河南省许昌市2021-2022学年高一下学期期末数学理科试题（含答案）

XCS2021—2022学年第二学期期末教学质量检测

高一理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若，则（    ）

A．   B．   C．1   D．2

2．已知平面向量，，且，则（    ）

A．1   B．   C．   D．

3．某学校计划从3名男生和4名女生中任选4名参加七一征文比赛，记事件M为“至少3名女生参加”，则下列事件与事件M对立的是（    ）

A．恰有1名女生参加    B．至多有2名男生参加

C．至少有2名男生参加   D．恰有2名女生参加

4．已知向量，，且，，与的夹角为，则（    ）

A．36   B．   C．54   D．

5．已知P在所在平面内，满足，则P是的（    ）

A．外心   B．内心   C．垂心   D．重心

6．下列四个命题中不正确的是（    ）

A．平行线段在直观图中仍然平行   B．相等的角在直观图中仍然相等

C．直线与平面相交有且只有一个公共点  D．垂直于同一个平面的两条直线平行

7．对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（    ）

A．若，满足，且与同向，则

B．

C．

D．

8．某校开展“正心立德，劳动树人”主题教育活动，对参赛的100名学生的劳动作品的得分情况进行统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，图中信息，下列结论错误的是（    ）

A．图中的x值为0.020

B．得分在80分及以上的人数为40

C．这组数据平均数的估计值为77

D．这组数据第80百分位数的估计值为85

9．已知，是两个不共线向量，向量，共线，则实数（    ）

A．   B．   C．   D．

10．已知a，b是两条不同的直线，，，是三个不同的平面．给出下列命题：

①若，，，则或；

②若，，，则；

③若，，，则；

④“若，，则”是随机事件；

⑤若a，b是异面直线，则存在平面过直线a且垂直于直线b．

其中正确的命题是（    ）

A．①③   B．②⑤   C．③④   D．②④

11．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点P，则点P的坐标为（    ）

A．   B．

C．    D．

12．在三棱锥中，所有的棱长都相等，E为AB中点，F对AC上一动点，若DF＋FE的最小值为，则该三棱锥的外接球体积为（    ）

A．   B．   C．   D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在中，已知，，，则______．

14．某学校共有学生2000名，各年级的男生、女生人数如下表：

已知从全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的可能性是0.19．现用分层随机抽样的方法，从全校学生中抽取64名，则应在三年级抽取的学生人数为______名．

15．在2022年新冠肺炎疫情期间，长葛市组织市民进行核酸检测，某个检测点派出了3名医生，6名护士．把这9名医护人员分成三组，每组1名医生2名护士，则医生甲与护士乙分在一组的概率为______．

16．19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．根据本福特定律，若，则n的最大值为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．

（1）画图，并用图中字母写出已知、求证；

（2）写出证明过程．

18．（12分）某项密码破译工作需甲、乙、丙、丁四人完成，已知每人独立译出密码的概率为，若二人合为一组，则该组破译的概率为，若三人合为一组，则该组破译的概率为．

（1）若四人独立翻译，求破译出密码的概率；

（2）若将四人分成两组，两组独立破译密码，求破译出密码的概率．

19．（12分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形，平面平面PCD，，，．

（1）求证：平面PCD；

（2）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．

20．（12分）鱼塘中养了某种鱼，到了收获季节，鱼塘主人为了了解鱼塘中鱼的情况，通过随机撒网的方式捕了200条鱼，逐个称重，发现质量（单位：克）都在之间，这些鱼的质量按照，，，，分组得到频率分布直方图如下：

（1）求鱼塘中所有鱼质量的平均数的估计值；

（2）根据这种鱼的市场情况，现有两种销售方案：

方案一：不论鱼的大小统一定价为每100克10元；

方案二：质量小于700克的鱼，每100克8元；质量在（克）之间的鱼，每100克12元；质量不小于800克的鱼，每100克10元．方案（二）需要付分拣费：每100条鱼50元．

请根据收入的估计值，帮该鱼塘主人选择合适的销售方案．

注：频率分布直方图中每组数据取区间中点值为代表．

21．（12分）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．

（1）求A；

（2）若，且的面积为，求b，c．

22．（12分）如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC的中点，将、分别沿DP、DQ折叠，使A、C两点重合于点M，连BM、PQ，得到图2所示几何体．

（1）求证：；

（2）在线段MD上是否存在一点F，使平面PQF，如果存在，求的值，如果不存在，说明理由．

许昌市2021—2022学年第二学期高中期末考试

高一理科数学答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．D  2．C  3．C  4．D  5．A

6．B  7．B  8．D  9．B  10．D

11．D  12．A

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．  14．16  15．  16．3

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

解：（1）已知：如图，，，且，

且，，，．

求证：

（2）证明：过平行直线AB，CD作平面，与平面和

分别相交于AC和BD．∵，∴．

又∴，∴四边形ABCD是平行四边形

∴．

18．（12分）

解：由题意可知，

（1）有任何一人破译成功密码，则密码就被译出：四人均没有成功破译密码的概率为

所以四人独立翻译，密码能被译出的概率为．

（2）①若每组两人，两组独立翻译

由二人合为一组，该组破译的概率为，则密码能被译出的概率为：．

②若一组三人、一组一人

三人合为一组，该组破译的概率为，

则密码能被译出的概率为：．

19．（12分）

（1）证明：如图，取棱PC的中点为N，连接DN．

依题意，得．

又因为平面平面PCD，平面平面，

所以平面PAC.

又平面PAC，所以．

又因为，，所以平面PCD．

（2）解：如图，连接AN．由（1）中平面PAC，

可知为直线AD与平面PAC所成的角．

因为为等边三角形，CD＝2，且PC的中点为N，所以．

又，在中，．

所以直线AD与平面PAC所成的角的正弦值为．

20．（12分）

解：（1）鱼塘中所有质量的平均数的估计值为

550×0.1＋650×0.2＋750×0.3＋850×0.25＋950×0.15＝765（克）．

（2）以这200条鱼的销售收入为参考，

若选方案一，销售收入的估计值为（元）．

若选方案二，由题意得，200条中重量在各区间的条数依次约为20，40，60，50，30．

销售收入减去分拣费的估计值为

（元）．

因为15360＞15300，所以应该选方案二．

21．（12分）

解：（1）根据正弦定理，

变为，即，

也即，

所以．

整理，得，即，所以，

所以，则．

（2）由，，得．

由余弦定理，得，

则，所以．则．

22．（12分）

解：（1）证明：由图1可得，

∴  ∴

∵，，MD、平面MDQ 

∴平面MDQ

∵平面MDQ  ∴．

（2）假设在线段DM上存在一点F，使平面PQF．

连BD交PQ于点O，连OF，由图1可得，，即

∵平面PQF，平面BDM，平面平面

∴ ∴  ∴