初中数学冀教版九年级上册第28章 圆综合与测试教学设计及反思

圆心角，弦的关系

教学目标：

1．让学生在实际操作中发现圆的旋转不变性。

2．结合图形让学生了解圆心角的概念，学会辨别圆心角。

3.引导学生发现圆心角、弦、弧之间的相等关系，并初步学会运用这些关系解决有关问题。

4.培养学生观察、分析、归纳的能力，渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律。

教学重点：圆心角、弦、弧、弦心距之间的相等关系。

教学难点：从圆的旋转不变性出发，得到圆心角、弦、弧、弦心距之间的相等关系。

教学程序：

一、创设情境

动手操作

（1）平行四边形绕对角线交点O旋转180°后，你发现了什么？

（2）⊙O绕圆心O旋转180°后，你发现了什么？

（3）思考：平行四边形绕对角线交点O任意旋转任意一个角度后，你发现了什么？把⊙O绕圆心O旋转任意一个角度后，你发现了什么？

设计意图：学生在操作中发现平行四边形和圆旋转180°后都能与自身重合，所以是中心对称图形。但是平行四边形旋转任意角度后并不总能与自身重合，而圆旋转任意角度后总能与自身重合，从中引导学生发现圆的旋转不变性

二、探究新知

（1）探究：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A‘OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？

得出：当∠AOB =∠A’OB’时，有：弦AB=弦A’B’，弧AB=弧A’B’。

（2）在等圆中，是否也能得出类似的结论呢？

做一做：在纸上画两个等圆，画∠A’OB=∠AOB，连结AB和A’B’，则弦AB与弦A’B’，弧AB与弧A’B’还相等吗？为什么？

请学生动手操作，在实践中发现结论依旧成立。

设计意图：学生在操作中，由圆的旋转不变性可得到圆心角，弧，弦弦心距之间的关系定理。

（3）说一说

尝试将上述结论用数学语言表达出来。在学生回答的基础上，师生共同得出：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦，所对的弦心距也相等。

（4）思考：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得到什么结论？在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？在同圆或等圆中，如果两条弦心距相等呢？

学生小组讨论，归纳得出：

在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。

（5）想一想：假设把刚才两者之间的关系的前提“在同圆或等圆中”条件去掉，他们之间的关系还成立吗？举出反例。

设计意图：通过学生思考，归纳进一步理解圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。体会到定理的严密性。

三、例题教学：

例1．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．

    （1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？

（2）如果OE=OF，那么弧AB与弧CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？

    分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可．

（2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中，

又有AO=CO是半径，∴Rt△AOE≌Rt△COF，

∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到弧AB=弧CD

设计意图：本活动的设计是今天所学的定理的应用。通过引导学生对定理的理解和应用，进一步归纳出相等的量中还包括弦心距这一组量。

四、练习

1．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．

2．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________

3．如图，以 ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若∠D=50°，求BE的度数和BF的度数．

五、小结

在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间存在什么关系？

六、作业