浙江省温州市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编-06 解答题提升题

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浙江省温州市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编-06 解答题提升题

一．解答题
1. （2022•温州）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC＝5，BE＝3，点P，Q分别在线段AB，BE上（不与端点重合），且满足＝．设BQ＝x，CP＝y．
（1）求半圆O的半径．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ，RQ．
①当△PQR为直角三角形时，求x的值．
②作点F关于QR的对称点F′，当点F′落在BC上时，求的值．

2. （2021•温州）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，分别交x轴、y轴于点A（2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0），连结AE．
（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；
（2）求点D，E的坐标；
（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．

3. （2018•温州）如图，P，Q是方格纸中的两格点，请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形．
（1）画出一个面积最小的▱PAQB．
（2）画出一个四边形PCQD，使其是轴对称图形而不是中心对称图形，且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到．

4. （2018•温州）如图，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y＝2x经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x＝2，交x轴于点B．
（1）求a，b的值．
（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K＝．求K关于m的函数表达式及K的范围．

5. （2018•温州）如图，已知P为锐角∠MAN内部一点，过点P作PB⊥AM于点B，PC⊥AN于点C，以PB为直径作⊙O，交直线CP于点D，连接AP，BD，AP交⊙O于点E．
（1）求证：∠BPD＝∠BAC．
（2）连接EB，ED，当tan∠MAN＝2，AB＝2时，在点P的整个运动过程中．
①若∠BDE＝45°，求PD的长．
②若△BED为等腰三角形，求所有满足条件的BD的长．
（3）连接OC，EC，OC交AP于点F，当tan∠MAN＝1，OC∥BE时，记△OFP的面积为S1，△CFE的面积为S2，请写出的值．

6. （2020•温州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知y＝x+12，当Q为BF中点时，y＝．
（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由．
（2）求DE，BF的长．
（3）若AD＝6．
①当DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系．
②连接PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值．

7. （2019•温州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连接OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．

（1）求点B的坐标和OE的长．
（2）设点Q2为（m，n），当＝tan∠EOF时，求点Q2的坐标．
（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．
①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．
②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．












参考答案与试题解析
1. （2022•温州）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC＝5，BE＝3，点P，Q分别在线段AB，BE上（不与端点重合），且满足＝．设BQ＝x，CP＝y．
（1）求半圆O的半径．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ，RQ．
①当△PQR为直角三角形时，求x的值．
②作点F关于QR的对称点F′，当点F′落在BC上时，求的值．

【解答】解：（1）如图1，连接OD，设半径为r，

∵CD切半圆于点D，
∴OD⊥CD，
∵BE⊥CD，
∴OD∥BE，
∴△COD∽△CBE，
∴，
∴，
解得r＝，
∴半圆O的半径为；
（2）由（1）得，CA＝CB﹣AB＝5﹣2×＝，
∵＝，BQ＝x，
∴AP＝，
∴CP＝AP+AC，
∴y＝；
（3）①显然∠PRQ＜90°，所以分两种情形，
当∠RPQ＝90°时，则四边形RPQE是矩形，
∴PR＝QE，
∵PR＝PC×sinC＝，
∴，
∴x＝，
当∠PQR＝90°时，过点P作PH⊥BE于点H，如图，

则四边形PHER是矩形，
∴PH＝RE，EH＝PR，
∵CR＝CP•cosC＝，
∴PH＝RE＝3﹣x＝EQ，
∴∠EQR＝∠ERQ＝45°，
∴∠PQH＝45°＝∠QPH，
∴HQ＝HP＝3﹣x，
由EH＝PR得：（3﹣x）+（3﹣x）＝，
∴x＝，
综上，x的值为或；
②如图，连接AF，QF'，由对称可知QF＝QF'，
∵CP＝，
∴CR＝x+1，
∴ER＝3﹣x，
∵BQ＝x，
∴EQ＝3﹣x，
∴ER＝EQ，
∴∠F'QR＝∠EQR＝45°，

∴∠BQF'＝90°，
∴QF＝QF'＝BQ•tanB＝，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴BF＝AB•cosB＝，
∴，
∴x＝，
∴．
2. （2021•温州）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，分别交x轴、y轴于点A（2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0），连结AE．
（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；
（2）求点D，E的坐标；
（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．

【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙M的直径，
∵点M是AB的中点，则点M（1，4），
则圆的半径为AM＝＝，
设直线CM的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线CM的表达式为y＝﹣x+；

（2）设点D的坐标为（x，﹣x+），
由AM＝得：（x﹣1）2+（﹣x+﹣4）2＝（）2，
解得x＝5或﹣3，
故点D、E的坐标分别为（﹣3，5）、（5，3）；

（3）过点D作DH⊥OB于点H，则DH＝3，BH＝8﹣5＝3＝DH，
故∠DBO＝45°，

由点A、E的坐标，同理可得∠EAP＝45°；
由点A、E、B、D的坐标得，AE＝＝3，
同理可得：BD＝3，OB＝8，
①当∠AEP＝∠DBO＝45°时，
则△AEP为等腰直角三角形，EP⊥AC，
故点P的坐标为（5，0），
故OP＝5；
②∠AEP＝∠BDO时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△DBO，
∴，即＝＝，解得AP＝8，
故PO＝10；
③∠AEP＝∠BOD时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△OBD，
∴，即，解得AP＝，
则PO＝2+＝，
综上所述，OP为5或10或．
3. （2018•温州）如图，P，Q是方格纸中的两格点，请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形．
（1）画出一个面积最小的▱PAQB．
（2）画出一个四边形PCQD，使其是轴对称图形而不是中心对称图形，且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到．

【解答】解：（1）如图①所示：
（2）如图②所示：

4. （2018•温州）如图，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y＝2x经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x＝2，交x轴于点B．
（1）求a，b的值．
（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K＝．求K关于m的函数表达式及K的范围．

【解答】解：（1）将x＝2代入y＝2x，得：y＝4，
∴点M（2，4），
由题意，得：，
∴；

（2）如图，过点P作PH⊥x轴于点H，

∵点P的横坐标为m，抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x，
∴PH＝﹣m2+4m，
∵B（2，0），
∴OB＝2，
∴S＝OB•PH
＝×2×（﹣m2+4m）
＝﹣m2+4m，
∴K＝＝﹣m+4，
由题意得A（4，0），
∵P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，
∴2＜m＜4，
∵K随着m的增大而减小，
∴0＜K＜2．
5. （2018•温州）如图，已知P为锐角∠MAN内部一点，过点P作PB⊥AM于点B，PC⊥AN于点C，以PB为直径作⊙O，交直线CP于点D，连接AP，BD，AP交⊙O于点E．
（1）求证：∠BPD＝∠BAC．
（2）连接EB，ED，当tan∠MAN＝2，AB＝2时，在点P的整个运动过程中．
①若∠BDE＝45°，求PD的长．
②若△BED为等腰三角形，求所有满足条件的BD的长．
（3）连接OC，EC，OC交AP于点F，当tan∠MAN＝1，OC∥BE时，记△OFP的面积为S1，△CFE的面积为S2，请写出的值．

【解答】解：（1）∵PB⊥AM、PC⊥AN，
∴∠ABP＝∠ACP＝90°，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
又∠BPD+∠BPC＝180°，
∴∠BPD＝∠BAC；

（2）①如图1，

∵∠APB＝∠BDE＝45°，∠ABP＝90°，
∴BP＝AB＝2，
∵∠BPD＝∠BAC，
∴tan∠BPD＝tan∠BAC，
∴＝2，
∴BP＝PD，
∴PD＝2；
②当BD＝BE时，∠BED＝∠BDE，
∴∠BPD＝∠BPE＝∠BAC，
∴tan∠BPE＝2，
∵AB＝2，
∴BP＝，
∴BD＝2；
当BE＝DE时，∠EBD＝∠EDB，
∵∠APB＝∠BDE、∠DBE＝∠APC，
∴∠APB＝∠APC，
∴AC＝AB＝2，
过点B作BG⊥AC于点G，得四边形BGCD是矩形，

∵AB＝2、tan∠BAC＝2，
∴AG＝2，
∴BD＝CG＝2﹣2；
当BD＝DE时，∠DEB＝∠DBE＝∠APC，
∵∠DEB＝∠DPB＝∠BAC，
∴∠APC＝∠BAC，
设PD＝x，则BD＝2x，
∴＝2，
∴，
∴x＝，
∴BD＝2x＝3，
综上所述，当BD＝2、3或2﹣2时，△BDE为等腰三角形；

（3）如图3，过点O作OH⊥DC于点H，

∵tan∠BPD＝tan∠MAN＝1，
∴BD＝PD，
设BD＝PD＝2a、PC＝2b，
则OH＝a、CH＝a+2b，
过点B作BQ⊥AN于点Q，
则QC＝BD＝2a，AQ＝BQ＝CD＝2a+2b，
∴AC＝4a+2b，
∵OC∥BE且∠BEP＝90°，
∴∠PFC＝90°，
∴∠PAC+∠APC＝∠OCH+∠APC＝90°，
∴∠OCH＝∠PAC，
∴△ACP∽△CHO，
∴＝，即OH•AC＝CH•PC，
∴a（4a+2b）＝2b（a+2b），
∴a＝b，
即CP＝2a、CH＝3a，
则OC＝a，
∵△CPF∽△COH，
∴＝，即＝，
则CF＝a，OF＝OC﹣CF＝a，
∵BE∥OC且BO＝PO，
∴OF为△PBE的中位线，
∴EF＝PF，
∴＝＝．
6. （2020•温州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知y＝x+12，当Q为BF中点时，y＝．
（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由．
（2）求DE，BF的长．
（3）若AD＝6．
①当DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系．
②连接PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值．

【解答】解：（1）DE与BF的位置关系为：DE∥BF，理由如下：
如图1所示：
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ADC+∠ABC＝360°﹣（∠A+∠C）＝180°，
∵DE、BF分别平分∠ADC、∠ABC，
∴∠ADE＝∠ADC，∠ABF＝∠ABC，
∴∠ADE+∠ABF＝×180°＝90°，
∵∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠ABF，
∴DE∥BF；
（2）令x＝0，得y＝12，
∴DE＝12，
令y＝0，得x＝10，
∴MN＝10，
把y＝代入y＝﹣x+12，
解得：x＝6，即NQ＝6，
∴QM＝10﹣6＝4，
∵Q是BF中点，
∴FQ＝QB，
∵BM＝2FN，
∴FN+6＝4+2FN，
解得：FN＝2，
∴BM＝4，
∴BF＝FN+MN+MB＝16；
（3）①连接EM并延长交BC于点H，如图2所示：
∵FM＝2+10＝12＝DE，DE∥BF，
∴四边形DFME是平行四边形，
∴DF＝EM，EH∥CD，
∴∠MHB＝∠C＝90°，
∵AD＝6，DE＝12，∠A＝90°，
∴∠DEA＝30°，
∴∠DEA＝∠FBE＝∠FBC＝30°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠FME＝60°，
∴∠DFM＝∠DEM＝120°，
∴∠MEB＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠MEB＝∠FBE＝30°，
∴∠EHB＝180°﹣30°﹣30°﹣30°＝90°，DF＝EM＝BM＝4，
∴MH＝BM＝2，
∴EH＝4+2＝6，
由勾股定理得：HB＝＝＝2，
∴BE＝＝＝4，
当DP＝DF时，﹣x+12＝4，
解得：x＝，
∴BQ＝14﹣x＝14﹣＝，
∵＞4，
∴BQ＞BE；
②（Ⅰ）当PQ经过点D时，如图3所示：
y＝0，
则x＝10；
（Ⅱ）当PQ经过点C时，如图4所示：
∵BF＝16，∠FCB＝90°，∠CBF＝30°，
∴CF＝BF＝8，
∴CD＝8+4＝12，
∵FQ∥DP，
∴△CFQ∽△CDP，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝；
（Ⅲ）当PQ经过点A时，如图5所示：
∵PE∥BQ，
∴△APE∽△AQB，
∴＝，
由勾股定理得：AE＝＝＝6，
∴AB＝6+4＝10，
∴＝，
解得：x＝，
由图可知，PQ不可能过点B；
综上所述，当x＝10或x＝或x＝时，PQ所在的直线经过四边形ABCD的一个顶点．





7. （2019•温州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连接OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．

（1）求点B的坐标和OE的长．
（2）设点Q2为（m，n），当＝tan∠EOF时，求点Q2的坐标．
（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．
①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．
②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．
【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x+4＝0，
∴x＝8，
∴B（8，0），
∵C（0，4），
∴OC＝4，OB＝8，
在Rt△BOC中，BC＝＝4，
又∵E为BC中点，
∴OE＝BC＝2；
（2）如图1，作EM⊥OC于M，则EM∥CD，

∵E是BC的中点
∴M是OC的中点
∴EM＝OB＝4，OE＝BC＝2
∵∠CDN＝∠NEM，∠CND＝∠MNE
∴△CDN∽△MEN，
∴＝1，
∴CN＝MN＝1，
∴EN＝＝，
∵S△ONE＝EN•OF＝ON•EM，
∴OF＝＝，
由勾股定理得：EF＝＝＝，
∴tan∠EOF＝＝＝，
∴＝＝，
∵n＝﹣m+4，
∴m＝6，n＝1，
∴Q2（6，1）；
（3）①∵动点P、Q同时做匀速直线运动，
∴s关于t成一次函数关系，设s＝kt+b，
∵当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合，
∴t＝2时，CD＝4，DQ3＝2，
∴s＝Q3C＝＝2，
∵Q3（﹣4，6），Q2（6，1），
∴t＝4时，s＝＝5，
将和代入得，解得：，
∴s＝﹣，
∵s≥0，t≥0，且＞0，
∴s随t的增大而增大，
当s≥0时，﹣≥0，即t≥，当t＝时，Q3与Q重合，
∵点Q在线段Q2Q3上，
综上，s关于t的函数表达式为：s＝﹣（≤t≤4）；
②（i）当PQ∥OE时，如图2，∠QPB＝∠EOB＝∠OBE，
作QH⊥x轴于点H，则PH＝BH＝PB，

Rt△ABQ3中，AQ3＝6，AB＝4+8＝12，
∴BQ3＝＝6，
∵BQ＝6﹣s＝6﹣t+＝7﹣t，
∵cos∠QBH＝＝＝＝，
∴BH＝14﹣3t，
∴PB＝28﹣6t，
∴t+28﹣6t＝12，t＝；
（ii）当PQ∥OF时，如图3，过点Q作QG⊥AQ3于点G，过点P作PH⊥GQ于点H，

由△Q3QG∽△CBO得：Q3G：QG：Q3Q＝1：2：，
∵Q3Q＝s＝t﹣，
∴Q3G＝t﹣1，GQ＝3t﹣2，
∴PH＝AG＝AQ3﹣Q3G＝6﹣（t﹣1）＝7﹣t，
∴QH＝QG﹣AP＝3t﹣2﹣t＝2t﹣2，
∵∠HPQ＝∠CDN，
∴tan∠HPQ＝tan∠CDN＝，
∴2t﹣2＝，t＝，
（iii）由图形可知PQ不可能与EF平行，
综上，当PQ与△OEF的一边平行时，AP的长为或．