2023年高考数学一轮复习《抛物线》精选练习（2份打包，教师版+原卷版）

2023年高考数学一轮复习《抛物线》精选练习

一              、选择题

1.已知AB是抛物线y2=8x的一条焦点弦，|AB|=16，则AB中点C的横坐标是(　　)

A.3           B.4          C.6           D.8

【答案解析】答案为：C.

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=x1＋x2＋p=16，又p=4，所以x1＋x2=12，

所以点C的横坐标是=6.]

2.抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是(　　)

A.(0，a)       B.(a,0)       C.       D.

【答案解析】答案为：C

解析：将y=4ax2(a≠0)化为标准方程得x2=y(a≠0)，所以焦点坐标为.故选C.

3.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与双曲线x2－＝1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若|AF|>|BF|，且|AF|＝2，则抛物线的方程为(　　)

A.y2＝2x          B.y2＝3x      C.y2＝4x          D.y2＝x

【答案解析】答案为：A

解析：由双曲线方程x2－＝1知其渐近线方程为y＝±x，

∴过抛物线焦点F且与渐近线平行的直线AB的斜率为±，不妨取kAB＝，

则其倾斜角为60°，即∠AFx＝60°.过A作AN⊥x轴，垂足为N.由|AF|＝2，

得|FN|＝1.过A作AM⊥准线l，垂足为M，则|AM|＝p＋1.

由抛物线的定义知，|AM|＝|AF|，∴p＋1＝2，∴p＝1，

∴抛物线的方程为y2＝2x，故选A.

4.已知点P是抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到此抛物线的准线的距离为d1，到直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为(　　)

A.2          B.          C.          D.

【答案解析】答案为：D

解析：点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，

过焦点F作直线x＋y－4＝0的垂线，此时d1＋d2最小，

∵F(－1,0)，则d1＋d2＝＝.故选D.

5.过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点C，若|AF|＝6，＝λ(λ>0)，则λ的值为(　　)

A.          B.             C.          D.3

【答案解析】答案为：D

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－2，y3)，

则x1＋2＝6，解得x1＝4，y1＝±4，点A(4,4)，

则直线AB的方程为y＝2(x－2)，令x＝－2，得C(－2，－8)，

联立方程组解得B(1，－2)，

所以|BF|＝1＋2＝3，|BC|＝9，所以λ＝3.故选D.

6.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)

A.2　　　    B.4       C.6          D.8

【答案解析】答案为：B

解析：由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，

可取A(，2)，D(－，)，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，

得p＝4，所以选B.

7.已知抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝(　　)

A.          B.         C.          D.

【答案解析】答案为：D

解析：由题意可知，抛物线开口向上且焦点坐标为(0,)，双曲线焦点坐标为(2,0)，

所以两个焦点连线的直线方程为y＝－(x－2).设M(x0，y0)，则有y′＝x0＝

⇒x0＝p.因为y0＝x，所以y0＝.又M点在直线y＝－(x－2)上，

即有＝－(p-2)⇒p＝，故选D.

8.已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21=0，抛物线y2=8x的准线为l.设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m＋|PC|的最小值为(　　)

A.5　　　　B.　　　　C.－2　　　　D.4

【答案解析】答案为：B.

解析：由题意得，圆C的圆心坐标为(－3，－4)，抛物线的焦点为F(2,0).

根据抛物线的定义，得m＋|PC|=|PF|＋|PC|≥|FC|=.]

二              、填空题

9.抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________.

【答案解析】答案为：y2=16x.

解析：设满足题意的圆的圆心为M.根据题意可知圆心M在抛物线上，

又因为圆的面积为36π，所以圆的半径为6，则|MF|=xM＋=6，即xM=6－，

又由题意可知xM=，所以=6－，解得p=8.所以抛物线方程为y2=16x.

10.直线y=k(x－1)与抛物线y2=4x交于A，B两点，若|AB|=，则k=________.

【答案解析】答案为：±.

解析：[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线AB经过抛物线y2=4x的焦点，

所以|AB|=x1＋x2＋2=，所以x1＋x2=.联立

得到k2x2－(2k2＋4)x＋k2=0，所以x1＋x2==，所以k=±.]

11.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝4|FB|，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则p＝________.

【答案解析】答案为：1.

解析：易知抛物线y2＝2px的焦点F的坐标为(,0)，准线为x＝－，

不妨设点A在x轴上方，如图，过A，B作准线的垂线AA′，BB′，垂足分别为A′，B′，过点B作BH⊥AA′，交AA′于H，则|BB′|＝|A′H|，

设|FB|＝t，则|AF|＝|AA′|＝4t，∴|AH|＝|AA′|－|A′H|＝3t，

又|AB|＝5t，∴在Rt△ABH中，cos∠HAB＝，

∴tan∠HAB＝，则可得直线AB的方程为y＝(x－).

由得8x2－17px＋2p2＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝p＋p＝p，

易知点O到直线AB的距离为d＝|OF|·sin∠A′AB＝×＝p.

∴S△AOB＝×p×p＝＝，∴p2＝1，又p>0，∴p＝1.

12.已知抛物线C1：y＝ax2(a>0)的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(b>0)的一个焦点，点M，P(,1)分别为曲线C1，C2上的点，则|MP|＋|MF|的最小值为________.

【答案解析】答案为：2

解析：将P(,1)代入＋＝1，可得＋＝1，∴b＝，c＝1，∴抛物线的焦点F为(0,1)，∴抛物线C1的方程为x2＝4y，准线为直线y＝－1，设点M在准线上的射影为D，根据抛物线的定义可知|MF|＝|MD|，∴要求|MP|＋|MF|的最小值，即求|MP|＋|MD|的最小值，易知当D，M，P三点共线时，|MP|＋|MD|最小，最小值为1－(－1)＝2.

三              、解答题

13.设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.

(1)求直线AB的斜率；

(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.

【答案解析】解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，

于是直线AB的斜率k＝＝＝1.

(2)由y＝，得y′＝.

设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1).

设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.

将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.

当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1,2＝2±2.

从而|AB|＝|x1－x2|＝4.

由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7.

所以直线AB的方程为y＝x＋7.

14.已知抛物线C1：x2=2py(p＞0)与圆C2：x2＋y2=5的两个交点之间的距离为4.

(1)求p的值；

(2)设过抛物线C1的焦点F且斜率为k的直线与抛物线交于A，B两点，与圆C2交于C，D两点，当k∈[0,1]时，求|AB|·|CD|的取值范围.

【答案解析】解：(1)由题意知，交点坐标为(－2,1)，(2,1)，

代入抛物线C1：x2=2py，解得p=2.

(2)由(1)知，抛物线C1方程为x2=4y，故抛物线C1的焦点F(0,1).

设直线方程为y=kx＋1，与抛物线C1：x2=4y联立化简得x2－4kx－4=0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=4k，x1x2=－4，

∴|AB|=·=·=4(1＋k2).

∵圆心C2到直线y=kx＋1的距离为d=，

∴|CD|=2=2=2.

∴|AB|·|CD|=4(1＋k2)×2=8=8.

又k∈[0,1]，

∴|AB|·|CD|的取值范围为[16,24].

15.已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：

(1)y1y2=－p2，x1x2=；

(2)＋为定值；

(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

【答案解析】证明：(1)由已知得抛物线焦点坐标为.

由题意可设直线方程为x=my＋，代入y2=2px，

得y2=2p，即y2－2pmy－p2=0.(*)

因为在抛物线内部，所以直线与抛物线必有两交点.

则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2=－p2.

因为y=2px1，y=2px2，所以yy=4p2x1x2，

所以x1x2===.

(2)＋=＋=.

因为x1x2=，x1＋x2=|AB|－p，代入上式，

得＋==(定值).

(3)设AB的中点为M(x0，y0)，如图所示，

分别过A，B作准线l的垂线，垂足为C，D，过M作准线l的垂线，垂足为N，

则|MN|=(|AC|＋|BD|)=(|AF|＋|BF|)=|AB|.

所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

16.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点.

(1)若=2，求直线AB的斜率；

(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值.

【答案解析】解：(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x=my＋1.

将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2－4my－4=0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

所以y1＋y2=4m，y1y2=－4.①

因为=2，所以y1=－2y2.②

联立①和②，消去y1，y2，得m=±.

所以直线AB的斜率是±2.

(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.

因为2S△AOB=2··|OF|·|y1－y2|==4，

所以当m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.