性质，可得答案．
本题考查了分式的基本性质，利用分式的基本性质是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】

解：当是非负实数时，是必然事件； 
打开数学课本时刚好翻到第页是随机事件；
个人中至少有人的生日是同一个月是必然事件，
故选C．

4.【答案】 

【解析】解：、，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故选项A符合题意；
B、两组邻角相等也有可能是等腰梯形，
不能判定四边形为平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由，，不能判定四边形为平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项C不符合题意；
D、，，
四边形是筝形，不是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题主要考查平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
反比例函数的图象在一、三象限，且在每个象限随的增大而减小，
若点、在同一象限，
，
，
若点、在不同象限，
则不成立，
实数的取值范围是．
故选：．
反比例函数的图象上有两点、，且，得到关于的不等式，即可得到答案．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，连接，

则有，且是等腰直角三角形，
，
，
．
故选：．
根据图形的性质可将图形补全为外弦图，可得到点是两个正方形的中心，再根据等腰直角三角形的性质可得结论；
本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等内容，作出正确的辅助线是解题关键，可加快解题速度．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】
解：由题意得，，
解得，．  

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得，样本容量．
故答案为．
本题考查的对象是我校八年级学生的线上学习质量，故八年级名学生的线上学习质量是总体．每班随机抽取名学生，则八年级个班共随机抽取名学生进行调研，这名学生的线上学习质量是样本，每个学生的线上学习质量是个体．样本容量是指样本中包含个体的数目，本题中的样本容量是．
本题主要考查了样本容量，熟练掌握样本容量的定义进行求解是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：最简二次根式是两个同类二次根式，
，
解得：．
故答案为：．
根据同类二次根式的定义，可得出关于的方程，解出即可得出答案．
本题考查了同类二次根式的知识，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
 

10.【答案】 

【解析】解：由根与系数的关系可知：，，
原式，
故答案为：
根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于，过点作轴于．

，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，，，
，
，
故答案为：．
如图，过点作轴于，过点作轴于利用全等三角形的性质解决问题即可．
本题考查坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

12.【答案】且 

【解析】

【分析】
本题考查了分式方程的解以及解不等式，掌握分式的分母不为是解题的关键．先求得方程的解，再把转化成关于的不等式，求得的取值范围，注意．
【解答】

解：方程两边都乘以，得：，
解得：，
方程的解是正数，
，且，
解得：且，
故答案为：且．

13.【答案】 

【解析】解：作于，如图所示：
四边形是菱形，
，
，
菱形的面积．
故答案为．
作于，由三角函数求出菱形的高，再运用菱形面积公式底高计算即可．
本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形的面积求法．熟练掌握菱形的性质，求出菱形的高是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：为的中位线，，
，
在中，，是的中点，，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示，
四边形是矩形，
．
，
．
是等腰三角形．
，
．
故答案为：．
连接，根据已知条件可知，，则是等腰三角形，再根据，可求得的度数．
本题考查了矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分．
 

16.【答案】 

【解析】解：轴，
，
又，
四边形是平行四边形，
设点，则，
，，
当时，，，
此时，，
随着的变化，可能存在的情况，
四边形可能是菱形，故正确，符合题意；
由得，当时，，，
，
四边形不为正方形，故错误，不符合题意；
由中得，当点的横坐标为时，，，
，
当点的横坐标为时，，，
，，
，
四边形的周长不为定值，故错误，不符合题意；
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形为矩形，
，
，
四边形的面积为定值，故正确，符合题意；
故答案为：．
由轴得到，结合，得到四边形是平行四边形，设点，则，得到的长，再表示的长，利用菱形的性质列出方程求得的值，即可判断结论；
当时，求得点的坐标，然后判断四边形是否为正方形；
任取两个点的坐标，求得和的长，然后判断四边形的周长是否为定值；
过点作轴于点，过点作轴于点，将四边形的面积转化为四边形的面积，进而利用反比例系数的几何意义判断四边形的面积是否为定值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，正方形的性质，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．
 

17.【答案】解：





；


． 

【解析】按照从左到右的顺序，进行计算即可解答；
利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：方程两边都乘得：，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的增根，
原方程无解；
原方程可变形为：，
或，
，． 

【解析】方程两边都乘，转化为整式方程，解这个整式方程得到的值，检验即可得出答案；
用十字相乘法分解因式，用因式分解法求解即可．
本题考查了解分式方程，解一元二次方程因式分解法，掌握分式方程一定要检验是解题的关键．
 

19.【答案】解：



，
由，得，，
，，得，，
当时，原式． 

【解析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后由方程求出的值，再选取使得原分式有意义的的值代入即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

20.【答案】   

【解析】解：在扇形统计图中，玩游戏”对应的百分比为：，
“玩游戏”对应的圆心角度数是，
故答案为：，；
本次调查的学生有：人，
小时以上的学生有：人，
补全的条形统计图如图所示；

人，
答：估计每周使用手机时间在小时以上不含小时的人数为人．
根据扇形统计图中的数据，可以计算出，“玩游戏”对应的百分比以及对应的圆心角度数；
根据扇形统计图中查资料所占的百分比和查资料的人数，可以计算出本次调查的人数，然后再根据条形统计图中的数据，即可计算出小时以上的人数，即可将条形统计图补充完整；
根据条形统计图中的数据，可以计算出每周使用手机时间在小时以上不含小时的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：设小明跑步的平均速度为，则小明骑车的平均速度为，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：小明跑步的平均速度为． 

【解析】设小明跑步的平均速度为，则小明骑车的平均速度为，由题意：图书馆离小明家，小明骑车时间比跑步时间少，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图、，矩形即为所求．
 

【解析】根据矩形的判定即可解决问题．
本题考查作图复杂作图，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：解关于的方程得，
把代入方程得，
整理得，解得或；
证明：解关于的方程得，
把代入方程得，
整理得，
所以，
因为，
所以的最小值为． 

【解析】先解一次方程得到，然后把代入一元二次方程得到，然后解关于的方程即可；
先解一次方程得到，把代入方程得到，所以，利用配方法得到，然后根据非负数的性质可得到结论．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

24.【答案】证明：
为中点，，
为的垂直平分线，
，，
，．
，
，
，
，
四边形平行四边形．
又，
平行四边形是菱形．
四边形是菱形，，，
，，
，
设，
在中，，在中，．
，
解得，
． 

【解析】由条件可先证四边形为平行四边形，再结合线段垂直平分线的性质可证得结论；
由菱形的性质可求得，设，在和中，分别利用勾股定理可得到关于的方程，可求得的长．
本题主要考查菱形的判定和性质，掌握菱形的判定方法和菱形的性质是解题的关键，在求的长时，注意方程思想的应用．
 

25.【答案】  或 

【解析】解：当、两点分别在、上时，
则，，，
，
，
，；
当、两点分别在、上时，
则，，
，
，
，；



当点在上，点在上时，，，，
≌，
，
，
，
，
点在以为直径的上运动，连接，，．
如图中，当点在上，点在上，同法可证，，推出点在以为直径的上运动，
，，
，
，
的最小值为此时，，共线．
故答案为．

如图中，当时，，，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
如图中，当点与重合时，点与重合时，此时，，
综上所述，的值为或时，．
故答案为或．
分两种情形：当、两点分别在、上时，利用勾股定理构建方程解决问题即可．
首先证明，推出点在以为直径的上运动，连接，，求出，即可解决问题．
分两种情形：如图中，证明≌，即可解决问题．如图中，当点与重合时，点与重合时，此时．
本题考查轨迹，一元二次方程，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考常考题型．
 

26.【答案】解：设平移后新的函数图象上任意点的坐标为，将点向右平移个单位长度得点，
平移后的图象对应的函数表达式为，
故答案为：，，．
将函数的图像先向左平移个单位长度后，平移后的图象对应的函数表达式为，即，
化为顶点式得：，顶点坐标为，
再将函数的图象沿轴翻折，翻折后的图象的顶点坐标为，图象的开口方向、大小和形状均不变，即二次项系数不变，
沿轴翻折后的图象对应的函数表达式为，
再将函数的图象绕原点旋转，图象的顶点坐标为，图象的形状、开口大小不变，开口方向相反，即二次项系数为原来系数的相反数，
绕原点旋转后的图象对应的函数表达式为，
即所得到的图象对应的函数表达式．
反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于点和点，
，
，
把代入，得，
正比例函数表达式为，
根据正比例函数图象和反比例函数图象的对称性可得：，
将函数的图像和直线同时向右平移个单位长度，得到对应的函数表达式：，：，即，
把点代入，得，
解得：，
平移后的图像对应的函数表达式为；
点，，分别向右平移个单位后对应点坐标为：，，
观察图象可知：不等式的解集为：或． 

【解析】运用平移规律即可求得答案；
根据平移规律、轴对称性质、中心对称性质即可求得答案；
运用待定系数法可求得正比例函数表达式为，根据平移规律可得：：，：，即，把点代入，即可求得，代入，即可得出答案；
求出平移后对应的点：，，画出相应的图象，观察图象即可得出答案．
本题考查了一次函数、反比例函数和二次函数综合应用，待定系数法，平移变换、翻折变换及旋转变换的性质和规律，解题关键是掌握一次函数、反比例函数和二次函数图象的几何变换，掌握一次函数与反比例函数图象与不等式的关系．