2021-2022学年吉林省长春市南湖实验中学九年级（下）第一次线上检测数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年吉林省长春市南湖实验中学九年级（下）第一次线上检测数学试卷（含解析）试卷主要包含了6×108D，其他数都大于−2．，【答案】B，【答案】C，【答案】A，【答案】23等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（本题共8小题，共24分）
在下列各数中，比−2小的数是( )
A. −4B. 2C. −1D. 3
2021年12月9日15时40分，“天宫课堂”第一课开始，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，全国超过6000万中小学生观看授课直播，其中6000万用科学记数法表示为( )
A. 6000×104B. 6×107C. 0.6×108D. 6×108
如图，是由四个相同的小正方体组合而成的几何体，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
若关于x的方程x2−x−k=0(k为常数)有两个相等的实数根，则k的值为( )
A. −4B. 4C. −14D. 14
不等式组2x≤5x+6x<1解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
如图，已知⊙O的直径AB的长为2R，则弦AC的长为( )
A. 2RsinA
B. 2RcsA
C. 2RtanA
D. 2RcsA
观察下列尺规作图的痕迹：

其中，能够说明AB>AC的是( )
A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④
如图，平面直角坐标系第一象限内任意点A，AB⊥x轴交于点B，连结OA.函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过OA边的中点C，交AB于点D，则ADBD=( )
3
B. 52
C. 2
D. 32
二．填空题（本题共6小题，共18分）
12=______．
分解因式：a3−4a=______．
如图是步枪在瞄准时的示意图，步枪上的准星宽度AB为0.2cm，目标的正面宽度CD为50cm，若从眼睛到准星的距离OE为0.5m，则眼睛到目标的距离OF为______m.
如图，⊙O的半径为2，四边形ACBD内接于⊙O，连接OB、OA，若∠ACB=∠AOB，则劣弧AB的长为______．
如图，将▱ABCD进行折叠，折叠后AD恰好经过点C得到AD′，DE=5，CE=4，∠BAC=90°，则线段AC的长度为______．
已知抛物线y=x2−2mx−2上两点A(m+1,y1)和B(2−m,y2)，若y1>y2，则m的取值范围是______．
三．解答题（本题共10小题，共78分）
化简，再求值：(x+1)2−(x+2)(x−2)，其中x=−3．
小华有3张卡片，小明有2张卡片，卡片上数字如图所示，小华和小明分别从自己的卡片中随机抽取一张，请用画树状图(或列表)的方法，求抽取的两张卡片上的数字和为6的概率．
货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？
如图，在边长为1的8×8正方形网格中，点A、B、C均在格点上．
(1)AC=______；
(2)如图①，在AC上找一点E，连结BE，满足s△ABE=13s△ABC．
(3)如图②，点P为AC边与网格线的交点，作直线PF交BC于点F，且直线PF将△ABC的面积分为1：2两部分．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC于点E．
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)若OB=3，则CE=______．
某校有220名学生参加了期中考试，对于语文和数学两科成绩，随机调查了20名学生，并对数据进行了整理、描述和分析，给出了部分信息，
①这20名学生数学成绩的频数分别如下：
②这20名学生数学成绩在100≤m<110这一组的具体成绩是：
107，108，108，108，109，109，109，109
③数学、语文学生样本成绩的平均数，中位数，众数如表所示：
根据以上信息，解得下列问题：
(1)表中n的值是______．
(2)在学生样本成绩中，一名学生某科的成绩是107分，他在抽取的学生中单科排在前10名，根据表中数据判断该生成绩所属学科为______(填“数学”或“语文”)，并说明理由______；
(3)本次数学考试成绩不低于110分的学生可获得“景润杯”奖项，请估计此次考试学校获奖的人数．
近期，多地出现新冠肺炎疫情，A社区对甲、乙两个小区进行全员核酸样本采集．甲小区先按一定的效率采集一段时间后，乙小区开始采集，中途有志愿者加入采集队伍，采集效率增加，两小区同时采集完毕，甲小区共采集了四小时．设甲、乙两个小区进行核酸采集的人数为y，甲小区的工作时间为x时，y与x之间的函数图象如图所示．
(1)甲小区采集的效率为______人/时．
(2)求乙小区在志愿者加入后y与x之间的函数关系式．
(3)求A社区参加此次核酸样本采集的人数．
【概念回顾】我们知道圆是所有到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点组成的平面图形．由此可知，如图①，若OA=OB=OC，则点A、B、C均在以O为圆心，OA为半径的圆上．
【知识运用】
如图②，在△ABC中，AB=AC.将△ABC绕顶点A逆时针旋转α，得到△ADE，连结CD、BE．
(1)若∠BCD=118°，求∠BED的大小．
(2)若AB=5，BC=6.当90°<α<180°时，四边形ACDE面积的最大值为______．
【拓展应用】如图③，将边长为6的等边△ABC绕顶点A逆时针旋转α，得到△ADE，点F为DE中点．过点D作DG⊥AC，交AC于点G，当75°≤α<150°时，则FG长的取值范围是______．
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D为AB的中点，连结CD.动点P从点A出发沿折线AC−CB以每秒2个单位长度的速度运动，连结PD，设点P的运动时间为t秒．
(1)线段CP的长为______.(用含有t的代数式表示)
(2)在运动过程中，当∠PDC=∠A时，求t的值．
(3)线段CD、DP将△ABC分成三个三角形，记△CDP的面积为S1，其余两个三角形的面积分别为S2、S3，当满足S1=25(S2+S3)时，求∠PDC的正切值．
(4)当点P不与点C重合时，作点C关于直线PD的对称点C′，当C′P//AB时，请直接写出t的值．
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2(a、b为常数，且a≠0)与y轴交于点A，且经过点B(3,−1)．
(1)用含a的代数式表示b．
(2)当−1≤x≤3时，抛物线的最低点的纵坐标为−2时，求抛物线的函数表达式．
(3)抛物线在A、B间的部分(包括A、B两点)记为图象G，将图象G在直线y=2下方的部分沿直线y=2翻折，其他部分保持不变，得到新的图象G1.当图象G1上存在两个点到直线y=6的距离为2时，求a的值．
(4)若在该抛物线上存在纵坐标为1的点P，将点A、B、P构成的三角形的面积记为S.当6≤S≤9时，直接写出a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为−4<−2，所以比−2小的数是−4.其他数都大于−2．
故选：A．
比−2小的数可借助于数轴更容易求得．左边的数都比右边的数小．
本题考查的是有理数的大小比较，解题的关键是会方法，可借助数轴，可直接比较大小．
2.【答案】B
【解析】解：6000万=60000000=6×107．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：该几何体的主视图为：；左视图为；俯视图为；
故选：C．
左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
此题考查了简单几何体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．
4.【答案】C
【解析】解：∵关于x的方程x2−x−k=0(k为常数)有两个相等的实数根，
∴Δ=(−1)2−4×1×(−k)=0，
解得：k=−14．
故选：C．
根据方程的系数结合根的判别式Δ=0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式．
5.【答案】A
【解析】解：2x≤5x+6①x<1②，
解①得x≥−2；
解②x<1，
表示到数轴上如下：
，
故选：A．
先求出每个不等式的解集，后把解集表示到数轴上即可．
本题考查了一元一次不等式组的解法，解集的数轴表示，熟练求得不等式组的解集是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：连接BC，如图：

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AB的长为2R，
∴csA=ACAB=AC2R，
∴AC=2RcsA．
故选：B．
由圆周角定理得出∠ACB=90°，在Rt△ABC中，解直角三角形即可得出结果．
本题考查了圆周角定理、三角函数、解直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：如图①中，由作图可知，EB=EC，
∵EA+EC>AC，
∴EA+EB>AC，即AB>AC．
如图③中，由作图可知，AT=AC，
∵点T在线段AB上，
∴AB>AT，即AB>AC．
故选：C．
利用线段的垂直平分线的性质，三边关系，作一条线段等于已知线段判断即可．
本题考查作图−基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8.【答案】A
【解析】解：作CE⊥x轴于E，
∵AB⊥x轴交于点B，
∴CE//AB，
∴CEAB=OEOB=OCOA，
∵点C是OA的中点，
∴CEAB=OEOB=12，
∴AB=2CE，OB=2OE，
设C(m,km)，则D(2m,k2m)，
∴CE=km，BD=k2m，
∴AB=2CE=2km，
∴AD=AB−BD=2km−k2m=3k2m，
∴ADBD=3k2mk2m=3，
故选：A．
作CE⊥x轴于E，根据平行线分线段成比例定理得出CEAB=OEOB=12，从而得出AB=2CE，OB=2OE，设C(m,km)，则D(2m,k2m)，从而得到BD=k2m，AB=2km，AD=3k2m，即可求得ADBD=3．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，通过设出的点C的坐标依次求出点A和点D的坐标是解题的关键．
9.【答案】23
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次根式的化简求值，正确开平方是解题关键．将12分解为4×3，进而开平方得出即可．
【解答】
解：12=4×3=4×3=23．
10.【答案】a(a+2)(a−2)
【解析】解：原式=a(a2−4)
=a(a+2)(a−2)．
故答案为：a(a+2)(a−2)
原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11.【答案】125
【解析】解：设眼睛到目标的距离为x m，OE=0.8m，AB=0.2cm=0.002m，CD=50cm=0.5m，
∵AB//CD，
∴△OBE∽△ODF，
∴ABCD=OEOF，
即，
解得x=125．
答：眼睛到目标的距离OF为125m，
故答案为：125．
设眼睛到目标的距离为x m，由于OE=0.5m，AB=0.2cm=0.002m，CD=50cm=0.5m，由于AB//CD，所以利用相似三角形的性质即可求解．
本题考查的是相似三角形在实际生活中的运用，在解答此题时要注意单位的换算，这是此题的易错点．
12.【答案】4π3
【解析】解：设∠ACB=∠AOB=x，则∠ADB=12x，
∵∠ACB+∠ADB=180°，
∴x+12x=180°，
∴x=120°，
∴劣弧AB的长为120°×π×2180∘=4π3．
故答案为：4π3．
先利用∠ACB=∠AOB及圆内接四边形的性质得到∠AOB的值，再利用弧长公式计算即可．
本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式l=nπr180∘．
13.【答案】12
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD=DE+CE=9，AB//CD，
∴∠BAC=∠ACD=90°，
∴∠ECD′=90°，
∵将平行四边形ABCD进行折叠，折叠后AD恰好经过点C得到AD′，
∴D′E=DE=5，AD=AD′，
∴CD′=D′E2−CE2=3，
∴AD′=AC+3=AD=BC
∵BC2=AB2+AC2，
∴(AC+3)2=81+AC2，
∴AC=12，
故答案为：12．
由平行四边形的性质可得AD=BC，AB=CD=DE+CE=9，AB//CD，可得∠ECD′=90°，由折叠的性质可得D′E=DE=5，AD=AD′，由勾股定理可求CD′的长，AC的长．
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，求出CD′的长是本题的关键．
14.【答案】12【解析】解：∵a>0
∴抛物线y=x2−2mx−2开口向上，
∵抛物线对称轴是直线x=−−2m2×1=m，
∵抛物线y=x2−2mx−2上两点A(m+1,y1)和B(2−m,y2)，且y1>y2，
∴|m+1−m|>|2−m−m|，
∴12故答案为：12根据抛物线对称轴和开口方向可得点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，即可得出∴|m+1−m|>|2−m−m|，解不等式即可得到结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15.【答案】解：(x+1)2−(x+2)(x−2)
=x2+2x+1−x2+4
=2x+5，
当x=−3时，原式=2×(−3)+5
=−6+5
=−1．
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16.【答案】解：画树状图如下：
由树状图可知共有6种等可能结果，其中数字之和为6的有2种，
则抽取的两张卡片上的数字和为6的概率为13．
【解析】利用小华有3张卡片，小明有2张卡片，小华和小明分别从自己的卡片中随机抽取一张，根据题意画出树状图，再利用概率公式求解可得．
此题主要考查了画树状图求概率，根据题意画出树状图注意列举出所有的结果是解决问题的关键．
17.【答案】解：设货车的速度为x千米/时，依题意得：25x=35x+20，
两边同乘以x(x+20)得：25(x+20)=35x，
解得：x=50．
经检验：x=50是原方程的解．
x+20=50+20=70(千米/时)．
答：货车的速度为50千米/时，小车的速度为70千米/时．
【解析】设货车的速度为x千米/时，根据小车每小时比货车多行驶20千米，所以小车的速度为(x+20)千米/时．再根据时间=行驶路程速度及货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，列出方程，求解即可．
本题考查了分式方程在行程问题中的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
18.【答案】37
【解析】解：(1)AC=12+62=37，
故答案为：37；
(2)如图①中，线段BE即为所求；
(3)如图，直线PF即为所求．
(1)利用勾股定理求解即可；
(2)取格点P，Q，连接PQ交AC于点E，连接BE；
(30取格点K，T，连接KT交BC于点J，连接PJ，作BJ的中点F，连接PF，作直线PF即可．
本题考查作图−应用与设计作图，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】323
【解析】(1)证明：连接OD，如图，

∵DE是半圆O的切线，
∴OD⊥DE．
∵DE⊥AC，
∴OD//AC．
∴∠ODB=∠A．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B．
∴∠A=∠B．
∴CB=CA．
∵AB=AC，
∴AB=AC=BC．
∴△ABC是等边三角形；
(2)解：连接CD，如图，

∵BC为直径，
∴CD⊥AB．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=30°．
∵OB=3，
∴BC=23．
∴CD=BC⋅cs∠BCD=23×32=3．
∵DE⊥AC，
∴CE=CD⋅cs∠DCE=3×32=323．
故答案为：323．
(1)连接OD，利用切线的性质定理和平行线的判定方法得到OD//AC，利用平行线的性质和同圆的半径相等可以判定CA=CB，则结论可得；
(2)连接CD，利用等腰三角形的三线合一和等边三角形的性质求得CD，再利用直角三角形的边角关系即可求得结论．
本题主要考查了切线的性质定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理及其推论，平行线的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，特殊角的三角函数值，连接过切点的半径是常添加的辅助线．
20.【答案】108.5 语文 107分高于这20名学生语文成绩的中位数
【解析】解：(1)由题意可知，这20名学生的数学成绩的中位数为108+1092=108.5，
故答案为：108.5；
(2)因为107分低于数学成绩的中位数，而107分却高于语文成绩的中位数，故该生成绩所属学科为语文，
故答案为：语文，107分高于这20名学生语文成绩的中位数；
(3)本次数学考试成绩不低于110分的学生数为220×620=66(名)，
故此次考试学校获奖的人数为66名学生．
(1)直接根据中位数的定义求解即可；
(2)直接根据中位数的意义判断即可；
(3)用学校总人数乘以本次数学考试成绩不低于110分的学生所占的比例即可．
本题主要考查数据的收集与整理，熟练掌握中位数的定义、中位数的意义、用样本估计总体的方法是解答此题的关键．
21.【答案】600
【解析】解：(1)由图象可得，
甲小区采集的效率为：1800÷3=600(人/时)，
故答案为：600；
(2)设乙小区在志愿者加入后y与x之间的函数关系式是y=kx+b，
∵点(2,360)，(3,1800)在该函数图象上，
∴2k+b=3603k+b=1800，
解得k=1440b=−2520，
即乙小区在志愿者加入后y与x之间的函数关系式是y=1440x−2520(2≤x≤4)；
(3)将x=4代入y=1440x−2520，得：y=1440×4−2520=3240，
600×4+3240
=2400+3240
=5640(人)，
答：A社区参加此次核酸样本采集的有5640人．
(1)根据函数图象中的数据，可以计算出甲小区采集的效率；
(2)根据函数图象中的数据，可以计算出乙小区在志愿者加入后y与x之间的函数关系式；
(3)将x=4代入(2)中的函数解析式，计算出相应的y的值，然后再加600×4即可得到A社区参加此次核酸样本采集的人数．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】492 32≤FG≤6
【解析】解：(1)∵AB=AC=AD=AE，
∴点B、C、D、E共圆，
即：四边形BCDE是⊙A的内接四边形，
∴∠BED+∠BCD=180°，
∵∠BCD=118°，
∴∠BED=62°；
(2)如图1，

作AF⊥BC于F，作DH⊥AC于H，
∵AB=AC，
∴CF=BF=12BC=3，
∴AF=AC2−CF2=4，
∴S△ABC=12BC⋅AF=12×6×4=12，
∵S四边形ACDE=S△ADE+S△ACD=S△ABC+12AC⋅DH=12+52DH，
∵DH≤AD=5，
∴当DH=AD=5时，S△ACD最大=252，此时AD⊥AC(图中AD′)，
∴S四边形ACDE最大=12+252=492，
故答案为：492；
[拓展应用]解：如图2，

连接AF，取AD的中点O，连接OF，OG，
∵AD=AE，点F是DE的中点，
∴AF⊥DE，
∴∠AFD=90°，
∴OF=OA=OD=12AD=3，
同理可得，
OG=OA=OD=12AD，
∴点A、G、D、F在以O为圆心，3为半径的圆O上，
∵∠BAD=α，
∴∠CAD=α−∠BCA=α−60°，
∵75°≤α≤150°，
∴15°≤∠CAD≤90°，
如图3，

点G在AG上运动，当运动G″时，FG最大=FG″=AD=6，
当∠DAG=15°时，FG最小，
作FH⊥AG于H，
∵∠AFD=90°，∠ADF=60°，
∴AF=6⋅sin60°=33，
在Rt△AFH中，∠FAH=∠FAD+∠DAG=45°，
∴FH=AF⋅cs45°=33×22=362，
∵AF=AF，
∴∠G=∠D=60°，
∴FG=FHsin60∘=36232=32，
∴32≤FG≤6，
故答案为：32≤FG≤6．
(1)证明四边形BCDE是⊙A的内接四边形，根据圆的内接四边形对角互补求得结果；
(2)只需求得△ACD面积最大值：当AD⊥AC时，△ACD的面积最大，进一步求得结果；
[拓展应用]连接AF，取AD的中点O，连接OF，OG，可推出OG=OA=OD=12AD，从而点A、G、D、F在以O为圆心，3为半径的圆O上，可推出15°≤∠CAD≤90°，点G弧上运动，当FG是⊙O的直径时，FG最长，当∠CAD=15°时，FG最小，解△AFG求得FG的最小值．
本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，确定圆的条件，解直角三角形等知识，解决问题的关键是根据条件确定共圆．
23.【答案】8−2t或2t−8
【解析】解：(1)∵动点P从点A出发沿折线AC−CB以每秒2个单位长度的速度运动，
当点P在AC上时，
∴CP=8−2t，
当点P在CB上时，
∴CP=2t−8，
故答案为：8−2t或2t−8；
(2)当点P在AC上时，
∵AC⊥BC，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
又∵D为AB的中点，
∴AD=BD=5，
又∵∠PDC=∠A，∠ACD为公共角，
∴△DPC∽△ADC，
∴CPAD=CDAC，
∴CP=58×5=258，
由(1)得CP=8−2t，
∴8−2t=258，
∴t=3916，
当点P′在BC上时，
∵∠P′DC=∠A，∠B=∠DCP′，
∴∠P′DC+∠DCP′=90°，
∴DP′⊥BC，
∴CP′=3，

∴t=112，
综上：t=3916或112；
(3)∵S△ACB=12×6×8=24，
∴S1+S2+S3=24，
∴S1=24−S2−S3=25(S2+S3)，
∴75(S2+S3)=24，
∴S2+S3=1207，
∴S1=24−S2−S3=25(S2+S3)，
∴75(S2+S3)=24，
∴S2+S3=1207，
∴S1=24−1207=487，
当点P在AC上时，
如图，过点D作DM⊥AC于M，PN⊥CD于N，

∴DM//CB，
∴S1=12CP⋅PM=487，
∵D为中点，
∴DM=3，
∴CP=487×13×2=327，
∴CP×DM=CD×PN，
∴PN=327×3÷5=9635，
由勾股定理得，CN=12835，
∴DN=CD−CN=5−12835=4735，
∴tan∠CDP=PNDN=9635÷4735=9647，
当点P在BC上时，CP=247，作PG⊥CD于G，

由△CGP∽△BCA得，
CG6=PG8=24710，
∴CG=7235，PG=9635，
∴DG=CD−CG=5−7235=10335，
∴tan∠PDC=GPDG=9635÷10335=96103，
综上：tan∠PDC=9647或96103；
(4)当点P在AC上时，

∴C′P//AB，
∴∠C′=∠ACD=∠ADC′，∠A=∠APC′，
∴C′M=PM，AM=DM，
∴AP=C′D==CD=5，
∴t=52，
当点P在CD上时，

同理可得BP=C′D=CD=5，
∴CP=1，
∴t=92，
综上：t=52或92．
(1)分点P在AC上或点P在CB上两种情形，分别表示CP的长；
(2)当点P在AC上时，利用△DPC∽△ADC，得CPAD=CDAC，可得CP的长，当点P在BC上时，可知DP⊥BC，则CP=3，从而解决问题；
(3)根据S1=25(S2+S3)，可得S1=24−1207=487，当点P在AC上时，如图，过点D作DM⊥AC于M，PN⊥CD于N，求出PC的长，再利用等积法求出PN，从而得出答案，当点P在BC上时，同理可得答案；
(4)当点P在AC上时，根据平行线的性质和等腰三角形的性质可得AP=C′D==CD=5，得t=52，当点P在CD上时，同理可得答案．
本题是几何变换综合题，主要考查了轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角函数等知识，运用分类思想是解决问题的关键．
24.【答案】解：(1)将B(3,−1)代入抛物线y=ax2+bx+2，
∴9a+3b+2=−1，
整理得b=−3a−1；
(2)由(1)知抛物线的解析式为：y=ax2−(3a+1)x+2，
∴抛物线的对称轴为：直线x=3a+12a．
根据题意需要分以下几种情况：
①当3a+12a≤−1且a>0时，不成立；
②当3a+12a≤−1且a<0时，−15≤a<0，
则最低点为(3,−2)，显然不合题意；
③当3a+12a≥3且a>0时，即0最低点为(3,−2)，显然不符合题意；
④当3a+12a≥3且a<0时，不成立；
⑤当−1≤3a+12a≤3且a>0时，即a≥13，将(3a+12a,−2)代入抛物线得a=13；
⑥当−1≤3a+12a≤3且a<0时，即a≤−15，将(−1,−2)(3,−2)代入抛物线得a=−54或a=109(舍去)；
综上，抛物线的表达式为：y=13x2−2x+2或y=54x2+114x+2．
(3)根据题意可知需要分两种情况进行讨论，
①当a>0时，整个部分翻折，若存在两个点到直线y=6的距离为2，则图象G′顶点的纵坐标≥8且顶点横坐标在0到3之间；

∴0<3a+12a<32+(3a+1)24a≥8，
解得a≥1+223；
②若a<0，部分翻折，若存在两个点到直线y=6的距离为2，则图象G的顶点的纵坐标≥4，

∴0<3a+12a<32−(3a+1)24a≥4，
解得a≤−7−2109；
综上，当图象G1上存在两个点到直线y=6的距离为2时，a的取值范围为：a≥1+223或a≤−7−2109；
(4)∵A(0,2)，B(3,−1)，
∴直线AB的解析式为：y=−x+2，
如图，直线y=1与抛物线交于点P，设点P的横坐标为t，过点P作PQ//y轴交直线AB于点Q，
∴P(t,1)，Q(t,−t+2)，
∴PQ=|t−1|，
∴S=12×3⋅|t−1|，
∵6≤S≤9，
∴6≤12×3⋅|t−1|≤9，
∴5≤t≤7或−7≤t≤−5；
①当5≤t≤7时，如图，

当t=5时，将P(5,1)代入抛物线y=ax2−(3a+1)x+2得，
25a−5(3a+1)+2=1，解得a=15；
当t=7时，将P(7,1)代入抛物线y=ax2−(3a+1)x+2得，
49a−7(3a+1)+2=1，解得a=314；
∴314≤a≤15；
②当−7≤t≤−5时，如图，

当t=−5时，将P(−5,1)代入抛物线y=ax2−(3a+1)x+2得，
25a+5(3a+1)+2=1，解得a=−110；
当t=−7时，将P(−7,1)代入抛物线y=ax2−(3a+1)x+2得，
49a+7(3a+1)+2=1，解得a=−435；
∴−110≤a≤−435；
综上，符合题意的a的取值范围为：314≤a≤15或−110≤a≤−435．
【解析】(1)将点B的坐标代入抛物线整理即可得出结论；
(2)由(1)可得出抛物线的对称轴，再根据题意进行分类讨论即可；
(3)分两种情况进行讨论，当a>0时，整个部分翻折，若存在，则顶点的纵坐标≥8且顶点横坐标在0到3之间；若a<0，部分翻折，若存在，则顶点的纵坐标≥4即可；
(4)设点P的横坐标为t，过点P作PQ//y轴交直线AB于点Q，由三角形的面积公式可得出t的取值范围，再代入抛物线的解析式，可得出a的取值范围．
本题考查二次函数综合题、待定系数法、一元二次方程、三边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，学会利用一次函数确定两直线的交点坐标，属于中考压轴题．
成绩m分
频数(人数)
70≤m<80
1
80≤m<90
2
90≤m<100
3
100≤m<110
8
110≤m≤120
6
合计
20
平均数
中位数
众数
数学
104
n
109
语文
104.2
105
105