2021学年3.2 离散型随机变量及其分布列示范课课件ppt

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作业讲评，课本第138页练习：1、2、3、4
3.2.4 离散型随机变量的方差
选择性必修 第二册（湘教版）
离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平或集中趋势，但只了解期望是不够的. 有时，我们还希望用一个特征数值来反映随机变量偏离期望值的程度，也就是考察随机变量的离散程度.
容易验证E(X1)=E(X2)=8. 从期望(均值)的角度看，分不出甲、乙两名射手的射击水平，不知道谁更优秀，但进一步观察分布列，可以发现甲有42%的成绩在8环，而乙仅有12%的成绩在8环，这说明甲成绩偏离均值小，乙成绩偏离均值大.
如何来刻画一个离散型随机变量与其期望的偏离程度呢？
我们现在来计算上面问题中甲、乙两名射手射击成绩的方差： D(X1)=(6-8)2×0.16+(7-8)2×0.14+(8-8)2×0.42+ (9-8)2×0.1+(10-8)2×0.18 =1.6. D(X2)=(6-8)2×0.19+(7-8)2×0.24+(8-8)2×0.12+ (9-8)2×0.28+(10-8)2×0.17 =1.96. 由此可知，射手甲的射击成绩稳定性较好，稳定在8环左右，而射手乙的射击成绩稳定性略差.
方差或标准差越小，则随机变量的取值向数学期望集中得越好；反之，方差或标准差越大，则随机变量的取值就越分散. 随机变量的方差是常数，而样本的方差依赖于样本的选取，带有随机性，即样本方差是随机变量，在大多数情况下，样本方差会接近于总体方差，因此，我们常用样本方差估计总体的方差.
于是，对于离散型随机变量X，若X～B(1，p)，则D(X)=p(1－p).
若X～B(1，p)，则D(X)=p(1－p).
根据方差的定义和数学期望的性质，对于离散型随机变量X，我们还可以得到以下计算公式： D(X)=E{[X－E(X)]2} =E{X2－2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)－2E(X)E(X)+[E(X)]2 =E(X2)－[E(X)]2
(1) 若X～B(n，p)，则D(X)=np(1－p)；(1) 若Y=aX+b，a，b为常数，则D(Y)=a2D(X).
离散型随机变量的方差(标准差)是概率论和数理统计中一个重要的概念，是离散型随机变量的数学期望的自然延伸与补充.有时候我们仅仅通过数学期望这一个指标不能很好地了解随机变量的取值规律，我们还需要刻画随机变量偏离期望值的程度，也就是随机变量的离散程度，这就引入了方差(标准差)的概念.教材中用射击的例子作为引入，由于两名射手射击水平的数学期望相等，无法分出胜负，但是通过偏离均值程度的指标，可以评估两名射手的射击水平，由此引出方差(标准差).
(1) 若X～B(1，p)，则D(X)=p(1-p).(2) 若X～B(n，p)，则D(X)=np(1-p)；(3) 若Y=aX+b，a，b为常数，则D(Y)=a2D(X).
1、已知随机变量X的分布列
求D(X)和σ(X).
因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.