福建省三明市2021-2022学年高一下学期期末模拟数学试题（含答案）

这是一份福建省三明市2021-2022学年高一下学期期末模拟数学试题（含答案），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021－2022学年度三明市高一第二学期高中
数学期末预测卷
考试时间：120分钟
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1．平面平面β，，，则直线a和b的位置关系（ ）
A．平行 B．平行或异面 C．平行或相交 D．平行或相交或异面
2．设复数：满足，则（ ）
A．1 B． C． D．
3．下列命题中，正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．垂直于同一直线的两条直线平行
C．若直线l与平面α上的无数条直线都垂直，则l⊥α
D．若a、b、c是三条直线，且与c都相交，则直线a、b、c在同一平面上
4．甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为（ ）
A．0.8 B．0.7 C．0.56 D．0.38
5．已知三棱锥P－ABC的高为1，底面为等边三角形，PA＝PB＝PC，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面的边长为（ ）
A． B． C．3 D．
6．新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力．2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重．

以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是（ ）
A．第一产业的生产总值与第三产业中“租赁和商务服务业”的生产总值基本持平
B．第一产业的生产总值超过第三产业中“房地产业”的生产总值
C．若“住宿餐饮业”生产总值为7500亿元，则“金融业”生产总值为32500亿元
D．若“金融业”生产总值为41040亿元，则第二产业生产总值为1665001亿元
7．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在球O的球面上，满足AB＝2，∠ACB＝90°，PA为球O的直径且PA＝4，则点P到底面ABC的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，共20分）
9．某市12月17日至21日期间空气质量呈现重度及以上污染水平，经市政府批准，该市启动了空气重污染红色预警，期间实行机动车“单双号”限行等措施．某报社会调查中心联合问卷网，对2400人进行问卷调查，并根据调查结果得到如下饼图则下列结论正确的是（ ）

A．“不支持”部分所占的比例大约是整体的；
B．“一般”部分所占的人数估计是800人；
C．饼图中如果圆的半径为2，则“非常支持”部分扇形的面积是；
D．“支持”部分所占的人数估计是1100人
10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则角C的大小是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知正方体，M，N分别为和AA，的中点，则下列四种说法中正确的是（ ）

A． B．
C．与AC所成的角为60° D．CD与BN为异面直线
12．已知正方体的棱长为1，E为线段的中点，，其中，，则下列选项正确的是（ ）
A．时，
B．时，的最小值为
C．时，三棱锥的体积为定值
D．时，直线与面的交点轨迹长度为
三、填空题（本大题共4题，共20.0分）
13．张衡（78年~139年）是中国东汉时期杰出的天文学家、数学家、发明家、地理学家、文学家，他的数学著作有《算罔论》．张衡给立方体定名为质，给球体定名为浑．他研究过球的外切立方体体积和内接立方体体积，研究过球的体积，其中还定圆周率值为10的开平方，直到五百多年后，印度和阿拉伯的数学家才得出这个数值．现有棱长为的正方体，利用张衡的结论可得该正方体的内切球的体积为________．
14．已知，，、的夹角为，则在方向上的数量投影为______．
15．若，且，则________．
16．四面体A－BCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，BC＝2，且异面直线AB和CD所成的角为60°，若四面体ABCD的外接球半径为，则四面体A－BCD的体积的最大值为________．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17．已知复数：．求．
18．2020年“双十一”购物节之后，某网站对购物超过1000元的20000名购物者进行年龄调查，得到如下统计表：
分组编号
年龄
购物人数
1

5500
2

4500
3


4

3000
5


（1）从这20000名购物者中随机抽取1人，求该购物者的年龄不低于50岁的概率；
（2）从年龄在[50，70]的购物者中用分层抽样的方法抽取7人进一步做调查问卷，再从这7人中随机抽取2人中奖，求中奖的2人中年龄在[50，60），[60，70]内各有一人的概率．
19．在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且．
（1）求角C的大小；
（2）若，且a＋b＝3，求△ABC的面积．
20．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．
（1）求角C的大小；
（2）若b＝1，，求cos（B－C）的值．
21．如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，E是PB的中点，且BE＝DE．

（1）证明：BD⊥平面ACE．
（2）若PD＝AB，PD⊥AC，且AE＝4，求四棱锥P－ABCD的体积．
22．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，bsin2A＝6cosAsinB．
（1）求a的值；
（2）若，求周长的取值范围．
参考答案：
1．B【解析】
利用平面平面β，可得平面α与平面β没有公共点，根据，，可得直线a，b没有公共点，即可得到结论．
【详解】
∵平面平面β，∴平面α与平面β没有公共点
∵，，∴直线a，b没有公共点
∴直线a，b的位置关系是平行或异面，故选：B．
2．B【解析】
【分析】利用复数的四则运算以及复数模的运算即可求解．
【详解】
解析因为，
所以，．故选：B
3．D【解析】
【分析】利用空间点、线、面位置关系直接判断．
【详解】
A．不共线的三点确定一个平面，故A错误；
B．由墙角模型，显然B错误；
C．根据线面垂直的判定定理，若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l与平面α垂直，若直线l与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l与平面α不一定垂直，故C错误；
D．因为，所以a、b确定唯一一个平面，又c与a、b都相交，故直线a、b、c共面，故D正确：故选：D．
4．D【解析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式运算即可得解．
【详解】因为甲、乙两个气象站同时作气象预报，甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，所以在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为：P＝0.8×（1－0.7）＋（1－0.8）×0.7＝0.38故选：D．
5．C【解析】
【分析】利用球的体积公式求出球的半径，画出图形，设点为△ABC的外心，则平面ABC．求解．通过求解三角形推出AB即可．
【详解】
设球O的半径为R，由球的体积为可得，，解得R＝2．
因为三棱锥P－ABC的高h为1，所以球心O在三棱锥外．
如图，设点为△ABC的外心，则平面ABC．
在中，由，且，得．
因为△ABC为等边三角形，所以，
所以．故选：C．

6．D【解析】
【分析】利用扇形统计图和第三产业中各行业比重统计图的数据即可求解．
【详解】对于A，57%×6%＝3.42%<6%，错误；
对于B，57%×13%＝7.41%>6%，错误；
对于C，（亿），错误；
对于D，根据题意，第二产业生产总值为，亿元，正确．故选：D．
7．D【解析】
【分析】根据余弦定理和△ABC的面积公式，结合题意求出sinA、cosA的值，再用C表示B，求出的取值范围，即可求出的取值范围．
【详解】
解：△ABC中，由余弦定理得，，
且△ABC的面积为，由，
得，化简得；
又，，所以，
化简得，解得或（不合题意，舍去）；
因为，所以，
所以，
由B＋C＝π－A，且，，
解得，所以，所以，
所以；设，其中，
所以，
又，所以，时，y取得最大值为，
时，，时，，且，
所以即的取值范围是．故选：D．
8．D【解析】
【分析】球心O是PA的中点，球半径R＝OC＝2，取AB的中点D，可知OD⊥AB，求得，利用勾股定理证得OD⊥CD，利用线面垂直的判定定理证得OD⊥平面ABC，进而求得点P到底面ABC的距离
【详解】∵三棱锥P－ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA为球O的直径且PA＝4，
∴球心O是PA的中点，球半径，
取AB的中点D，连接OD、OB，则OD⊥AB，且
∵满足AB＝2，∠ACB＝90°，∴
∴，∴OD⊥CD
又，CD，平面ABC，∴OD⊥平面ABC
所以点P到底面ABC的距离为，故选；D．

【点睛】关键点点睛：本题考查点到平面的距离的求法，关键是分析出球心O到平面ABC的距离，利用线面垂直的判定定理证得OD⊥平面ABC，求出OD即可求出点P到底面ABC的距离．
9．ACD【解析】根据支持是，约占总体的一半，所以圆的面积是2π，依次进行判断即可．
【详解】
A选项：“不支持部分所占，所以比例大的是整体的，正确．
B选项：“一般”部分所占比例为主，所以占的人数估计是人，不正确；
C选项：“非常支持”部分点比例，所以面积是，正确；
D选项：“支持”部分所点比例，共有，正确．故选：ACD
【点睛】此题考查饼图在实际问题的应用，注意各部分所占比重，属于简单题目．
10．BD【解析】
由正弦定理可得，所以，而a 【详解】由正弦定理可得，∴，
而a 【点睛】本题考查了根据正弦定理求解三角形内角，解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断，考查了分析能力和计算能力，属于中等题．
11．BCD【解析】
【分析】
由异面直线定义可知AD正误：证得AC⊥平面后，利用线面垂直性质可知B正确；由可知所求角为，由长度关系可得，知C正确．
【详解】
对于A，∵平面，，，平面，
∴与AC是异面直线，A错误；
对于B，∵，AC⊥BD，，，平面，
∴AC⊥平面，又平面，∴，B正确；
对于C，∵，∴即为异面直线与AC所成的角，
∵，∴，为等边三角形，∴，C正确；
对于D，∵，平面，，平面，
∴CD与BN为异面直线，D正确．故选：BCD．
12．ABC【解析】
【分析】
取M，N为AD，BC的中点，当时，得到点P在线段MN上运动，证得和，证得平面，可判定A正确；取得，连接GH，得到当时，得到点P在GH上运动，沿GH将平面旋转到与平面ABCD重合，可判定B正确；取的中点F，当时，得到点P在线段AC上运动，结合，可判定C正确：连接BD，，，交，于点K和点L，当时，得到点P在线段BD上运动，证得平面，得到平面平面ABD＝KL，求得KL的长度，可判定D不正确．
【详解】由题意，正方体的棱长为1，E为线段的中点，且，其中，，
对于A中，取M，N分别为AD，BC的中点，当时，可得点P在线段MN上运动，
如图（1）所示，在正方形中，因为M，E的中点，可得，
又由平面，平面，所以，
因为，所以平面，
又因为平面，所以，所以A正确

对于B中，在AB，CD上分别取点G和点H，使得，连接GH，当
当时，可得点P在线段GH上运动，
在直角中，，，可得，
如图（2）所示，沿GH将平面旋转到与平面ABCD重合，得到平面，
连接，则，
即的最小值为，所以B正确

对于C中，如图（3）所示，取的中点F，分别连接EF，BF，，AC，
当时，可得点P在线段AC上运动，
由且平面，所以平面，
所以点P到平面的距离为定值，即三棱锥的高h为定值，
又由的面积为定值，所以（定值），所以C正确

对于D中，如图（4）所示，连接BD，，，交，于点K和点L．
当时，可得点P在线段BD上运动，
因为且平面，所以平面，
又因为平面平面ABD＝KL，所以，
由与相似，且相似比为1:2，
所以，即直线与面的交点轨迹长度为，所以D不正确．

综上可得，选项正确的是ABC故答案为：ABC．
13．3600
【解析】设正方体的棱长为a，内切球的半径为r，由a＝2r，求得半径，再代入球的体积公式求解．
【详解】
设正方体的棱长为a，内切球的半径为r，
则a＝2r，因为，所以，又，
所以球的体积为，故答案为：3600
14．2【解析】
【分析】直接按照投影的概念进行计算即可．
【详解】
由已知得，在方向上的数量投影为
因为，，、的夹角为，所以
所以在方向上的数量投影为2．故答案为：2
15．400【解析】
【分析】
根据|转化，可求得，同理转化即可求值．
【详解】
，又，
∴，而，
∴，则．故答案为：400
16．【解析】
过B作，由题设知四边形为矩形且BC⊥面，根据外接圆圆心与四面体A－BCD外接球球心以及BC的关系即可求外接圆半径，利用余弦定理求，并得到，而四面体A－BCD的体积，结合基本不等式即可求体积最大值
【详解】
四面体A－BCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，异面直线AB和CD所成的角为60°，可得如下示意图，过B点作且，连接，

则有且BC⊥面，
如下图，若为外接圆圆心，则可找到外接球圆心O，E为BC的中点，即
OE⊥BC，BE＝BC＝1，外接球半径为，

∴四边形为矩形，，
∴在平面中有，，可得，

令BD′＝a，AB＝b，则四面体A－BCD的体积，
而由余弦定理知：，即当且仅当a＝b时等号成立，
所以，故答案为：．
【点睛】思路点睛：
1、由已知线线垂直关系，可知线面垂直：BC⊥面，以及面面垂直：面面；
2、由上述垂直关系，结合外接圆圆心，即可根据在四面体A－BCD外接球半径求得外接圆半径；
3、在中利用余弦定理得到，以及另两边a，b与的数量关系，应用体积公式用a，b表示四面体的体积，结合基本不等式求最值．
17．【解析】
【分析】化简复数，利用复数的模长公式可求得结果．
【详解】
因为，因此，．
18．（1）0.35：（2）．
【解析】
（1）根据参与调查的总人数确定a的值，进而求得购物者的年龄不低于50岁的概率；
（2）年龄在[50，70]的购物者中用分层抽样的方法抽取7人，则年龄在[60，70]的应抽取4人，年龄在[50，60）的应抽取3人，利用古典概型，确定中奖的2人中年龄在[50，60），[60，70]内各有一人的概率．
【详解】
（1）因为参与调查的总人数为20000人，
由表中数据可得5500＋4500＋3a＋3000＋4a＝20000，解得a＝1000，
所以从这20000名购物者中随机抽取1人，该购物者的年龄不低于50岁的概率为．
（2）由（1）知，这20000名购物者中，年龄在的有3000人，年龄在的有4000人，从年龄在的购物者中用分层抽样的方法抽取7人，则年龄在的应抽取4人，用，，，表示，年龄在的应抽取3人，用，，表示．在这7人中随机取出2人中奖的所有可能情况有：
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，共21种情况，
其中中奖的2人中在，内各有一人有：
，，，，，，，，，，，，共12种情况，
所以所求的概率为．
【点睛】
有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．（1）基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．（2）注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．
19．（1）60°；（2）．
【解析】【分析】（1）根据正弦定理得到，进而可求得，即可解出C；
（2）由余弦定理可得ab＝1，结合三角形面积公式代入计算即可
【详解】
（1）因为，所以由正弦定理得，
因为，则，又因为C是锐角，故C＝60°；
（2）由余弦定理，得，
所以
又因为a＋b＝3，所以ab＝1
则．
【点睛】
本题考查正弦定理的应用，考查三角形面积公式的计算，属于中档题．
20．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）将等式化简，再利用正弦定理及余弦定理，即可求出角C；
（2）利用正弦定理求出sinB，再根据b 【详解】
（1）由化简，
得，由正弦定理，得，
由余弦定理得，又，所以．
（2）因为b＝1，，所以由正弦定理，得，
因为b 所以．所以．
【点睛】
易错点睛：本题在利用同角三角函数求cosB时，需要注意利用大边对大角确定角B的范围．
21．（1）证明见详解：
（2）：．
【解析】
【分析】
（1）因为ABCD是菱形，则AC⊥BD，设AC与BD交于点O，再证EO⊥BD即可证明结论；
（2）可证明EO⊥AC，根据勾股定理可得ABCD的边长，结合锥体体积公式即可求解．
（1）设AC与BD交于点O，因为ABCD是菱形，则AC⊥BD
又因为BE＝DE，则EO⊥BD，且
平面ACE，平面ACE，所以BD⊥平面ACE；
（2）设AB＝2a，因为∠BAD＝60°，则，
因为PD⊥AC，，所以EO⊥AC
故，即，解得a＝2，则PD＝4
因EO⊥BD，EO⊥AC，所以EO⊥平面ACE，则PD⊥平面ACE，
所以四棱锥P－ABCD的体积．

22．（1）3：（2）．
【解析】
【分析】
（1）先用二倍角公式化简bsin2A＝6cosAsinB，再根据正弦定理即可解出a；
（2）用正弦定理分别表示b，c，再用三角形内角和及和差公式化简，转化为三角函数求最值．
【详解】
（1）由及二倍角公式得，
又即，所以；
（2）由正弦定理得，
周长：
，
又因为，所以．因为周长的取值范围是．
【点睛】
本题考查了正余弦定理解三角形，三角形求边长取值范围常用的方法：1、转化为三角函数求最值；2、基本不等式．