2021-2022学年浙江省宁波市九校高二（下）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年浙江省宁波市九校高二（下）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年浙江省宁波市九校高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，3}，B＝{1，2}，则（∁UA）∪B＝（　　）
A．{2，4} B．{1，2，4} C．{1，2，3} D．{1，3，4}
2．（5分）若（a+bi）•i＝1+i（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b＝（　　）
A．2 B．0 C．﹣2 D．1
3．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列选项中正确的是（　　）
A．若m⊥n，m∥α，n⊥β，则α⊥β
B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
C．若m∥n，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则α∥β
D．若α∥β，β∥γ，m⊂α，n⊂γ，则m∥n
4．（5分）若2a+1＝3b+2＝5c+3，a，b，c∈R，则（　　）
A．cln5＞aln2＞bln3 B．aln2＞cln5＞bln3
C．bln3＞cln5＞aln2 D．aln2＞bln3＞cln5
5．（5分）已知函数若函数g（x）＝f（x）﹣k有2个零点，则实数k的取值范围是（　　）
A．（0，+∞） B．（0，+∞）∪{﹣1} C．[0，+∞） D．（﹣1，+∞）
6．（5分）已知函数f（x）＝e|x﹣2|，使不等式f（2t+1）＞f（t+2）成立的一个必要不充分条件是（　　）
A．t＞﹣1 B．t＞1或t＜0 C．t＞1或t＜ D．t＜或t＞
7．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为4，侧棱长为，其内切球O与两侧面SAB，SAD分别切于点P，Q，则PQ的长度为（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）已知正实数a、b和实数t满足4a2+2tab+b2＝4，若2a+b存在最大值，则t的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，2] B．（﹣2，+∞） C．（﹣2，2] D．[2，+∞）
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
（多选）9．（5分）已知函数f（x）＝ex+x﹣2，若存在实数a，b（a＜b），有f（a）f（b）＜0，则下列选项一定正确的是（　　）
A．a＜0
B．b＞0
C．f（x）在（a，b）内有两个零点
D．若，则f（x）在区间内有零点
（多选）10．（5分）若a（x+1）6﹣（x﹣1）5＝x6+a1x5+a2x4+a3x3+a4x2+a5x+a6，则下列选项正确的是（　　）
A．a＝1 B．a5＝6
C．a1+a2+a3+a4+a5＝62 D．a1﹣a2+a3﹣a4+a5＝﹣29
（多选）11．（5分）下列说法正确的是（　　）
A．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性方程z＝0.5x+1，则c，k的值分别是e，0.5
B．从10名男生，5名女生中随机选取4人，则其中至少有一名女生的概率为
C．若随机变量，则D（2X+1）＝8
D．在回归分析中，对一组给定的样本数据（x1，y1），（x2，y2），⋯，（xn，yn）而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越好
（多选）12．（5分）甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球．以A1，A2分别表示从甲箱中取出的是白球和黑球的事件，以B1，B2分别表示从乙箱中取出的球是白球和黑球的事件，则下列结论正确的是（　　）
A．事件A1与事件A2互斥
B．事件B1与事件A2相互独立
C．
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）设随机变量X～N（0，1），若P（X≤x0）＝0.7，则P（|X|≤x0）＝　 　．
14．（5分）已知平面向量满足，则的最小值为 　 　．
15．（5分）编号为1，2，3，4，5的5个小球，放入编号为1，2，3的3个盒子，每个盒子至少一个球，编号为1的小球必须放入1号盒子，那么不同的放法有 　 　种．（填写数字）
16．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的棱长均为1，BC⊂平面α，E为PB中点，l⊥α．记l和直线AE所成角为θ，则该三棱锥绕BC旋转的过程中，sinθ的最小值是 　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知函数是该函数图象的对称中心．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，c＝1，求a+2b的取值范围．
18．（12分）已知函数．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x方程f（x）＝ln[（2﹣a）x+3a﹣3]有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
19．（12分）为了检测新冠疫苗的效果，需要进行动物试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]分组，每组分别有10只，20只，40只，100只，30只．试验发现小白鼠体内没有产生抗体的共有40只，其中该项指标值小于60的有20只．假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．
（1）完成如下所示列联表，并根据列联表及α＝0.05的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体



没有抗体



合计



（2）用频率估计概率，以动物试验中小白鼠注射疫苗后产生抗体的频率p作为注射疫苗后产生抗体的概率．记n只小白鼠注射疫苗后产生抗体的数量为随机变量X．试验后统计数据显示，当且仅当X＝80时，P（X）取最大值，求参加接种试验的小白鼠数量n．
参考公式：（其中n＝a+b+c+d为样本容量）参考数据：
P（χ2≥k0）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
20．（12分）某数学教师任教A，B两个班级，在一次数学测试中，经统计：A班学生人数50，平均成绩是81，方差为5；B班学生人数40，平均成绩90，方差为5．在任教班级中按照分层随机抽样抽取9人，再从中随机抽取6人．
（1）若随机抽取的6人成绩分别为88，87，86，85，84，83，求这6人成绩的第50百分位数；
（2）随机抽取的6人中，记来自A班的学生数为X，请写出X的分布列，求数学期望E（X）；
（3）求该教师所任教的所有学生在这次考试中数学成绩的均值与方差．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，其中AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，CD＝，点M在棱PD上，点N为BC中点．
（1）记平面PBC∩平面PAD＝l，判断直线l和直线BC的位置关系，并证明；
（2）若二面角P﹣DC﹣A的大小为45°，M是靠近P的三等分点，求NM与平面PCD所成角的正弦值．

22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣a．
（1）若a＝4，记函数．当x＞0时，写出h（x）的增区间．（不需要证明）；
（2）记函数m（x）＝|x4+|f（x）|﹣3|．若m（x）在区间[﹣1，1]上最大值是2，求a的值；
（3）记函数，对∀x∈（0，1），有g（x）g（1﹣x）≥1成立，求实数a取值范围．

2021-2022学年浙江省宁波市九校高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，3}，B＝{1，2}，则（∁UA）∪B＝（　　）
A．{2，4} B．{1，2，4} C．{1，2，3} D．{1，3，4}
【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4}，A＝{1，3}，
∴∁UA＝{2，4}，
∴（∁UA）∪B＝{1，2，4}，
故选：B．
2．（5分）若（a+bi）•i＝1+i（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b＝（　　）
A．2 B．0 C．﹣2 D．1
【解答】解：（a+bi）•i＝﹣b+ai＝1+i，
则，解得a＝1，b＝﹣1，
故a+b＝1﹣1＝0．
故选：B．
3．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列选项中正确的是（　　）
A．若m⊥n，m∥α，n⊥β，则α⊥β
B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
C．若m∥n，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则α∥β
D．若α∥β，β∥γ，m⊂α，n⊂γ，则m∥n
【解答】解：由m⊥n，n⊥β，得m⊂β或m∥β，又m∥α，则α∥β或α与β相交，相交也不一定垂直，故A错误；
若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n，故B正确；
若m∥n，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则α∥β或α与β相交，故C错误；
若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m⊂α，n⊂γ，则m∥n或m与n异面，故D错误．
故选：B．
4．（5分）若2a+1＝3b+2＝5c+3，a，b，c∈R，则（　　）
A．cln5＞aln2＞bln3 B．aln2＞cln5＞bln3
C．bln3＞cln5＞aln2 D．aln2＞bln3＞cln5
【解答】解：令t＝2a+1＝3b+2＝5c+3＞3，
所以aln2＝ln（t﹣1），bln3＝ln（t﹣2），cln5＝ln（t﹣3），而t﹣1＞t﹣2＞t﹣3，
故aln2＞bln3＞cln5．
故选：D．
5．（5分）已知函数若函数g（x）＝f（x）﹣k有2个零点，则实数k的取值范围是（　　）
A．（0，+∞） B．（0，+∞）∪{﹣1} C．[0，+∞） D．（﹣1，+∞）
【解答】解：易知，当x＞0时，只需将y＝的图象沿y轴向下平移一个单位，即可得到y＝的图象，
再利用二次函数的性质，作出y＝＝﹣1（x≤0）的图象如右：
又g（x）＝f（x）﹣k有2个零点，即y＝k的图象与y＝f（x）的图象有两个不同交点，
作出图象如右图，易知，当k＞0时符合题意．
故选：A．

6．（5分）已知函数f（x）＝e|x﹣2|，使不等式f（2t+1）＞f（t+2）成立的一个必要不充分条件是（　　）
A．t＞﹣1 B．t＞1或t＜0 C．t＞1或t＜ D．t＜或t＞
【解答】解：∵函数f（x）＝e|x﹣2|，不等式f（2t+1）＞f（t+2），
∴e|2t﹣1|＞e|t|，∴|2t﹣1|＞|t|，
∴4t2﹣4t+1＞t2，整理得3t2﹣4t+1＞0，
解得t＜或t＞1．
∴函数f（x）＝e|x﹣2|，使不等式f（2t+1）＞f（t+2）成立的一个必要不充分条件为：t＞1或t＜0．
故选：B．
7．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为4，侧棱长为，其内切球O与两侧面SAB，SAD分别切于点P，Q，则PQ的长度为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，设正四棱锥S﹣ABCD的内切球的球心为O，底面中心为G，
连接SG，则SG⊥底面ABCD，且O∈SG，再设内切球的半径为R，

∵正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为4，侧棱长为，
∴可求得SE＝＝3，由球切线的性质可得EQ＝EG＝2，
由已知求得EF＝2，
∵PQ∥EF，则＝＝，得PQ＝EF＝．
故选：A．
8．（5分）已知正实数a、b和实数t满足4a2+2tab+b2＝4，若2a+b存在最大值，则t的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，2] B．（﹣2，+∞） C．（﹣2，2] D．[2，+∞）
【解答】解：因为正数a，b和实数t满足4a2+2tab+b2＝（2a+b）2+（t﹣2）2ab＝4，
当t＝2时，2a+b＝2，则2a+b的最大值为1；
当t＞2时，4＝（2a+b）2+（t﹣2）2ab≤（2a+b）2+（t﹣2）×（）2，当且仅当a＝b时取等号，
所以（2a+b）2≥4，
解得2a+b≥，当且仅当2a＝b时取等号，此时2a+b没有最大值；
当t＜2时，4＝（2a+b）2+（t﹣2）2ab≥（2a+b）2+（t﹣2）×（）2＝（2a+b）2，当且仅当a＝b时取等号，
若t＝﹣2，则4a2﹣4ab+b2＝（2a﹣b）2＝4，
所以|2a﹣b|＝2，不妨设2a＞b，则2a＝b+4，此时2a+b＝2b+4没有最大值；
当﹣2＜t＜2时，以t+2＞0，以（2a+b）2≤4，
所以0＜2a+b≤，当且仅当2a＝b时取等号，
此时2a+b取得最大值，符合题意；
当t＜﹣2时，（2a+b）2≤4不成立，不符合题意；
综上，﹣2＜t≤2．
故选：C．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
（多选）9．（5分）已知函数f（x）＝ex+x﹣2，若存在实数a，b（a＜b），有f（a）f（b）＜0，则下列选项一定正确的是（　　）
A．a＜0
B．b＞0
C．f（x）在（a，b）内有两个零点
D．若，则f（x）在区间内有零点
【解答】解：易知f（x）＝ex+x+2在R上单调递增，
则由a，b满足a＜b，且f（a）f（b）＜0，得f（a）＜0，f（b）＞0，
又f（0）＝﹣1＜0，故b＞0必成立，a＞0有可能成立，且f（x）在（a，b）上有且只有一个零点，故AC错误，B正确；
对于D，因为，f（b）＞0，故f（x）在区间内有唯一零点，故D正确．
故选：BD．
（多选）10．（5分）若a（x+1）6﹣（x﹣1）5＝x6+a1x5+a2x4+a3x3+a4x2+a5x+a6，则下列选项正确的是（　　）
A．a＝1 B．a5＝6
C．a1+a2+a3+a4+a5＝62 D．a1﹣a2+a3﹣a4+a5＝﹣29
【解答】解：由已知可得展开式中含x6的项为aC＝a＝1，故A正确，
展开式中含x的项为C＝x，所以a5＝1，故B错误，
展开式的常数项为a6＝C＝1+1＝2，
令x＝1，则1+a1+...+a6＝26＝64，所以a1+a2+...+a5＝64﹣1﹣2＝61，故C错误，
令x＝﹣1，则1﹣a1+a2﹣...﹣a5+a6＝﹣（﹣1﹣1）5＝25＝32，
所以a1﹣a2+a3﹣a4+a5＝﹣（32﹣1﹣2）＝﹣29，故D正确，
故选：AD．
（多选）11．（5分）下列说法正确的是（　　）
A．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性方程z＝0.5x+1，则c，k的值分别是e，0.5
B．从10名男生，5名女生中随机选取4人，则其中至少有一名女生的概率为
C．若随机变量，则D（2X+1）＝8
D．在回归分析中，对一组给定的样本数据（x1，y1），（x2，y2），⋯，（xn，yn）而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越好
【解答】解：对于A：因为y＝cekx，所以lny＝ln（cekx）＝kx+lnc，
又因为z＝lny，z＝0.5x+1，
所以k＝0.5，lnc＝1，所以c＝e，故A正确；
对于B：从10名男生，5名女生中随机选取4人，有种，至少有一名女生的选法，有﹣，
所以其中至少有一名女生的概率为．故B错误．
对于C：因为随机变量，所以D（X）＝9××＝2，
所以D（2X+1）＝4D（X）＝4×2＝8．故C正确；
对于D：按照残差的意义，在回归分析中，若残差平方和越小，则模型的拟合效果越好．故D错误．
故选：AC．
（多选）12．（5分）甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球．以A1，A2分别表示从甲箱中取出的是白球和黑球的事件，以B1，B2分别表示从乙箱中取出的球是白球和黑球的事件，则下列结论正确的是（　　）
A．事件A1与事件A2互斥
B．事件B1与事件A2相互独立
C．
D．
【解答】解：对于A，∵每次取出1球，∴事件A1与事件A2是互斥事件且是对立事件，故A正确；
对于B，从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱黑球变为1个，
则取出白球概率发生变化，∴事件B1与事件A2不相互独立，故B错误；
对于C，若从甲箱取出1个黑球放入乙箱，这时乙箱黑球变为5个，白球还是2个，
则P（B1|A2），故C错误；
对于D：因为P（A1）＝P（A2）＝，P（B2|A1）＝，P（B2|A2）＝，
所以P（B2）＝P（B2A1）+P（B2A2）＝P（B2|A1）•P（A1）+P（B2|A2）•P（A2）＝＝，故D正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）设随机变量X～N（0，1），若P（X≤x0）＝0.7，则P（|X|≤x0）＝　0.4　．
【解答】解：∵随机变量X～N（0，1），∴正态分布曲线关于x＝0对称，
∵P（X≤x0）＝0.7，∴P（0＜X＜x0）＝0.7﹣0.5＝0.2，
则P（|X|≤x0）＝P（﹣x0＜X＜x0）＝2×P（0＜X＜x0）＝2×0.2＝0.4．
故答案为：0.4．
14．（5分）已知平面向量满足，则的最小值为 　3　．
【解答】解：不妨设，
则；

所以．
当且仅当y+n＝0时，取到最小值3．
故答案为：3．
15．（5分）编号为1，2，3，4，5的5个小球，放入编号为1，2，3的3个盒子，每个盒子至少一个球，编号为1的小球必须放入1号盒子，那么不同的放法有 　50　种．（填写数字）
【解答】解：若1号盒子只放一个球，则2号盒和3号盒共放4个球，有种；
若1号盒子放两个球，则有种；
若1号盒子放三个球，则有种；
所以共有14+24+12＝50种．
故答案为：50．
16．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的棱长均为1，BC⊂平面α，E为PB中点，l⊥α．记l和直线AE所成角为θ，则该三棱锥绕BC旋转的过程中，sinθ的最小值是 　　．
【解答】解：设AE与平面α所成角为θ1，因为l⊥α，l和直线AE所成角为θ，
所以sinθ＝cosθ1；
取CD的中点F，连接EF，AF，

因为E，F分别为中点，所以EF∥BC，∠AEF或其补角是AE与BC所成角；
在△AEF中，，所以且∠AEF为锐角．
三棱锥绕BC旋转的过程中，由线面角的性质可知，θ1≤∠AEF，
所以，即sinθ的最小值为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知函数是该函数图象的对称中心．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，c＝1，求a+2b的取值范围．
【解答】解：（1）由题知，
因为0＜φ＜π，所以，
所以函数，
即为f（x）＝cos2x．
（2）由题知，即，
因为，所以，所以，
即．
所以由正弦定理得，
所以，

＝
＝
＝
＝
＝
因为，
所以，
所以，所以，
所以a+2b取值范围为（1，2）．
18．（12分）已知函数．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x方程f（x）＝ln[（2﹣a）x+3a﹣3]有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＞0时，令，解得或x＞0；
当a＝0时，令，解得x＞0；
当a＜0时，令，解得；
综上，当a＞0时，函数f（x）的定义域为；当a＝0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞）；当a＜0时，函数f（x）的定义域为；
（2）由题意可知，，化简可得[（2﹣a）x+1]（x﹣2）＝0，解得x＝2或，
因为方程有两个不相等的实数根，则，解得且，且a≠2，
∴实数a的取值范围为．
19．（12分）为了检测新冠疫苗的效果，需要进行动物试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]分组，每组分别有10只，20只，40只，100只，30只．试验发现小白鼠体内没有产生抗体的共有40只，其中该项指标值小于60的有20只．假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．
（1）完成如下所示列联表，并根据列联表及α＝0.05的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体



没有抗体



合计



（2）用频率估计概率，以动物试验中小白鼠注射疫苗后产生抗体的频率p作为注射疫苗后产生抗体的概率．记n只小白鼠注射疫苗后产生抗体的数量为随机变量X．试验后统计数据显示，当且仅当X＝80时，P（X）取最大值，求参加接种试验的小白鼠数量n．
参考公式：（其中n＝a+b+c+d为样本容量）参考数据：
P（χ2≥k0）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
【解答】解：（1）零假设为H0：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联．
列联表如下：（单位：只）
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
50
110
160
没有抗体
20
20
40
合计
70
130
200
根据列联表中数据，得，
根据α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．
（2）记产生抗体的概率为p，则，
不同小老鼠之间的实验显然无关，于是可近似看成二项分布，故X～B（n，0.8），
由题知：，即，
所以，
∴，
所以n＝100．
20．（12分）某数学教师任教A，B两个班级，在一次数学测试中，经统计：A班学生人数50，平均成绩是81，方差为5；B班学生人数40，平均成绩90，方差为5．在任教班级中按照分层随机抽样抽取9人，再从中随机抽取6人．
（1）若随机抽取的6人成绩分别为88，87，86，85，84，83，求这6人成绩的第50百分位数；
（2）随机抽取的6人中，记来自A班的学生数为X，请写出X的分布列，求数学期望E（X）；
（3）求该教师所任教的所有学生在这次考试中数学成绩的均值与方差．
【解答】解：（1）由6人成绩从大到小为88，87，86，85，84，83，
这6人成绩的第50百分位数是．
（2）按分层抽样，9人中有5人来自A班，4人来自B班．
随机变量X的取值为2，3，4，5．
，
分布列如下：
X
2
3
4
5
P




．
（3）平均分：．
又，即，
方差：
＝
＝
＝．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，其中AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，CD＝，点M在棱PD上，点N为BC中点．
（1）记平面PBC∩平面PAD＝l，判断直线l和直线BC的位置关系，并证明；
（2）若二面角P﹣DC﹣A的大小为45°，M是靠近P的三等分点，求NM与平面PCD所成角的正弦值．

【解答】解：（1）BC∥l，证明如下：
∵AD∥BC，AD⊂平面APD，BC⊄平面PAD，
∴BC∥平面PAD，
又BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，
∴BC∥l；
（2）在梯形ABCD中，过点C作CE∥AB交AD于点E，

由已知可得DE2+CD2＝CE2，即CD⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD，
又PA∩AD＝A，且PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，
又PD⊂平面PAD，
∴CD⊥PD，则二面角P﹣DC﹣A的平面角为∠PDA＝45°，
∴PA＝AD＝3，
又VN﹣PCD＝VP﹣NCD，则，即，解得，即点N到平面PDC的距离为，
如图，过点M作MH⊥AD于点H，

则MH∥PA，则，
∴AH∥BN且AH＝BN，则四边形ABNH为平行四边形，
∴NH＝AB＝2，
又，则，
∴NM与平面PCD所成角的正弦值为．
22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣a．
（1）若a＝4，记函数．当x＞0时，写出h（x）的增区间．（不需要证明）；
（2）记函数m（x）＝|x4+|f（x）|﹣3|．若m（x）在区间[﹣1，1]上最大值是2，求a的值；
（3）记函数，对∀x∈（0，1），有g（x）g（1﹣x）≥1成立，求实数a取值范围．
【解答】（1）解：，
h（x）的单调递增区间是（2，+∞）；
（2）解：|x4+|x2﹣a|﹣3|≤2⇒1﹣x4≤|x2﹣a|≤5﹣x4，令x2＝t∈[0，1]，1﹣t2≤|t﹣a|≤5﹣t2
故问题转化为：当t∈[0，1]时，函数y＝|t﹣a|在函数y＝1﹣t2，y＝5﹣t2图像之间，
①那么当a＜0时，函数y＝|t﹣a|顶点坐标（a，0）在x轴的负半轴上，
当y＝|t﹣a|＝t﹣a过点（0，1）或（1，4）时，满足题意，故a＝﹣1，a＝﹣3，
②那么当a＞0时，函数y＝|t﹣a|顶点坐标（a，0）在x轴的正半轴上，
当v＝|t﹣a|＝a﹣t过点（0，5）或（1，4），或者与y＝1﹣t相切时，满足题意，
故，
综上所述：a的值为﹣3或﹣1或或5；
（3）解：，
不妨令或，
，
（x2﹣a）[（1﹣x）2﹣a]≥x（1﹣x）⇒x2（1﹣x）2﹣a[x2+（1﹣x）2]+a2≥x（1﹣x），
换元可得：n2+（2a﹣1）n+n2﹣n≥0，
令h（n）＝n2+（2a﹣1）n+a2﹣a，
对称轴，
（1）当，对称轴为负数，只需满足h（0）≥0⇒a≥1，
（2）当，只需满足即可，
恒成立，故成立，
综上所述：实数a取值范围为．
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