浙江省绍兴市2021-2022学年高一下学期期末数学试题

2021学年第二学期高中期末调测

高一数学

注意事项：

1.请将学校、班级，姓名分别填写在答卷纸相应位置上．本卷答案必须做在答卷相应位置上．

2. 全卷满分100分，考试时间120分钟．

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知i是虚数单位，设复数z满足，则z的虚部为（    ）

A. － B. C. －  D．

2. 已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量＝（    ）

A. （－7，－4）   B. （7，4）   C. （－1，4）   D. （1，4）

3. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（    ）

A. 至少有一个黑球与都是黑球     B. 至少有一个黑球与至少有一个红球

C. 恰有一个黑球与恰有两个黑球    D. 至少有一个黑球与都是红球

4. 3名男生和2名女生中任选2人参加学校活动，则选中的2人都是男生的概率为（    ）

A. 0.6   B. 0.5   C． 0.4   D． 0.3

5. 已知平面，，直线，直线m不在平面上，下列说法正确的是（    ）

A. 若，则   B. 若，则

C. 若，则   D. 若，则

6. 为了选拔数学尖子生，某校数学组在高一年级中挑选出10位学生进行解题能力测试，这10位学生在一小时内正确解出的题的个数分别是14，17，14，10，16，17，17，16，14，12，设该数据的平均数为a，第50百分位数为b，则有（    ）

A.   B.

C.   D.

7. 已知，，函数，当时，f（x）有最小值，则m在n上的投影向量为（    ）

A.  B.   C． －   D．－

8. 在三角形ABC中，已知，，D是BC的中点，三角形ABC的面积为6，则AD的长为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）

9. 已知i是虚数单位，，复数，共轭，则以下正确的是（    ）

A.    B.

C.    D.

10. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔，该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图．则以下说法正确的是（    ）

A. 54周岁以上的参保人数最少

B.周岁人群参保的总费用最少

C. 丁险种更受参保人青睐

D. 30周岁及以上的参保人数占总参保人数的20%

11. 如图，在四棱锥P－ABCD中，侧而ABCD是等腰梯形，若，E，F，G分别是AB，CD，AP的中点，，则下列结论成立的是（    ）

A.

B.

C. ∠FEG即二面角的平面角

D. 异面直线DA与BP所成角是∠GEC

12. 已知△ABC为锐角三角形，P为此三角形的外心，，，，面积分别为，x，y，则以下结论正确的是（    ）

A.      B.

C. △ABC的外接圆半径为  D.的最大值为

三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

13. 在一次数学考试中，班级前四名的成绩是99，98，96，95，已知班级前五名学生的平均成绩是96，则这五名学生数学成绩的方差为        ．

14. 已知向量，，，若，则＝        ．

15.《九章算术》中有记载，“刍甍者下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形

ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，腰长为3，，，则这个刍甍的体积为        ．

16. 已知三棱锥，点P，A，B，C都在半径为的球面上，底面△ABC为正三角形，若PA⊥平面ABC，，则球心到截面ABC的距离为        ．

四、解答题（本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本题满分8分）已知向量a，b满足．

（1）若，求|b|的值；

（2）若，求的值．

18.（本题满分8分）如图，已知在正三棱柱中，D为棱AC的中点，．

（1）求正三棱柱的表面积；

（2）求证：直线//平面．

19.（本题满分8分）某市疫情防控常态化，在进行核酸检测时需要一定量的志愿者．现有甲、乙、丙3名志愿者被随机地分到A，B两个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．

（1）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；

（2）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．

20.（本题满分8分）某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．

（1）估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的众数，中位数，平均数；

（2）估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的上四分位数（结果保留两位小数）．

21.（本题满分10分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c（是常数），D是AB的中点．

（1）若求的值；

（2）若且，求cosA的值；

（3）若时，求△BCD面积的最大值．

22.（本题满分10分）已知四棱锥P－ABCD中，△PBC为正三角形，底面ABCD为直角梯形，，，，．

（1）设F为BC中点，间：在线段AD上是否存在这样的点E，使得平面PAD⊥平面PEF成立．若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由；

（2）已知

①求二面角的平面角的余弦值；

②求直线AC和平面PAD所成角的正弦值．

2021学年第二学期高中期末调测

高一数学参考答案

一、单项选择题（每小题3分，共24分）

二、多项选择题（每小题全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错或不选的得0分，共12分）

三、填空题（每小题3分，共12分）

13. 6   14.  15.  16.

四、解答题（本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本题满分8分）

解：（I）∵  ∴，∴．．．．．．3分

（II），∴……6分

．……8分

18.（本题满分8分）

解：（1）．．．．．．．3分

（2）取和交点M，连DM，

∵D，M分别为AC，中点，故．．．．．．．5分

平面，DM平面． ．．．．7分

∴//平面．．．．．．．8分

19.（本题满分8分）

解：（1）可画出树状图，基本事件（甲乙，丙），（甲丙，乙），（丙乙，甲），（丙，甲乙），（乙，甲丙），（甲，丙乙）共有6个，．．．．．．．2分

其中甲乙两人同时参加A岗位服务的是（甲乙，丙）只有1个，故概率为； ．．．．．．4分

（2） 甲乙两人不在同一岗位有：（甲丙，乙），（丙乙，甲），（乙，甲丙），（甲，丙乙）共4个， ……6分

故概率为．……8分

20.（本题满分8分）

解：（1）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20，………1分

由得，

∵且，

∴中位数位于18~22之间，设中位数为x，

得……………3分

平均数为………5分

（2）上四分位数即为75百分位数，又∵，

，∴上四分位数位于22~26之间，设上四分位数为y，则

得．……………8分

21.（本题满分10分）

解：（1）法1：当时，，则由正弦定理可知，即，．……………………1分

故，；………………2分

法2：当时，，由射影定理知，……………1分

故．……………2分

（2）法1：由（1）知时，，又已知，且

设，在△ABC中，………3分

在△BCD中，，则有，

解得………………4分

故…………………5分

法2：由（1）知时，，又已知，且，不妨设，根据平行四边形四条边的平方和等于对角线的平方和，

可得，

即，解得，故…………4分

故…………5分

（3），因为，故

…………7分

．．．．．．8分

当时，……………10分

22.（本题满分10分）

解：（1）存在这样的E点；且当时………………1分

过点F作交AD于点E，∵△PBC为正三角形，

∴，∵，∴，

又∵，∴，……………2分

∴AD⊥而PEF，∵AD平面PAD，故平面PAD⊥平面PEF……………3分

（2）①解：由（1）知，，，

∴∠PFE即为所求二面角P－BC－A的平面角．……………4分

∵，，∴，又∵，，

∴在△PEF中，……………6分

②法1：设AC与平面PAD所成角为，设d为点C到平面PAD的距离，

则……………7分

∵，，∴，∵，

∴BD//面PAD，C到平面PAD的距离等于F点到平面PAD的距离．

由（1）知，F到平面PAD的距离等于F到PE的距离，

在△PEF中，，，，∴，

则，又，

∴，∴．．．．．．9分

∴，即直线AC与平面PAD所成角的正弦值为．．．．10分

法2（等体积法）：设AC与平面PAD所成角为，设d为点C到平面PAD的距离，则，其中．．．．．．．7分

∵，即

其中，又，，，∴，故，

∴

过P作交EF于点H，由（1）中知AD⊥面PEF，

∵AD平面ABCD，故平面ABCD⊥平面PEF，

又平面ABCD平面，，PH平面PEF，故PH⊥平面ABCD，

∴，由（2）题①知，，故可求各，

故．．．．．．9分

∴．．．．．．10分