江苏省南京市六校联合体2021-2022学年高一第二学期期末考试数学试题（含答案）

江苏省南京市六校联合体2021-2022学年高一下学期期末考试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若复数满足，则的虚部为（  ）

A．          B．             C．              D．

2. 总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（  ）

7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198

3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181

A．02              B．15             C．16              D．19

3. 下列说法中正确的是（  ）

A．以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体叫圆台

B．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱

C．若一个平面内有无数个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

D．过直线外一点有无数条直线与该直线垂直

4. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形， 已知，，则四边形的周长为（  ）

A．8                       B．10 

C．12                       D．

5. 下列等式不正确的是（  ）

A．                             B．

C.          D．

6. 已知，是平面内互相垂直的单位向量，且，则夹角余弦值为（  ）

A．           B．               C．              D．

7. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（  ）

A．若//，，则m//n             

B．若，，，则

C．若m//，n//，且，，则//

D. 若 ，，则m//n 

8．在四棱锥 PABCD 中，  AB//CD，AB⊥BC，平面PCD⊥平面ABCD，AB = BC = 2，   PC = PD = CD = 4， 则二面角PADC 的正切值为（  ）

A.            B.            C.           D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知向量，，，则下列说法正确的是（       ）

A．的相反向量是  B．若，则

C. 在上的投影向量为        D．若，则

10. 某市商品房调查机构随机抽取名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，

如图调查的所有市民中四居室共户，所占比例为，二居室住户占.如图是用分层抽样的方法从所有调查的市民的满意度问卷中，抽取的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是（       ）

A．样本容量为                            B．样本中三居室住户共抽取了户

C．据样本可估计对四居室满意的住户有户   D．样本中对二居室满意的有3户

11. 在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（  ）

A．若，则一定是等腰三角形

B．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个

C．若不是直角三角形，则

D．若，则为钝角三角形

12. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，下列说法正确的是（       ）

A. 直线与直线所成的角为

B. 直线与直线所成的角为

C．若平面过点，且，则平面截正方体所得的截面图形的周长为

D．动点在侧面及其边界上运动，且，则与平面所成角的正切值的取值范围是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．一组数据的平均数是，则此组数据的方差为__________.

14. 已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为40n mile/h，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距______n mile．

      （第14题图）                                 （第16题图）                                                                                    

15．在平行四边形ABCD中，，垂足为P，若，则AP=_________.

16. 如图，正方形的边长为10米，以点A为顶点，引出放射角为的阴影部分

的区域，其中，记，的长度之和为.

      则的最大值为___________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.  (10分)

设实部为正数的复数，满足，且复数为纯虚数.

（1）求复数；

（2）若复数是关于的方程的根，求实数和的值.

18.  (12分)

已知，为锐角，，.

（1）求的值；

（2）求角.

19．(12分)

为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示．

（1）求图中的值；

（2）试估计本次物理测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

（3）该校准备对本次物理测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？

20．(12分)

   如图，四棱锥中，⊥底面，底面为菱形，点为侧棱上一点.

（1）若，求证：平面； 

（2）若，求证：平面⊥平面.

21．(12分)

已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且满足，.

（1）求A和的大小；

（2）若为锐角三角形，求的面积S的取值范围.

22．(12分)

如图，设中的角A，B，C所对的边是a，b，c，AD为的角平分线，已知AB=1，，，点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于点G，且的面积是面积的一半.

（1）求边BC的长度；

（2）当时，求的面积.

江苏省南京市六校联合体2021-2022学年高一下学期期末考试

数学试题参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. B     2. D    3. D     4. B     5. C      6. A     7. D       8.A

三、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. AC     10. BC       11.BC       12.BCD

四、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 8     14.     15.      16.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【答案】（1）；

（2）.

【解析】

（1）设，则

因为为纯虚数，所以            ……………2分

又，所以，                           ……………4分

联立方程得，故 .                       ……………5分

（2）因为是关于的方程的根，

所以，即，  ……………7分

所以                                     ……………9分

解得.                                      ……………10分

18. 【答案】（1）（2）

【解析】

（1）因为，所以，又

所以               ……………2分

所以                                    ……………4分

                       ……………6分

（2）因为，为锐角，所以，则，

因为，所以.   ……………8分

又为锐角，，所以，          ……………9分

故        

，                                  ……………11分

因为为锐角，所以.                                    ……………12分

19．【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由

解得  ；                                          ……………3分                           （2）

故本次防疫知识测试成绩的平均分为；                             ……………7分

（3）设受嘉奖的学生分数不低于分，因为对应的频率分别为，

所以，解得，

故受嘉奖的学生分数不低于分.                             ……………12分

20．【答案】见解析

【解析】

（1）证明：设的交点为，连

因为底面为菱形，
且为中点，，
所以                                                ……………3分

又 平面，平面，

故平面.                                           ……………5分

（2）因为底面为菱形，所以，因为⊥平面，

BD平面，所以，又ACBD=O，AC，BD平面，

所以⊥平面，                                      ……………8分

所以，又，BDBF=B，BD，BF平面

所以平面，                                      ……………10分

又平面，故平面⊥平面                ……………12分

21．【答案】（1），

（2）  

【解析】

（1）因为，由正弦定理得

所以，

所以，    

因为中，，所以，               ……………2分

      （不说明扣1分）

因为，所以                              ……………3分

因为，由余弦定理得

，                          

解得                                                ……………5分

所以，.

（2）由（1）知，，由正弦定理得，

，.  ……………6分

因为为锐角三角形，故，得. ……………7分

从而的面积

，      ……………10分

又，，所以，

从而的面积的取值范围为.                     ……………12分

22．【答案】（1）；

（2）.

【解析】

（1）方法一：

由，得

因为，所以；                             ……………1分

因为，

过点D分别作DM//AC，DN//AB交AB，AC于点M，N，

所以，所以,

所以                                           ……………3分

因为

所以BC=a=；                                          ……………5分

方法二：由，得

因为，所以；                             ……………1分

因为AD为的角平分线，所以，

所以，

 ，

又，  所以，得                   ……………3分

因为，

所以BC=a=；                                                  ……………5分

（2） 设，

因为的面积是面积的一半，所以，

所以，①                                             ……………6分

；

由，得

因为三点共线，所以，即，      ……………7分

所以，

又

所以

因为，所以，②     ……………9分

由①②解得，                                   ……………10分

所以，此时点F与点C重合；

因为，

所以

所以；

由得；

所以. ……………12分

（或）

(或)