湖南省郴州市2021-2022学年高二下学期期末数学试题（Word版含答案）

郴州市2022年上学期期末教学质量监测试卷

高二数学

（试题卷）

注意事项：

1．试卷分试题卷和答题卡，试卷共6页，有四大题，22小题，满分150分．考试时间120分钟．

2．答题前，考生务必将自己的姓名、班次、准考证号、考室号及座位号写在答题卡和试题卷的封面上．

3．考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．

4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．集合集合，则

A．      B．      C．                D．

2．为了全面落实双减政策，某中学根据学生身心特点开展了体育、艺术、阅读、劳动、手工五大主题的课后服务课程，学生可根据自己的兴趣爱好进行自主选择，有力促进了学生健康快乐的成长，已知学生甲、乙都选择了体育类的篮球，在一次篮球测试中，甲合格的概率为，乙合格的概率为，则甲、乙至少有一人合格的概率为

A．                 B．                 C．                  D．

3．在等差数列中，已知，，则数列的公差为

A．                 B．0                   C．1                    D．2

4．正四面体P-ABC中，M为PC的中点，则异面直线AM与PB所成角的余弦值为

A．                 B．                 C．                 D．

5．为进行学考复习，某高一学生将地理、历史、化学、生物4科的作业安排在周六，周日集中突破，要求每天至少完成一科，则完成作业的不同方式种数为

A．48                 B．56                   C．64                   D．72

6．如图1，直角梯形ABCD中，，，，，则

A．1                  B．                 C．                  D．2

7．3月21日是世界睡眠日，2022年世界睡眠日的中国主题是“良好睡眠，健康同行”．中国睡眠研究会常务理会吕云辉教授围绕这一主题进行了深度解读，以严谨的理论和丰富的案例佐证了良好睡眠于健康体魄的重要性．某中学数学兴趣小组为了研究良好睡眠与学习状态的关系，调查发现该校3000名学生平均每天的睡眠时间，则该校每天平均睡眠时间为6～7小时的学生人数约为（结果四舍五入保留整数）

A．64                 B．408                  C．472                  D．815

附：若，则，，．

8．过点作曲线的切线有且只有两条，则b的取值范围为

A．              B．              C．              D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知复数z满足，（其中i为虚数单位）

A．                                   B．复数z的虚部为2

C．                                    D．复数z在复平面内对应的点位于第四象限

10．一个口袋中有大小形状完全相同的3个红球和2个白球，下面几个命题中正确的是

A．如果随机取出一球，则第一次摸到红球的概率是

B．如果是不放回地抽取2球，则取出两个红球和取出两个白球是对立事件

C．如果是有放回地抽取2球，则取出1个红球1个白球的概率是

D．如果是不放回地抽取2个球，则在第1次取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是

11．如图2，在边长为2的正方体中，点M在底面正方形ABCD内运动，则下列结论正确的是

A．若，则M点的轨迹长度为

B．若平面，则M点的轨迹长度为2

C．若，则M点的轨迹长度为2

D．若平面，则三棱锥的体积为定值

12．2022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈，其中雪花造型惊艳全球．有一个同学为了画出漂亮的雪花，将一个边长为1的正六边形进行线性分形．如图3，图（n）中每个正六边形的边长是图中每个正六边形的边长的．记图（n）中所有正六边形的边长之和为，则下列说法正确的是

A．图（4）中共有294个正六边形

B．

C．是一个递增的等比数列

D．记为数列的前n项和，则对任意的且，都有

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式中的的系数为         ．

14．某工厂从甲、乙两个分厂定制配件．其中甲厂获得40%的订单，次品率为9%；乙厂获得60%的订单，次品率为4%．那么这批配件的次品率为         ．

15．双曲线C：的左右顶点为A，B，过原点的直线l与双曲线C交于M，N两点，若AM，AN的斜率满足，则双曲线C的离心率为         ．

16．函数．若对任意，都有，则实数m的取值范围为         ．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

记正项数列的前n项和为，已知，           ．

从①；②；③这三个条件中选一个补充在上面的横线处，并解答下面的问题：

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项的和，求证：．

18．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足．

（Ⅰ）求角C的值；

（Ⅱ）若，，求△ABC的周长．

19．（本小题满分12分）

如图4，直三棱柱中，ABC是边长为2的正三角形，O为AB的中点．

（Ⅰ）证明：CO⊥平面；

（Ⅱ）若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

溺水、校园欺凌、食品卫生、消防安全、道路交通等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视．学校安全工作事关学生的健康成长，关系到千万个家庭的幸福和安宁，关系到整个社会的和谐稳定．为了普及安全教育，某市准备组织一次安全知识竞赛．某学校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得到如下表格：

（Ⅰ）现从得分超过85分的学生中根据性别采用分层随机抽样抽取6名学生进行安全知识培训，再从这6名学生中随机抽取3名学生去市里参加竞赛，记这3名学生中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望．

（Ⅱ）根据小概率值的独立性检验，能否推断该校高二年级男生和女生在了解安全知识的程度与性别有关？若有关，请结合表中数据分析了解安全知识的程度与性别的差异．

附：参考公式，其中．

下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值

21．（本小题满分12分）

已知椭圆C：的离心率为，左顶点坐标为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，设点问：直线BM，BN的斜率之和是否为定值？若是，请求出该值；否则，请说明理由．

22．（本小题满分12分）

已知（且），．

（Ⅰ）求在上的最小值；

（Ⅱ）如果对任意的，存在，使得成立，求实数a的取值范围．

郴州市2022年上学期期末教学质量监测试卷

高二数学参考答案和评分细则

（命题人：安仁一中  李海涛    宜章一中  吴斌    永兴一中  杨儒平）

审题人：郴州一中  雷震宇    郴州二中  陈伟    郴州市教科院  汪昌华）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1-4  CDAC    5-8  DDBA

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．ACD    10．AD    11．AD    12．BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．    14．6%    15．    16．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）

解：

（Ⅰ）选择①

当时

而时，满足左式

∴．

选择②

选择③

由，得，从而得．

（其它选择的解法依据选择①对应给分）

（Ⅱ）

∴

∵，

∴，

∴

18．（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）由条件及正弦定理可得：

∴

∵

∴

∴，，

∴

（Ⅱ）∵

∴

由余弦定理：

∴结合

可得：，则△ABC的周长．

19．（本小题满分12分）

（Ⅰ）∵ABC是正三角形，O为AB的中点，

∴．

又∵是直三棱柱，

∴平面ABC，

∴．

又，

∴CO⊥平面．

（Ⅱ）连接，由（Ⅰ）知CO⊥平面，

∴直线与平面所成的角为，

∴．

∵△ABC是边长为2的正三角形，则，

∴．

在直角中，，，

∴．

建立如图所示坐标系，则，，，，．

∴，，解得平面的法向量为．

，解得平面的法向量为．

设平面与平面夹角为θ，则

．

平面与平面夹角的余弦值为．

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）200名学生中得分超过85分的人数为150人，其中男生人数为100人，女生人数为50人，因此按性别进行分层抽样得到男生4人，女生2人，

故X的所有可能取值为1，2，3，则

，

，

．（算对一个得1分）

所以X的分布列为：

数学期望（6分）

（Ⅱ）根据列联表可：，

根据小概率值的独立性检验，我们认为性别与了解安全知识的程度有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．

由表中数据可得男生中得分不超过85分的所占比例为，女生中得分不超过85分的所占比例为，女生的比例为男生的2.25倍，根据频率稳定概率的原理，我们认为该校女生和男生在了解安全知识的程度方面存在差异．

21．（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ），

∴；又，

则，，从而椭圆C：．

（Ⅱ）．

设直线l：，（其中）．

，

则

或

（定值）

当直线l的斜率不存在时l：，则M，N关于x轴对称，

，

综上可得（定值）

22．（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ），

显然为偶函数，当时，

时，，，∴在单调递增；

时，，，∴在单调递减；

，，，∴在上的最小值为．

由偶函数图象的对称性可知在上的最小值为．

（Ⅱ）先证，设，则，

令，令，

∴在上单调递增，在上单调递减．

故①恒成立．

由题意可得，使得成立，

即成立．

由①可知，

参变分离得，

设，，

即只需即可．

由①知得，

∴

令，令，

∴在上单调递减，在上单调递增．

∴，

∴，

又已知

故a的取值范围为．