江苏省泰州市2021-2022学年高一第二学期期末考试数学试题（含答案）

2021～2022学年度第二学期期末考试

高一数学试题

(考试时间：120分钟；总分：150分)

命题人：

审题人：

一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．

1.   已知复数，其中为虚数单位，则(  ▲  )

 A. B． C．3  D．

2.   在中，角，，所对的边分别为，，．若则

(  ▲  )

 A.           B．           C．             D．

3．已知向量，，且，则实数(  ▲  )

 A．           B．            C．              D．

4. 某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为

320,300,380.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为(  ▲  )

A．68   B．38   C．32   D．30

5. 从2名男生和2名女生中任选2名学生参加座谈会，则下列事件互斥的是(  ▲  )

 A. “恰好选中1名男生”与“恰好选中1名女生”

 B. “至少选中1名男生”与“至少选中1名女生”

 C. “选中2名男生”与“选中2名女生” 

 D. “至多选中1名男生”与“至多选中1名女生”

6．已知，则(  ▲  )

A．             B．   C．      D．     

7．某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体挖去一个四      

棱锥后所得的几何体，其中为长方体  

的中心，分别为

所在棱的中点，，那

么该模型的表面积为(  ▲  )．

A．            B．        

C．            D．

8. 某人工生态园内栽种了10万余株水杉、池杉等品种树木，垛与垛间的夹沟里鱼游虾戏,这里是丹顶鹤、黑鹳、猫头鹰、灰鹭、苍鹭、白鹭等候鸟的乐园.游客甲与乙同时乘竹筏从码头沿下图旅游线路游玩.甲将在“院士台”之前的任意一站下竹筏，乙将在“童话国”之前的任意一站下竹筏，他们两人下竹筏互不影响，且他们都至少坐一站再下竹筏，则甲比乙后下的概率为(  ▲  )

  A． B． C．   D．

二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．

9. 下列说法正确的是(  ▲  )

A.用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则每个

个体被抽到的概率是0.1

B.已知一组数据1，2，，，8，9的平均数为5，则这组数据的中位数是5

C.已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，则小明成绩的百分位数是20

D.若样本数据的方差为8，则数据的方差为15

10. 在棱长为1的正方体中，下列选项正确的有(  ▲  )

A.平面

B.平面

C.三棱锥的外接球的表面积为

D.三棱锥的体积为

11.如图，已知菱形的边长为6，为中点，，下列选项正确的有(  ▲  )

 A．                

 B．若，则  

 C．若，则      

 D．

12.在中，角，，所对的边分别为，，．若，

，则下列说法正确的有(  ▲  )

 A.      B.     C.       D.

三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．

13. 已知一组数据为2，3，6，7，8，10，11，13，若在这组数据中插入一个自然数a使得  

这组新数据满足中位数是7且平均数大于7，则a可以是   ▲  .（写出符合条件的一个值）

14. 如图，一个圆形漏斗由上、下两部分组成，上面部分是一个

圆柱，下面部分是一个共底面的圆锥，若圆锥的高是圆柱高

的3倍，且圆柱的容积为，则这个漏斗的容积为   ▲   .

15．欧拉1707年4月15日生于瑞士巴塞尔，1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡.他生于牧师家庭.15岁在巴塞尔大学获学士学位，翌年得硕士学位.1727年，欧拉应圣彼得堡科学院的邀请到俄国.1731年接替丹尼尔·伯努利成为物理教授.他以旺盛的精力投入研究，在俄国的14年中，他在分析学、数论和力学方面作了大量出色的工作. 年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（其中为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，则   ▲   ；   ▲   .（第一空2分，第二空3分）

16. 如图所示，该图由三个全等的构成，

其中和都为等边三角形.若，

，则   ▲   .

四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）

已知复数满足为纯虚数，为实数，其中为虚数单位．

（1）求复数；

（2）若，求实数，的值．

18．(本题满分12分)

为提高教学效果，某校对高一某班期中考试数学成绩做了如下统计，用折线图分别表

示出男生和女生在本次考试中的成绩（单位：分，且均为整数）．根据全体学生的成绩

绘制了频率分布直方图，根据试卷难度测算，将考试成绩在130分以上（含130分）

定义为优秀．由于电脑操作失误，折线图中女生数据全部丢失，无法找回．但据数学

老师回忆，确定班级成绩中分数在140分（含140分）以上的仅有两人，且都是男生．

（1）求该班级人数及女生成绩在[110,120)的人数；

（2）在成绩为“优秀”的学生中随机选取2人参加省中学生数学奥林匹克竞赛，求选

取的恰好是一个男生和一个女生的概率．

19．(本题满分12分)

已知向量，，且．

（1）求的值；

（2）若，且，求的值．

20．(本题满分12分)

如图，已知斜三棱柱

且平面平面.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

21．(本题满分12分)

在中，内角所对的边分别为，请在

①，  ②，   ③

这三个条件中任选一个，完成下列问题.

（1）求角；

（2）在（1）的条件下，若点为的中点，且，求的面积.

注：如果选择多组条件分别解答,按第一组解答计分．

22．(本题满分12分)

如图（1），在中，分别为边的中点，以为折痕把折起，使点到达点位置（如图（2））．

（1）当时，求二面角的大小；

（2）当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题：

（Ⅰ）设平面与平面的交线为，求证：平面；

（Ⅱ）在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？

若存在，求的长；若不存在，请说明理由．

2021～2022学年度第二学期期末考试

高一数学试题参考答案

一、单项选择题：

1．B   2．A   3．B   4．D   5．C   6．C   7．A   8．B

二、多项选择题：

9．ABC     10．BD    11．ABD    12．AD

三、填空题：

13．4、5、6、7（四个数中的任意一个）     14．        15．，       16．       

四、解答题：

17．（本题满分10分）

解：（1）设（其中，），

由为纯虚数，得，且．

由为实数，得．

所以．..................................................5分

（2）由（1）知，．

故由，得，

即．

因为，，由复数相等的充要条件得：

解得......................................................10分

18．（本题满分12分）

解：（1）设该班共有名学生，则，解得．..............................2分

由频率分布直方图知在的人数为，

由折线图知男生在的人数为3，

所以女生在人数为．........................................4分

答：该班共有40名学生，其中13名女生的成绩在[110,120)．...........6分

（2）成绩在130分及以上的人数为（人）

其中男生为4人，所以女生2人．

记“恰有1名男生和1名女生被选中”为事件，记这6人分别为，，，，，；其中男生为，，，；女生为，．

则样本空间

，..........................................................8分

；..........................................................10分

所以．

答：恰有1名男生和1名女生被选中的概率为...........................12分

19（本题满分12分）

解：（1）因为，所以，所以

，

所以，...................................................5分

（2）因为，，，

又，所以，

，.........................................................7分

...........................................................9分

又因为，所以................................................12分

20．（本题满分12分）

解：（1）连结，因为，平面平面，平面平面，，平面，所以，平面，平面，.在菱形中，，，所以平面，

又平面，所以....................................................5分

（2）取的中点，连结，，

所以，，，

因为，平面平面，

平面平面，平面，所以平面，

所以，直线与平面所成角为..........................................7分

，

所以，.........................................................9分

所以，..........................................................11分

故直线与平面所成角的正弦值为......................................12分

21．（本题满分12分）

解：（1）选①，因为，所以，

，解得，

因为，所以，故角．...........................................5分

选②，因为，

由正弦定理的，，

所以，，，所以，故角． 5分

选③，因为，所以，

，，故角．..................................................5分

（2）作，交于点，连结，则四边形为平行四边形，

点为中点，且．...............................................7分

在中，由余弦定理得

或（舍），即，10分

所以.....................................................12分

22．（本题满分12分）

解：（1）在图②中，，所以二面角的平面角为．

在中，已知，．由余弦定理得，

，

又，所以，所以二面角的大小为．.................................5分

（2）（Ⅰ）当四棱锥的体积最大时，．

在等腰直角梯形中，，所以四边形为平行四边形．

所以，平面，平面，所以∥平面．

又平面，平面平面，所以∥．

因为，，所以．

又，∥，所以，，

又，

所以．.....................................................8分

（Ⅱ）当四棱锥的体积最大时，由①知，所以与平面所成角为．所以，解得，

在中，解得。................................................10分

在中，解得，所以点为靠近点或点的线段的四等分点 ......................12分