2022届江苏省兴化顾庄等三校中考数学最后冲刺浓缩精华卷含解析

这是一份2022届江苏省兴化顾庄等三校中考数学最后冲刺浓缩精华卷含解析，共22页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，下面的几何体中，主，某反比例函数的图象经过点等内容，欢迎下载使用。

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．a、b是实数，点A（2，a）、B（3，b）在反比例函数y=﹣的图象上，则（　　）
A．a＜b＜0 B．b＜a＜0 C．a＜0＜b D．b＜0＜a
2．关于x的方程3x+2a=x﹣5的解是负数，则a的取值范围是（　　）
A．a＜ B．a＞ C．a＜﹣ D．a＞﹣
3．如图，是反比例函数图象，阴影部分表示它与横纵坐标轴正半轴围成的区域，在该区域内不包括边界的整数点个数是k，则抛物线向上平移k个单位后形成的图象是　　

A． B．
C． D．
4．圆锥的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面积为（　　）
A．8π B．16π  C．4π D．4π
5．要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x=﹣2 B．x≠2 C．x＞﹣2 D．x≠﹣2
6．如图，△ABC的面积为12，AC＝3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长可能是（　　）

A．3 B．5 C．6 D．10
7．下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是 ( )

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
9．若分式 有意义，则x的取值范围是
A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1 D．x≠0
10．某反比例函数的图象经过点（-2,3），则此函数图象也经过（ ）
A．（2，-3） B．（-3,3） C．（2,3） D．（-4,6）
11．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径圆弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
12．某市公园的东、西、南、北方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入该公园游玩，则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．若关于x的方程有增根，则m的值是 ▲
14．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°．连接AC，则∠A的度数是_____°．

15．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝_______.

16．如图，正方形ABCD边长为3，以直线AB为轴，将正方形旋转一周．所得圆柱的主视图（正视图）的周长是_____．

17．如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，以A为圆心，AB为半径的弧与BE交于点F，则∠EFD＝_____°．

18．一次函数 y=kx+b 的图像如图所示，则当kx+b>0 时，x 的取值范围为___________.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图所示，平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点C；
（1）求c与b的函数关系式；
（2）点D为抛物线顶点，作抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接BC交DE于F，若AE＝DF，求此二次函数解析式；
（3）在（2）的条件下，点P为第四象限抛物线上一点，过P作DE的垂线交抛物线于点M，交DE于H，点Q为第三象限抛物线上一点，作于N，连接MN，且，当时，连接PC，求的值．

20．（6分）如图，在中，，为边上的中线，于点E.
求证：；若，，求线段的长.
21．（6分）如图，点D是AB上一点，E是AC的中点，连接DE并延长到F，使得DE=EF，连接CF．
求证：FC∥AB．

22．（8分）（1）计算：﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣（）﹣1；
（2）先化简，再求值•（a2﹣b2），其中a＝，b＝﹣2．
23．（8分）先化简，再求值：÷，其中m是方程x2＋2x－3＝0的根．
24．（10分）已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：坡顶A到地面PO的距离；古塔BC的高度（结果精确到1米）．

25．（10分）甲、乙两组工人同时开始加工某种零件，乙组在工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（时）之间的函数图象如下图所示．求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式．求乙组加工零件总量a的值．

26．（12分）如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过点P（1，m）作直线PA⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（点B、C不重合），连接CB、CP．
（I）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；
（II）当m＞1时，连接CA，若CA⊥CP，求m的值；
（III）过点P作PE⊥PC，且PE=PC，当点E落在坐标轴上时，求m的值，并确定相对应的点E的坐标．

27．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，以BD为直径的⊙O和AB相切于点P．
（1）求证：BP平分∠ABC；
（2）若PC=1，AP=3，求BC的长．




参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、A
【解析】
解：∵，∴反比例函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，∵点A（2，a）、B（3，b）在反比例函数的图象上，∴a＜b＜0，故选A．
2、D
【解析】
先解方程求出x，再根据解是负数得到关于a的不等式，解不等式即可得.
【详解】
解方程3x+2a=x﹣5得
x=，
因为方程的解为负数，
所以<0，
解得：a＞﹣.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的解，以及一元一次不等式的解法，解一元一次不等式时，要注意的是：若在不等式左右两边同时乘以或除以同一个负数时，不等号方向要改变．
3、A
【解析】
依据反比例函数的图象与性质，即可得到整数点个数是5个，进而得到抛物线向上平移5个单位后形成的图象．
【详解】
解：如图，反比例函数图象与坐标轴围成的区域内不包括边界的整数点个数是5个，即，

抛物线向上平移5个单位后可得：，即，
形成的图象是A选项．
故选A．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象、二次函数的性质与图象，解答本题的关键是明确题意，求出相应的k的值，利用二次函数图象的平移规律进行解答．
4、A
【解析】
解：底面半径为2，底面周长=4π，侧面积=×4π×4=8π，故选A．
5、D
【解析】
试题分析：∵分式有意义，∴x+1≠0，∴x≠﹣1，即x的取值应满足：x≠﹣1．故选D．
考点：分式有意义的条件．
6、D
【解析】
过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，根据折叠得出∠C′AB=∠CAB，根据角平分线性质得出BN=BM，根据三角形的面积求出BN，即可得出点B到AD的最短距离是8，得出选项即可．
【详解】

解：如图：
过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，
∵将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，
∴∠C′AB=∠CAB，
∴BN=BM，
∵△ABC的面积等于12，边AC=3，
∴×AC×BN=12，
∴BN=8，
∴BM=8，
即点B到AD的最短距离是8，
∴BP的长不小于8，
即只有选项D符合，
故选D．
【点睛】
本题考查的知识点是折叠的性质，三角形的面积，角平分线性质的应用，解题关键是求出B到AD的最短距离，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
7、C
【解析】
解：圆柱的主视图是矩形，正方体的主视图是正方形，圆锥的主视图是三角形，三棱柱的主视图是宽相等两个相连的矩形．故选C．
8、C
【解析】
连接AE,根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△AFE≌Rt△ADE,在直角△ECG中，根据勾股定理求出DE的长.
【详解】

连接AE，
∵AB=AD=AF,∠D=∠AFE=90°，
由折叠的性质得：Rt△ABG≌Rt△AFG，
在△AFE和△ADE中，
∵AE=AE，AD=AF，∠D=∠AFE，
∴Rt△AFE≌Rt△ADE，
∴EF=DE，
设DE=FE=x，则CG=3，EC=6−x.
在直角△ECG中，根据勾股定理，得：
(6−x)2+9=(x+3)2，
解得x=2.
则DE=2.
【点睛】
熟练掌握翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定与性质是本题的解题关键.
9、C
【解析】
分式分母不为0，所以，解得.
故选：C.
10、A
【解析】
设反比例函数y=（k为常数，k≠0），由于反比例函数的图象经过点（-2，3），则k=-6，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征分别进行判断．
【详解】
设反比例函数y=（k为常数，k≠0），
∵反比例函数的图象经过点（-2，3），
∴k=-2×3=-6，
而2×（-3）=-6，（-3）×（-3）=9，2×3=6，-4×6=-24，
∴点（2，-3）在反比例函数y=- 的图象上．
故选A．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
11、B
【解析】
解：根据作图过程，利用线段垂直平分线的性质对各选项进行判断：
根据作图过程可知：PB=CP，
∵D为BC的中点，∴PD垂直平分BC，∴①ED⊥BC正确.
∵∠ABC=90°，∴PD∥AB.
∴E为AC的中点，∴EC=EA，∵EB=EC.
∴②∠A=∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④ED=AB正确.
∴正确的有①②④.
故选B．
考点：线段垂直平分线的性质.
12、B
【解析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
画树状图如下：

由树状图可知，共有16种等可能结果，其中佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的有4种等可能结果，
所以佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率为，
故选B．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、1．
【解析】
方程两边都乘以最简公分母（x－2），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使
最简公分母等于1的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出m的值：
方程两边都乘以（x－2）得，2－x－m=2（x－2）．
∵分式方程有增根，∴x－2=1，解得x=2．
∴2－2－m=2（2－2），解得m=1．
14、4．
【解析】
试题分析：连结BC，因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，又因为BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，∠BDC＝440°，所以CD=BD,所以∠BCD＝∠DBC＝4°,又∠ABD＝90°，所以∠A=∠DBC＝4°．
考点：4．圆周角定理；4．切线的性质；4．切线长定理．
15、48°
【解析】
连接OA，分别求出正五边形ABCDE和正三角形AMN的中心角，结合图形计算即可．
【详解】
连接OA，

∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB==72°，
∵△AMN是正三角形，
∴∠AOM==120°，
∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=48°，
故答案为48°．
点睛：本题考查的是正多边形与圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．
16、1．
【解析】
分析：所得圆柱的主视图是一个矩形，矩形的宽是3，长是2．
详解：矩形的周长=3+3+2+2=1.
点睛：本题比较容易，考查三视图和学生的空间想象能力以及计算矩形的周长．
17、45
【解析】
由四边形ABCD为正方形及半径相等得到AB＝AF＝AD，∠ABD＝∠ADB＝45°，利用等边对等角得到两对角相等，由四边形ABFD的内角和为360度，得到四个角之和为270，利用等量代换得到∠ABF＋∠ADF＝135°，进而确定出∠1＋∠2＝45°，由∠EFD为三角形DEF的外角，利用外角性质即可求出∠EFD的度数．
【详解】
∵正方形ABCD，AF，AB，AD为圆A半径，
∴AB＝AF＝AD，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴∠ABF＝∠AFB，∠AFD＝∠ADF，
∵四边形ABFD内角和为360°，∠BAD＝90°，
∴∠ABF＋∠AFB＋∠AFD＋∠ADF＝270°，
∴∠ABF＋∠ADF＝135°，
∵∠ABD＝∠ADB＝45°，即∠ABD＋∠ADB＝90°，
∴∠1＋∠2＝135°−90°＝45°，
∵∠EFD为△DEF的外角，
∴∠EFD＝∠1＋∠2＝45°．
故答案为45
【点睛】
此题考查了切线的性质，四边形的内角和，等腰三角形的性质，以及正方形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
18、x>1
【解析】
分析：题目要求 kx+b>0，即一次函数的图像在x 轴上方时，观察图象即可得x的取值范围.
详解：
∵kx+b>0，
∴一次函数的图像在x 轴上方时，
∴x的取值范围为：x>1.
故答案为x>1.
点睛：本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，主要考查学生的观察视图能力.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）把A（-1，0）代入y=x2-bx+c，即可得到结论；
（2）由（1）得，y=x2-bx-1-b，求得EO=，AE=+1=BE，于是得到OB=EO+BE=++1=b+1，当x=0时，得到y=-b-1，根据等腰直角三角形的性质得到D（，-b-2），将D（，-b-2）代入y=x2-bx-1-b解方程即可得到结论；
（3）连接QM，DM，根据平行线的判定得到QN∥MH，根据平行线的性质得到∠NMH=∠QNM，根据已知条件得到∠QMN=∠MQN，设QN=MN=t，求得Q（1-t，t2-4），得到DN=t2-4-（-4）=t2，同理，设MH=s，求得NH=t2-s2，根据勾股定理得到NH=1，根据三角函数的定义得到∠NMH=∠MDH推出∠NMD=90°；根据三角函数的定义列方程得到t1=，t2=-（舍去），求得MN=，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
（1）把A（﹣1，0）代入，
∴，
∴；
（2）由（1）得，，
∵点D为抛物线顶点，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
将代入得，，
解得：，（舍去），
∴二次函数解析式为：；
（3）连接QM，DM，

∵，，
∴，∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，设，则，
∴，同理，
设，则，∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，，
∵，
∴，即，
解得：，（舍去），
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
过P作于T，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行线的性质，三角函数的定义，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20、（1）见解析；（2）.
【解析】
对于（1），由已知条件可以得到∠B=∠C，△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质易得AD⊥BC，∠ADC=90°；接下来不难得到∠ADC=∠BED，至此问题不难证明；
对于（2），利用勾股定理求出AD，利用相似比，即可求出DE.
【详解】
解：（1)证明：∵，
∴.
又∵为边上的中线，
∴.
∵，
∴，
∴.
(2)∵，∴.
在中，根据勾股定理，得.
由（1）得，∴，
即，
∴.
【点睛】
此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
21、答案见解析
【解析】
利用已知条件容易证明△ADE≌△CFE，得出角相等，然后利用平行线的判定可以证明FC∥AB．
【详解】
解：∵E是AC的中点，∴AE=CE．
在△ADE与△CFE中，∵AE=EC，∠AED=∠CEF，DE=EF，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴∠EAD=∠ECF，∴FC∥AB．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定定理．通过全等得角相等，然后得到两线平行时一种常用的方法，应注意掌握运用．
22、 (1)-2 (2)-
【解析】
试题分析：（1）将原式第一项被开方数8变为4×2，利用二次根式的性质化简第二项利用特殊角的三角函数值化简，第三项利用零指数公式化简，最后一项利用负指数公式化简，把所得的结果合并即可得到最后结果；
（2）先把和a2﹣b2分解因式约分化简，然后将a和b的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．
解：（1）﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣（）﹣1
=2﹣2×+1﹣3
=2﹣+1﹣3
=﹣2；
（2）•（a2﹣b2）
=•（a+b）（a﹣b）
=a+b，
当a=，b=﹣2时，原式=+（﹣2）=﹣．
23、原式=，当m=l时，原式=
【解析】
先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于m是方程x2+3x-1=0的根，那么m2+3m-1=0，可得m2+3m的值，再把m2+3m的值整体代入化简后的式子，计算即可．
解：原式=
∵x2+2x-3=0， ∴x1=-3,x2 =1
∵‘m是方程x2 +2x-3=0的根， ∴m=-3或m=1
∵m+3≠0, ∴.m≠-3, ∴m=1
当m=l时，原式：
“点睛”本题考查了分式的化简求值、一元二次方程的解，解题的关键是通分、约分，以及分子分母的因式分解、整体代入．
24、 (1)坡顶到地面的距离为米；移动信号发射塔的高度约为米．
【解析】
延长BC交OP于H.在Rt△APD中解直角三角形求出AD＝10.PD＝24.由题意BH＝PH.设BC＝x.则x+10＝24+DH.推出AC＝DH＝x﹣14.在Rt△ABC中.根据tan76°＝,构建方程求出x即可.
【详解】
延长BC交OP于H．

∵斜坡AP的坡度为1：2.4,
∴,
设AD＝5k,则PD＝12k,由勾股定理,得AP＝13k,
∴13k＝26,
解得k＝2,
∴AD＝10,
∵BC⊥AC,AC∥PO,
∴BH⊥PO,
∴四边形ADHC是矩形,CH＝AD＝10,AC＝DH,
∵∠BPD＝45°,
∴PH＝BH,
设BC＝x,则x+10＝24+DH,
∴AC＝DH＝x﹣14,
在Rt△ABC中,tan76°＝,即≈4.1．
解得：x≈18.7,
经检验x≈18.7是原方程的解．
答：古塔BC的高度约为18.7米．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形,用到的知识点是勾股定理,锐角三角函数,坡角与坡角等,解决本题的关键是作出辅助线,构造直角三角形．
25、（1）y=60x；（2）300
【解析】
（1）由题图可知，甲组的y是x的正比例函数.
设甲组加工的零件数量y与时间x的函数关系式为y=kx.
根据题意，得6k=360，
解得k=60.
所以，甲组加工的零件数量y与时间x之间的关系式为y=60x.
（2）当x=2时，y=100.因为更换设备后，乙组工作效率是原来的2倍.
所以，解得a=300.
26、（I）4；（II） （III）（2，0）或（0，4）
【解析】
（I）当m=3时，抛物线解析式为y=-x2+6x，解方程-x2+6x=0得A（6，0），利用对称性得到C（5，5），从而得到BC的长；
（II）解方程-x2+2mx=0得A（2m，0），利用对称性得到C（2m-1，2m-1），再根据勾股定理和两点间的距离公式得到（2m-2）2+（m-1）2+12+（2m-1）2=（2m-1）2+m2，然后解方程即可；
（III）如图，利用△PME≌△CBP得到PM=BC=2m-2，ME=BP=m-1，则根据P点坐标得到2m-2=m，解得m=2，再计算出ME=1得到此时E点坐标；作PH⊥y轴于H，如图，利用△PHE′≌△PBC得到PH=PB=m-1，HE′=BC=2m-2，利用P（1，m）得到m-1=1，解得m=2，然后计算出HE′得到E′点坐标．
【详解】
解：（I）当m=3时，抛物线解析式为y=﹣x2+6x，
当y=0时，﹣x2+6x=0，解得x1=0，x2=6，则A（6，0），
抛物线的对称轴为直线x=3，
∵P（1，3），
∴B（1，5），
∵点B关于抛物线对称轴的对称点为C
∴C（5，5），
∴BC=5﹣1=4；
（II）当y=0时，﹣x2+2mx=0，解得x1=0，x2=2m，则A（2m，0），
B（1，2m﹣1），
∵点B关于抛物线对称轴的对称点为C，而抛物线的对称轴为直线x=m，
∴C（2m﹣1，2m﹣1），
∵PC⊥PA，
∴PC2+AC2=PA2，
∴（2m﹣2）2+（m﹣1）2+12+（2m﹣1）2=（2m﹣1）2+m2，
整理得2m2﹣5m+3=0，解得m1=1，m2=，
即m的值为；
（III）如图，
∵PE⊥PC，PE=PC，
∴△PME≌△CBP，
∴PM=BC=2m﹣2，ME=BP=2m﹣1﹣m=m﹣1，
而P（1，m）
∴2m﹣2=m，解得m=2，
∴ME=m﹣1=1，
∴E（2，0）；
作PH⊥y轴于H，如图，
易得△PHE′≌△PBC，
∴PH=PB=m﹣1，HE′=BC=2m﹣2，
而P（1，m）
∴m﹣1=1，解得m=2，
∴HE′=2m﹣2=2，
∴E′（0，4）；
综上所述，m的值为2，点E的坐标为（2，0）或（0，4）．

【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．
27、（1）证明见解析；（2）．
【解析】
试题分析：（1）连接OP，首先证明OP∥BC，推出∠OPB=∠PBC，由OP=OB，推出∠OPB=∠OBP，由此推出∠PBC=∠OBP；
（2）作PH⊥AB于H．首先证明PC=PH=1，在Rt△APH中，求出AH，由△APH∽△ABC，求出AB、BH，由Rt△PBC≌Rt△PBH，推出BC=BH即可解决问题.
试题解析：
（1）连接OP，
∵AC是⊙O的切线，
∴OP⊥AC，
∴∠APO=∠ACB=90°，
∴OP∥BC，
∴∠OPB=∠PBC，
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，
∴∠PBC=∠OBP，
∴BP平分∠ABC；
（2）作PH⊥AB于H．则∠AHP=∠BHP=∠ACB=90°，
又∵∠PBC=∠OBP，PB=PB，
∴△PBC≌△PBH ，
∴PC=PH=1，BC=BH，
在Rt△APH中，AH=，
在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2
∴(AP+PC)2+BC2=(AH+HB)2，
即42+BC2=(+BC)2，
解得．