高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件教学设计

【新教材】1.4充分条件与必要条件

教学设计（人教A版）

本节内容比较抽象，首先从命题出发，分清命题的条件和结论，看条件能否推出结论，从而判断命题的真假；然后从命题出发结合实例引出充分条件、必要条件、充要条件这三个概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证.

课程目标

1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．　

2．结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．　

3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明．

数学学科素养

1.数学抽象：充分条件、必要条件与充要条件含义的理解；

2.逻辑推理：通过命题的判定得出充分条件、必要条件的含义，通过定义或集合关系进行充分条件、必要条件、充要条件的判断；

3.数学运算：利用充分、必要条件求参数的范围，常见包含一元二次方程及其不等式和不等式组；

4.数据分析：充要条件的探求与证明：将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程；

5.数学建模：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力。

重点：充分条件、必要条件、充要条件的概念．．

难点：能够利用命题之间的关系判定充要关系．

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、 问题导入：

写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？

（1）若x ＞ a2  + b2，则x ＞ 2ab,      （2）若ab ＝ 0，则a ＝ 0.

学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．

提问：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？

结论：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、 预习课本，引入新课

阅读课本17-22页，思考并完成以下问题

1. 什么是充分条件？

2. 什么是必要条件？

3. 什么是充要条件？

5. 什么是充分不必要条件？

6. 什么是必要不充分条件？

7. 什么是既不充分也不必要条件？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题，教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程。

三、新知探究，知识梳理

1．充分条件与必要条件

2. 充要条件

一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

概括地说，(1)如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

(2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．

(3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．

(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．

3.从集合角度看充分、必要条件

四、典例分析、举一反三

题型一    充分条件、必要条件、充要条件的判断

例1  指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．

(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；

(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；

(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；

(4)p：a＜b，q：＜1.

【答案】见解析

【解析】(1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充分必要条件．

(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即﹁q⇒﹁p，但﹁p⇒﹁q，所以p是q的充分不必要条件．

(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．

(4)由于a＜b，当b＜0时，＞1；

当b＞0时，＜1，故若a＜b，不一定有＜1；

当a＞0，b＞0，＜1时，可以推出a＜b；

当a＜0，b＜0，＜1时，可以推出a＞b.

因此p是q的既不充分也不必要条件．

解题技巧：（充分条件与必要条件的判断方法）

(1)定义法

若p⇒q，qp，则p是q的充分不必要条件；

若pq，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；

若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；

若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件．

(2)集合法

对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：

若A⊆B，则p是q的充分条件；

若A⊇B，则p是q的必要条件；

若A＝B，则p是q的充要条件；

若A⫋B，则p是q的充分不必要条件；

若B⫋A，则p是q的必要不充分条件．　

(3)等价法

等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．

跟踪训练一

1．设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】D

题型二   充要条件的探求与证明

例2　 (1)“x2－4x<0”的一个充分不必要条件为(　　)

A．0<x<4       B．0<x<2

C．x>0         D．x<4

(2)已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.

【答案】（1）B    （2）见解析

【解析】(1)由x2－4x<0得0<x<4，则充分不必要条件是集合{x|0<x<4}的子集，故选B.

(2)法一：充分性：由xy>0及x>y，得>，即<.

必要性：由<，得－<0，即<0.

因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.

所以<的充要条件是xy>0.

法二：<⇔－<0⇔<0.

由条件x>y⇔y－x<0，故由<0⇔xy>0.

所以<⇔xy>0，

即<的充要条件是xy>0.

解题技巧：(探求充要条件一般有两种方法)

(1)探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论(设为B)，再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明．

(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．

跟踪训练二

2．(1)不等式x(x－2)<0成立的一个必要不充分条件是(　　)

A．x∈(0,2)　　   B．x∈[－1，＋∞)

C．x∈(0,1)       D．x∈(1,3)

(2)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.

【答案】 （1）B     （2）见解析

【解析】（1）由x(x－2)<0得0<x<2，因为(0,2) ⫋[－1，＋∞)，所以“x∈[－1，＋∞)”是“不等式x(x－2)<0成立”的一个必要不充分条件．

（2）证明　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.

①证明p⇒q，即证明必要性．

∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.

②证明q⇒p，即证明充分性．

由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.

∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，

即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.

∴x＝1是方程的一个根．

故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.

题型三    利用充分、必要条件求参数的范围

例3 　已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为____

【答案】{m|m≥9}(或[9，＋∞))

【解析】　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，

得1－m≤x≤1＋m(m>0)．

因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp.

即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，

所以或解得m≥9.

变式． [变条件] 【例3】本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．

【答案】见解析

【解析】由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)得1－m≤x≤1＋m(m>0)

因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且pq.

则{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}⫋{x|－2≤x≤10}

所以，解得0<m≤3.

即m的取值范围是(0,3]．

解题技巧：（利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围）

(1)化简p、q两命题，

(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系，

(3)利用集合间的关系建立不等关系，

(4)求解参数范围．

跟踪训练三

3．已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】见解析

【解析】因为“x∈P”是x∈Q的必要条件，所以Q⊆P.

所以解得－1≤a≤5

即a的取值范围是[－1,5]．

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本23页习题1.4

因为涉及到的知识点比较多，且知识点较繁琐，且新概念比较抽象，因此本节学习过程中，一定让学生多多参加，并且在解题技巧方面先让学生自己总结，教师再补充说明。