福建省宁德市2021-2022学年高一第二学期期末质量检测数学试题（含答案）

宁德市2021-2022学年度第二学期期末高一质量检测

数学试题

本试卷有第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟 ，满分150分.

注意事项：

1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第II卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.

第I卷（选择题 共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(　　).

A．第一象限         B．第二象限        C．第三象限         D．第四象限

2．已知四棱锥的所有棱长均相等，点分别为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为(　　).

A．30°    B．45°    C．60°        D．90°

3．在中，为线段上一点，且，则(　　).

A．      B．      C．     D．

4．若的平均数为2，方差为1，且 则
的平均数和方差分别为(　　).

A．3，2         B．3， 3             C．3，4            D．4，4

5．在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：

192  907  966  925  271  932  812  458  569  683 

257  393  127  556  488  730  113  537  989  431

据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为(　　).

A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75

6．某校研究性学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底在

同一个水平面内的两个测量基点与，现测得，

，米，在点处测得塔顶的仰角为，

则塔高为(　　)米.

A． B．

C． D．

7．已知直线m、n和平面，下列命题正确的是(　　).

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则或

8．北京在2022年成功召开了冬奥会，这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事，是世界唯一的“双奥之城”．我校组织奥运知识竞赛，甲、乙两名同学各自从 “冰壶”，“冰球”，“滑冰”，“滑雪”四类冰雪运动知识试题中任意挑选两类试题作答，设事件M=“甲乙两人所选试题恰有一类相同”，事件N=“甲乙两人所选试题类型完全不同”，事件P=“甲乙两人均未选择冰壶类试题”，则下列结论正确的是(　　).

A．M与N为对立事件                   B．M与P互斥 

C．N与P相互独立                      D．M与P相互独立

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分， 共20分. 在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9．对于复数 (∈R)，下列说法正确的是（       ）

A．若,则为实数        

B．若,则为纯虚数

C．若,则或    

D．若,则点Z的集合所构成的图形的面积为

10．若，是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（    ）

A．若，则         

B．若，则

C．若，则

D．若，则存在实数，使得

11．甲、乙两人在相同的条件下投篮5轮，每轮甲、乙各投篮10次，投篮命中次数的情况如图所示(实线为甲的折线图，虚线为乙的折线图)，则以下说法正确的是(　　).

A．甲投篮命中次数的众数比乙的大

B．甲投篮命中的成绩比乙的稳定

C．甲投篮命中次数的平均数为7

D．甲投篮命中次数的第40百分位数是6

12．棱长为2的正四面体中，分别是的中点，点是棱上的动点，则下列选项正确的有(　　).

A．存在点，使得

B．存在点，使得

C．的最小值为

D．当时，三棱锥的外接球表面积为

第II卷（非选择题共90分）

三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡的相应位置）

13．设复数满足，则=________.

14．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则西乡抽________人.

15．如图，“甜筒”状旋转几何体，由一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个组合体的表面积为________.

16．的外接圆半径为1，角的对边分别为若，且，则________；的最大值为_________.（第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.              

17．（本小题满分10分）

已知

（1）若三点共线，求；

（2）若，求.

18．（本小题满分12分）

如图，长方体中，，是的中点．

（1）求证：；

（2）求证：平面 .

19．（本小题满分12分）

江滨县因疫情防控需要，于2022年4月8日进行全员核酸检测，江滨县海鹰社区对当天被采样的2000人进行年龄方面的统计，得到如下的频率分布直方图：

求（1）a的值；

（2）该社区参加核酸检测人员的平均年龄（同一组数据用该组区间中点作代表）；

（3）该社区某居民楼内，年龄在内有4人为 ,年龄在内有2人为,现从中随机抽取两人参与核酸检测问卷，求这两人中恰有1人的年龄在内的概率.

20．（本小题满分12分）

在中，角所对的边分别为，.

（1）判断的形状，并加以证明；

（2）如图, 外存在一点D，使得且，求.

21．(本小题满分12分) 

羽毛球比赛规则：

①.21分制，每球取胜加1分，由胜球方发球；

②.当双方比分为之后，领先对方2分的一方赢得该局比赛；

当双方比分为时，先取得30分的一方赢得该局比赛.

经过鏖战，甲乙比分为 ，甲在关键时刻赢了一球，比分变为。在最后关头，按以往战绩统计，甲发球时，甲赢球的概率为0.4，乙发球时，甲赢球的概率为0.5，每球胜负相互独立.

（1）甲乙双方比分为之后，求再打完两球该局比赛结束的概率；

（2）甲乙双方比分为之后，求甲赢得该局比赛的概率.

22．（本小题满分12分）

如图，已知等腰梯形的外接圆半径为2，，点是上半圆上的动点（不包含两点），点是线段上的动点，将半圆所在的平面沿直径折起使得平面平面.

（1）求三棱锥体积的最大值；

（2）当平面时,求的值；

（3）设与平面所成的角为，二面角的平面角为.

求证：.

 宁德市2021-2022学年度第二学期期末高一质量检测

数学试题评分标准

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分， 共20分. 在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

第II卷（非选择题共90分）

三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡的相应位置）

四、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.              

17．（本小题满分10分）

【评分参考】

 ，………………………………….2分

（1）由三点共线，得

所以，，解得：， …….4分

所以，………………………………….5分

（2）方法一：

………………………………….6分

由得

即：

所以，，………………………………….7分

所以，，………………………………….8分

=………………………………….10分

方法二：

，由得………………………………….6分

解得………………………………….7分

所以，，

………………………………….8分

=………………………………….10分

18．（本小题满分12分）

【评分参考】

(1)证明:

连结,，则………………………………….1分

长方体中，

所以，，……………………….3分

所以，……………………….5分

所以，.………………………………….6分

(2) 方法一：连结交于点， 则为的中点, ………………………………….7分

连结 ，则为的中位线，故………………………………….9分

平面，平面………………………………….11分

所以，平面………………………………….12分

方法二：取中点，连结，

则 ，四边形为平行四边形，

所以，，

所以，…………………………………8分

连结，

则 ，四边形为平行四边形，

所以，，

所以，………………………………….10分

,所以，平面

平面

所以， ………………………………….12分

19．（本小题满分12分）

【评分参考】

（1）(0.01+0.015+0.0175+a+0.0025)×20=1

∴a=0.005………………………………….2分（直接给结果得1分）

(2)0.0120×10+0.015×20×30+0.0175×20×50+0.005×20×70+0.0025×20×90=40(岁) ……….6分

(3)设事件M=“ 随机抽取两人恰有1人的年龄在”

设=“6人中随机抽取2人”所含的样本点有：

共15个，

这“两人中恰有1人的年龄在”的样本点有：……….9分

共8种，=8 ……….11分

……………………….12分

20．（本小题满分12分）

【评分参考】

方法一：

在中，由正弦定理得

又，所以………………2分

化简得：，,…………………………………3分

所以，，

所以，是直角三角形…………………………………4分

方法二：

在中，由余弦定理得…………………………………2分

整理得，…………………………………3分

所以， 是直角三角形……………………………………………4分

（2）方法一：

在中，由正弦定理得.……………………………5分

由题设知，，所以.……………………………7分

由题（1）知，.…………………………9分

在中，由余弦定理得

.…11分

所以.………………………………………………………12分

方法二：

作 ,垂足为 ， ,垂足为

则，………………6分

在中

所以，为的中垂线………………10分

所以 ………………12分

方法多样，其它方法酌情给分

21．(本小题满分12分) 

【评分参考】

(1)    设事件A= “甲乙双方比分为28：28之后，两人又打了两个球该局比赛结束”

则这两个球均由甲得分的概率为：；…………………………………2分

或者这两个球均由乙得分的概率为：；…………………….4分

因此，…………………………………5分

(2)    设事件B=“甲乙双方比分为28：28之后，甲赢得该局比赛”，

则分三种情况：

甲连得2分的概率为：=0.4×0.4=0.16；………….6分

甲先得1分，乙得1分，甲再得1分的概率为：=0.4×(1-0.4)×0.5=0.12；………….8分

乙先得1分，甲得1分，甲再得1分的概率为：=(1-0.4)×0.5×0.4=0.12………….10分

因此P(B)=++=0.4……………………….12分

22．（本小题满分12分）  

【评分参考】

(1)    当时，

平面，由平面平面，平面平面

知，平面，此时，到平面的距离最大，为……….1分

所以，的最大值为，……….3分

(2)连结AC交BD于点M,连结QM

则

依题意，平面，

所以，

所以，……….5分

等腰梯形中， , ……….6分

所以……….7分

(3)作垂足为，连结，

平面平面，平面平面

此时，,是在平面的射影，所以即为与平面所成的角；

……….9分

过作垂足为，连结，

又，

所以，,

所以即为二面角的平面角

……….11分

所以，=2，

即……….12分