2021-2022学年湖北省鄂州市梁子湖区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖北省鄂州市梁子湖区七年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 在平面直角坐标系中点在第象限．(    )

A. 一 B. 二 C. 三 D. 四

2. 比较实数，，，的大小，其中最小的实数是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，下列条件中能判定的是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 在实数，，，中，无理数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，与互为同旁内角的角是(    )

A. 与
B. 与
C. 与
D. 与

6. 如图是木匠师傅利用直尺和三角尺过已知直线外一点作直线的平行线的方法，其直接理由是(    )

A. 同位角相等，两直线平行
B. 内错角相等，两直线平行
C. 同旁内角互补，两直线平行
D. 平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行
 

7. 已知内任意一点经过平移后对应点，已知在经过此次平移后对应点则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 下列说法：没有公共点的两条直线是平行线；两条不相交的直线叫做平行线；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；平面内如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等或者互补，其中正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10. 如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是(    )

1. 
   B.
   C.
   D.

二．填空题（本题共6小题，共18分）

11. 化简：______．
12. 某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥，若荷塘中小桥的总长为米，则荷塘周长为______米．
13. 若、均为正整数，且，，则的最小值是______．
14. 如图，直线，直线与相交于点，与直线相交于点，于点，若，则______．

15. 同学们玩过五子棋吗？它的比赛规则是只要同色子先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一盘棋，若白的位置是，黑的位置是，现轮到黑棋走，你认为黑棋放在______ 位置就胜利了．

16. 在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到，轴的距离中的最大值等于点到，轴的距离中的最大值，则称，两点为“等点”例如，两点即为“等距点”若，两点为“等距点”，则的值为______．

三．解答题（本题共8小题，共72分）

17. 计算；
    解方程．
18. 如图，已知，试说明与的关系．请根据下面的推理过程填空．
    解：．
    理由如下：过点作______．
    ______，
    ______，
    ______
    ______，
    ______

19. 阅读下面文字，然后回答问题．
    大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分不可能全部写出来，由于的整数部分是，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用表示，由此我们得到一个真命题：如果，其中是整数，且，那么，请解答下列问题：
    如果，其中是整数，且，那么______，______．
    如果，其中是整数，且，那么______，______．
    已知，其中是整数，且，求的值．
20. 如图，一轮船由处向处航行，在处测得处在的北偏东方向上，在海岛上的观察所测得在的南偏西方向上，在的南偏东方向．若轮船行驶到处，那么从处看，两处的视角是多少度？

21. 如图，三角形中，试用平行线的知识证明；
    如图，将线段折断成的形状，证明．
    注意哟：可以直接用中的结论进行证明，也可以用平行线的性质证明

22. 已知在平面直角坐标系中有三点、、请回答如下问题：
    
    在坐标系内描出点、、的位置；
    求出以、、三点为顶点的三角形的面积；
    在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23. 类比学习：一动点沿着数轴向右平移个单位，再向左平移个单位，相当于向右平移个单位．用有理数加法表示为．
    若坐标平面上的点做如下平移：沿轴方向平移的数量为向右为正，向左为负，平移个单位，沿轴方向平移的数量为向上为正，向下为负，平移个单位，则把有序数对叫做这一平移的“平移量”；“平移量”与“平移量”的加法运算法则为．
    解决问题：
    计算：；
    动点从坐标原点出发，先按照“平移量”平移到，再按照“平移量”平移到；若先把动点按照“平移量”平移到，再按照“平移量”平移到，最后的位置与点重合吗？在图中画出四边形，若，则______用含的式子表示；
    如图，一艘船从码头出发，先航行到湖心岛码头，再从码头航行到码头，最后回到出发点请用“平移量”加法算式表示它的航行全过程，并求出三角形的面积．
     

24. 如图，已知点，，不在同一条直线上，．
    
    求证；
    如图，，分别为三等分、所在直线，，，试探究与的数量关系；
    如图，在的前提下，且有，直线、交于点，，请直接写出：：______．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
点在第四象限．
故选：．
横坐标是正数，纵坐标是负数，是点在第四象限的条件．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，
 

2.【答案】 

【解析】解：，
最小的实数是．
故选：．
根据正数大于，负数小于，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小，把这四个数从小到大排列，即可得出答案．
此题考查了实数的大小比较，用到的知识点是正数大于，负数小于，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小．
 

3.【答案】 

【解析】解：由可得，不能判定，故本选项不符合题意；
B.由，能判定，故本选项符合题意；
C.由可得，不能判定，故本选项不符合题意；
D.由，不能判定，故本选项不符合题意．
故选：．
依据平行线的判定方法，即可得出结论．
本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，是有理数，
是无理数，
故选：．
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图形可知：与互为同旁内角的角是与．
故选：．
根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行解答即可．
本题考查了同旁内角的定义．注意在截线的同旁找同旁内角．要结合图形，熟记同旁内角的位置特点．
 

6.【答案】 

【解析】解：由图形得，有两个相等的同位角存在，
所以依据：同位角相等，两直线平行，即可得到所得的直线与已知直线平行．
故选：．
过直线外一点作已知直线的平行线，只有满足同位角相等，才能得到两直线平行．
本题主要考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
 

7.【答案】 

【解析】解：在经过此次平移后对应点，
的平移规律为：向右平移个单位，向下平移个单位，
点经过平移后对应点，
，，
，，
，
故选：．
由在经过此次平移后对应点，可得的平移规律为：向右平移个单位，向下平移个单位，由此得到结论．
本题考查的是坐标与图形变化平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：延长至，如下图所示，

由题意得，，，
，
两直线平行，同位角相等，
，
两直线平行，同位角相等，
，
，
两直线平行，同位角相等，
这条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，
，
，
故选：．
根据平行线的性质即可求解．
本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：平面内没有公共点的两条直线是平行线，所以说法不正确，故不符合题意；
平面内两条不相交的直线叫做平行线，所以说法不正确，故不符合题意；
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以说法正确，故符合题意；
平面内如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等或者互补，所以说法正确，故符合题意．
综上正确有共个．
故选：．
应用平行线的定义及平行线的判定与性质进行判断即可得出答案．
本题主要考查了平行线的判定与性质平行线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质平行线的定义进行求解是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：在中，，，，，
当时，的值最小，
此时：的面积，
，
，
故选：．
当时，的值最小，利用面积法求解即可．
本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了算术平方根的定义，是基础题型，比较简单．
根据算术平方根的定义求出即可．
【解答】
解：．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：由平移的性质可知，小桥的总长度等于长方形池塘周长的一半，
所以长方形池塘的周长为米，
故答案为：．
利用平移的性质得出答案即可．
本题考查平移，理解平移的性质是正确解答的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，为正整数，
的最小值为，
，
，
，为正整数，
的最小值为，
的最小值为．
故答案为：．
先估算、的范围，然后确定、的最小值，即可计算的最小值．
此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是：确定、的最小值．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，

．
，
．
，
．
故答案为：．
根据平行线的性质求得，由于，即可求得的度数．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是本题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：建立平面直角坐标系如图，
黑棋的坐标为或．
故答案为：或．
以白向下个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，再根据平面直角坐标系写出构成一条线写出黑棋的坐标即可．
本题考查了坐标确定位置，确定出坐标原点的位置是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：到轴的距离为，到轴的距离为，
若，即，
则有，
解得或，
不合题意，舍去，
，
若，即或，
则，
解得：，或，
不合题意，舍去，
，
综上，的值为或，
故答案为：或．
由等距点的定义对分类讨论，求出不同情况下的值即可．
本题考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“等距点”．
 

17.【答案】解：


．

，
，
或，
解得：或． 

【解析】首先计算开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
首先求出的值，然后根据平方根的含义和求法，求出的值，进而求出的值即可．
此题主要考查了平方根的含义和求法，以及实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

18.【答案】  内错角相等，两直线平行  已知  等量代换  内错角相等，两直线平行  平行于同一条直线的两条直线平行 

【解析】解：过点作，
内错角相等，两直线平行，
已知，
等量代换，
内错角相等，两直线平行，
平行于同一条直线的两条直线平行，
故答案为：；内错角相等，两直线平行；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．
首先过点作，得出，再由，得出，推出，从而得出．
此题考查的知识点是平行线的判定与性质，关键是通过作角相等及等量代换说明与的关系．
 

19.【答案】      

【解析】解：，
，
，其中是整数，且，
，，
故答案为：，；
，
，
，其中是整数，且，
，，
故答案为：，；
，
，
，其中是整数，且，
，，
，
的值为．
先估算出的值，然后根据已知，其中是整数，且，即可解答；
利用的结论可得，然后根据已知，其中是整数，且，即可解答；
利用的结论可得，再根据已知，其中是整数，且，从而求出，的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
本题考查了估算无理数的大小，实数的运算，绝对值，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图，
在处测得处在的北偏东方向上，则，
在海岛上的观察所测得在的南偏西方向上，在的南偏东方向，
则，，，
，
．
答：从处看，两处的视角是． 

【解析】根据方位角的概念，画出图形，再根据已知转向的角度结合三角形的内角和求解．
本题主要考查方向角的概念，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合三角形的内角和求解．
 

21.【答案】证明：如图，延长到，过点作，
，
两直线平行，同位角相等，
两直线平行，内错角相等，
又平角的定义，
等量代换．
证明：连接并延长，如图，

，，
，
； 

【解析】延长到，过点作，根据两直线平行，同位角相等可得，两直线平行，内错角相等可得，再根据平角的定义列式整理即可得证．
连接并延长，如图，根据三角形外角性质得，，然后把两式相加即可得到结论；
本题考查了三角形的内角和定理的证明，作辅助线把三角形的三个内角转化到一个平角上是解题的关键．
本题考查了三角形外角性质，作辅助线构造三角形的外角是解题的关键．
 

22.【答案】解：描点如图；
依题意，得轴，且，
；
存在；
，，
点到的距离为，
又点在轴上，
点的坐标为或． 

【解析】根据点的坐标，直接描点；
根据点的坐标可知，轴，且，点到线段的距离，根据三角形面积公式求解；
因为，要求的面积为，只要点到的距离为即可，又点在轴上，满足题意的点有两个．
本题考查了点的坐标的表示方法，能根据点的坐标表示三角形的底和高并求三角形的面积．
 

23.【答案】 

【解析】解：；

画图如图所示：

最后的位置仍是．
证明：由知，，，，
，
，
四边形是平行四边形，
．
故答案为：；

从出发，先向右平移个单位，再向上平移个单位，可知平移量为，
同理得到到的平移量为，从到的平移量为，故有
．
．
本题主要是类比学习，所以关键是由给出的例题中找出解题规律，即前项加前项，后项加后项．
根据题中给出的平移量找出各对应点，描出各点，顺次连接即可．
根据题中的文字叙述列出式子，根据中的规律计算即可．
本题考查的是坐标与图形变化平移，掌握“平移量”的定义、平移的性质是解题的关键．
 

24.【答案】：： 

【解析】证明：过点作，如图，

则，
，
，，
，
即；
解：在图中，过点作，则．

，，
，．
，，
．
，
．
解：，
，，
．
，
．
又，
，即，
，，
，
：：：：：：，
故答案为：：：．
过点作，则，根据平行线的性质可得出、，据此可得；
过点作，则，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出，结合的结论可得出；
由的结论可得出，由可得出，联立可求出、的度数，再结合的结论可得出的度数，将其代入：：中可求出结论．
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线．