广东省广州市番禺区2021-2022学年高二下学期期末数学试题（含答案）

这是一份广东省广州市番禺区2021-2022学年高二下学期期末数学试题（含答案），共15页。试卷主要包含了函数的部分图象大致为，已知，，，则，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

2021学年第二学期高中教学质量监测试题
高二数学
本试卷共5页，22小题，全卷满分150分，考试时间为120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名和座位号、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在答题卡相应位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的区域内，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.若（其中为虚数单位），则（ ）
A.0 B.1 C. D.2
3.中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5.某咖啡厅为了了解热饮的销售量（单位：杯）与气温（单位：℃）之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：
气温/℃
18
13
10

销售量/杯
24
34
38
64
由表中数据分析，可得经验回归方程.当气温为℃时，预测销售量约为（ ）
A.66杯 B.68杯 C.72杯 D.77杯
6.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知是抛物线的焦点，是轴上一点，线段与抛物线相交于点，若，则（ ）
A. B. C. D.1
8.已知函数的图象关于直线对称，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ）
A.所有奇数项的二项式系数和为 B.所有项的系数和为
C.二项式系数最大的项为第6项或第7项 D.有理项共5项
10.已知函数，则（ ）
A.有三个零点 B.有两个极值点
C.点是曲线的对称中心 D.直线是曲线的切线
11.甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球、2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以事件，，表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球，再从乙罐中随机取出一个球，以事件表示由乙罐取出的球是红球，下列结论正确的是（ ）
A.事件与事件不相互独立 B.，，是两两互斥的事件
C. D.
12.已知正方体棱长为2，为棱的中点，为底面上的动点，则（ ）

A.存在点，使得
B.存在唯一点，使得
C.当，此时点的轨迹长度为
D.当为底面的中心时，三棱锥的外接球体积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.随机变量服从正态分布，若，则___________.
14.已知数列，满足，，，则___________.
15.写出与圆和圆都相切的一条切线方程___________.
16.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
记为数列的前的和，已知，是公差为的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
18.（12分）
中，角，，的对边分别是，，，.
（1）求角；
（2）若为边的中点，且，求面积的最大值.
19.（12分）
相对于二维码支付，刷脸支付更加便利，从而刷脸支付可能将会替代手机支付，成为新的支付方式，现从某大型超市门口随机抽取100名顾客进行调查，得到如下列联表：
支付方式
性别
合计
男性
女性
刷脸支付

25
70
非刷脸支付
10


合计


100
（1）依据的独立性检验，能否认为性别与使用刷脸支付有关联？
（2）根据是否刷脸支付，在样本的女性中，按照分层抽样的方法抽取9名，为进一步了解情况，再从抽取的9人中随机抽取4人，求抽到刷脸支付的女性人数的分布列及数学期望.
附：

0.050
0.025
0.010
0.001

3.8410
5.024
6.635
10.828
20.（12分）
如图，在三棱锥中，，平面，，.

（1）求证：平面平面；
（2）若，求平面与平面的夹角大小.
21.（12分）
在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记动点的轨迹为曲线.过点作直线交曲线于，两点，且点位于轴上方.记直线，的斜率分别为，.
（1）证明：为定值；
（2）设点关于轴的对称点为，求面积的最大值.
22.（12分）
设函数，.
（1）若，求函数的单调区间和最值；
（2）求函数的零点个数，并说明理由.
2021学年第二学期期末质量检测
高二数学试题评分参考
说明：
1.参考答案及评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据比照评分标准给以相应的分数。
2.对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1.B 2.D 3.D 4.A
5.B 6.C 7.A 8.C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.BD 10.ABC 11.ABD 12.BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.0.14. 14..
15.，或，或. 16..
五、解答题：本大题共90分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤。
17.（10分）
解：（1） 1分

所以 2分
当时，
3分

4分
当时，，所以 5分
. 6分
（2）因为，所以 7分
8分
9分
. 10分
18.（12分）
解：（1）由，
得， 1分
即， 2分
所以
又由余弦定理得， 3分
. 4分
因为，所以. 5分
（2）方法一：因为是边的中点，所以 6分

， 7分
又
所以 8分
又，当且仅当时等号成立， 9分
所以
即， 10分
所以 11分
， 12分
即面积的最大值为.

方法二：以与为邻边构造平行四边形，如图.

则，，. 6分
由余弦定理得 7分
即.
化简，得 8分
以下同方法一.
方法三：因为，且， 6分
所以
即.
因为，所以

化简得 7分
由（1）可知，
所以 8分
以下同方法一.
证法四：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则点的坐标为，
点的坐标为，
即. 6分
由中点坐标公式，可得点坐标为.
由，得
7分
化简得 8分
以下同方法一.

19.（12分）
（1）列联表补充为
支付方式
性别
合计
男性
女性
刷脸支付
45
25
70
非刷脸支付
10
20
30
合计
55
45
100
2分
3分
. 4分
依据小概率值的独立性检验，能够认为性别与使用刷脸支付有关联. 5分
（2）易知9人中刷脸支付的有5人，非刷脸支付的有4人. 6分
由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，4. 7分
，， 8分
，， 9分
，的分布列为

0
1
2
3
4






10分
11分
12分
20.（12分）
解：（1）证明：因为平面，平面，
所以. 1分
因为，， 2分
所以平面. 3分
因为，，
所以，
故平面. 4分
因为平面，
所以平面平面. 5分

（2）方法一：因为，，所以.
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，， 6分
所以，，，.
设是平面的法向量，
则即 7分
令，则，，所以. 8分
设是平面的法向量，
则
即 9分
令，则，，所以， 10分
所以. 11分
所以平面与平面的夹角的大小为60°. 12分

方法二：如图，过作，垂足为，连接. 6分
由（1）中的垂直关系及条件，可计算得
，， 7分
所以.
所以.
所以为二面角的平面角. 8分
，
. 9分
.
所以. 10分
在中，由余弦定理可得
. 11分
所以，
所以平面与平面的夹角的大小为60°. 12分

21.（12分）
解：（1）设点的坐标为，由题可知， 1分
所以. 3分
设直线的方程为，，，且，.
联立
得，
所以，， 4分
所以，，
所以

5分
6分
7分
所以为定值. 7分
（2）方法一：由（1）中设，，及点的坐标，可得的坐标为，由椭圆的对称性，不妨设，


. 8分
点到直线的距离为. 9分
由（1）可知，
所以的面积为
. 10分
， 11分
当，即时，等号成立，
此时的面积最大值为. 12分

方法二：设，由椭圆的对称性，不妨设，
所以，
， 8分
而 9分


10分


， 11分
当，即时，等号成立，
此时的面积最大值为. 12分
22.（12分）
解：（1）解：函数的定义域为，
当时，，
， 1分
令，得；
由，得；
由，得.
所以，函数的增区间为，减区间为. 2分
当时，函数有最大值为，无最小值。 3分
（2），，

， 4分
令，得（舍去），或；
由，得；由，得.
所以，增区间为，减区间为.函数有唯一的极大值点，
， 5分
令，.
因为恒成立，函数为增函数，
且，
①时，，即函数一定没有零点. 6分
②时，，即，
函数有唯一的零点.
③时，，即，
，
且， 8分

，
令，则，
当时，成立，所以，所以，
所以，， 9分
所以， 10分
在区间上有唯一零点，在区间上有唯一零点，
函数有两个不同的零点. 11分
综上所述：
①时，函数一定没有零点.
②时，函数有唯一的零点.
③时，函数有两个不同的零点. 12分