2022年江苏省宿迁市沭阳县中考数学调研试卷-（含解析）

2022年江苏省宿迁市沭阳县中考数学调研试卷

一．选择题（本题共8小题，共32分）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 截至年月日，“祝融号”火星车在距离地球千米的火星表面工作个火星日，数据用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列生活现象，可以用基本事实“两点之间，线段最短”解释的是(    )

A. 汽车的雨刮器把玻璃上的水刷干净
B. 开山挖隧道，把上坡下坡的盘山公路改为平直的隧道
C. 公园的喷泉中，喷水龙头喷出的圆形水面
D. 建筑工人通过在两个柱子之间拉一条绳子砌墙

5. 已知，则锐角的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图所示，在平行四边形中，与相交于点，为的中点，连接并延长交于点，则：(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

7. 已知长方形纸条，点，在边上，点，在边上．将纸条分别沿着，折叠，如图，当恰好落在上时，与的数量关系是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 如图，位于第一象限，，，直角顶点在直线上，其中点的横坐标为，且两条直角边、分别平行于轴、轴，若函数的图象与有交点，则的最大值是(    )

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共10小题，共40分）

9. 分解因式： ______ ．
10. 已知：，，则______．
11. 若不等式，两边同除以，得，则的取值范围为______．
12. 若一个圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥体的侧面积为______．
13. 甲、乙两位同学在近五次数学测试中，平均成绩均为分，方差分别为、，甲、乙两位同学成绩较稳定的是______同学．
14. 如图，正五边形中，对角线与相交于点，则______度．

15. 二次函数的部分图象如图所示，当时，的取值范围是______．

16. 如图，是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，且与三边相切，已知，，，若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率______取．

17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是______．

18. 如图，已知点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着轴的正方向运动，经过秒后，以，为顶点作菱形，使，且，点都在第一象限内．若以为圆心，为半径的圆恰好与所在的直线相切，则______．

三．解答题（本题共10小题，共78分）

19. 计算与解方程：
    ；
    ．
20. 化简，并从，，中，取一个合适的数作为的值代入求值．
21. 如图，已知，求证：．

22. 某校开展社团活动，项目有：羽毛球、葫芦丝、茶艺表演．小红从三项中随机抽取，求下列事件的概率．
    抽取一项，恰好是羽毛球的概率是______；
    抽取两项，请用列表法或画树状图，求出羽毛球被抽中的概率．
23. 某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷每人必选且只选一种，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
    这次统计共抽查了______名学生；
    将条形统计图补充完整；
    该校共有名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？
     

24. 如图，一扇窗户垂直打开，即打开到的状态，是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点处，另一端在上滑动，将窗户按图示方向向内旋转到达位置，此时，点、的对应位置分别是点、测出此时为，的长为求滑动支架的长．精确到，，．

25. 如图，内接于，是的直径，是的切线，点为切点，，连接交于点．
    求证，．
    若，，求的长．

26. 年，冬奥会和冬残奥会在北京举办，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱．年月初，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩域”和“雪容融”这两款毛绒玩具，当月售出了“冰墩墩”个和“雪容融”个，销售总额为元；月售出了“冰墩墩”个和“雪容融”个，销售总额为元．
    求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；
    已知“冰墩境”和“雪容融”的成本分别为元个和元个；旗舰店准备用元全部购进这两款毛绒玩具．该旗舰店进货时，厂家要求“雪容融”的购进数量不超过“冰墩墩”的购进数量，若购进的这两款毛绒玩具全部售出，则如何设计进货方案才能使该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润．
27. 如图，在矩形中，、、分别为边、、的中点，连接、，为中点，连接，将绕点旋转．
    
    当旋转到如图的位置，连接、，若，且，则______，______；
    已知，．
    当旋转到如图位置时，连接，猜想与之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
    在旋转过程中，射线，相交于点，连接，有最小值吗？
    若有，请直接写出的最小值；若没有，请说明理由．
28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点．
    
    求点的坐标；
    如图，连接，点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交线段于点，连接、，记的面积为，的面积为，求的最大值及此时点的坐标；
    如图，连接，并将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，动点在原抛物线的对称轴上，点为新抛物线与轴的交点，当为以为腰的等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据相反数的意义，即可解答．
本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、与不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：、汽车的雨刮器把玻璃上的水刷干净，根据是线动成面，故此选项不合题意；
B、开山挖隧道，把上坡下坡的盘山公路改为平直的隧道，根据两点之间，线段最短，故此选项符合题意；
C、公园的喷泉中，喷水龙头喷出的圆形水面，根据点动成线，故此选项不合题意；
D、建筑工人通过在两个柱子之间拉一条绳子砌墙，根据是两点确定一条直线，故此选项不合题意．
故选：．
利用垂线段的性质、直线的性质、线段的性质进行解答即可．
此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．
 

5.【答案】 

【解析】解：，为锐角，，
．
故选C．
直接根据进行解答即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明∽，然后根据对应边成比例求值．
首先证明∽，然后利用对应边成比例，为的中点，求出：的值，又知，即可得出：的值．
【解答】
解：在平行四边形中，，
则∽，
，
为对角线的交点，
，
又为的中点，
，
则：：，
：：，
，
：：，
：：．
故选D．  

7.【答案】 

【解析】解：恰好落在上，
，
，
，
由折叠得，，，
，
故选：．
根据折叠的性质和平角的定义解答即可．
本题考查折叠的性质和角平分线的定义，由折叠的性质得到，是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
则函数的解析式为：，
根据题意，得，
即，
，
解得，
故的最大值为，
故选：．
根据题意得出点，点和点的坐标，用待定系数法求出直线的解析式，联立直线的解析式和反比例函数的解析式，根据得出的取值，即可得出的最大值．
本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质及利用判别式求的取值是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
首先找出公因式，进而提取公因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
逆向应用同底数幂的乘法法则计算即可．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
本题考查了同底数幂的乘法，掌握幂的运算性质是解答本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：不等式，两边同除以，得，
．
故答案为：．
根据不等式的基本性质，结合不等式的解集确定出的范围即可．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设侧面展开图所得扇形的半径为，
根据题意得，解得，
所以该圆锥体的侧面积．
故答案为．
设侧面展开图所得扇形的半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，解得，然后根据扇形面积公式求解．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

13.【答案】甲 

【解析】解：，，
，
甲、乙两位同学成绩较稳定的是甲同学，
故答案为：甲．
根据方差的意义：方差越小，它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此求解可得．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则它与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键．根据五边形的内角和公式求出，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可．
【解答】
解：五边形是正五边形，
，
，
，
同理，
．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线，经过，
抛物线与轴的另一个交点为．
抛物线在轴的上方部分，
当时，的取值范围是．
故答案为：．
利用抛物线的对称性求得二次函数与轴的另一个交点的坐标，结合图形中在轴上方部分对应的值即可得出结论．
本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的交点坐标和利用数形结合的方法解答是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如下图，设圆形水池与三边相切且切点分别为，，，圆形水池的中心为，

连接、、，
设，则，，
由，得，
解得，
，，
是直角三角形，，
、分别是圆与和相切的切点，
，，
四边形是正方形，
即，
，
落入水池的概率为，
故答案为：．
设圆形水池与三边相切且切点分别为，，，圆形水池的中心为，由切线长定理求出，再利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形，由圆的面积公式和直角三角形的面积公式可求出结果．
本题主要考查勾股定理逆定理，切线长定理，熟练掌握勾股定理逆定理，切线长定理和圆的面积公式及三角形的面积公式是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象分别交、轴于点、，
令，得，令，则，
，，
，，
过作交于，过作轴于，

，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在与中，

≌，
，，
，
设直线的函数表达式为：，
，
，
直线的函数表达式为：，
故答案为：．
根据已知条件得到，，求得，，过作交于，过作轴于，得到，证明≌，根据全等三角形的性质得到，，求得，设直线的函数表达式为：，利用待定系数法即可得到结论．
本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，当时，与直线相切，过点作于点．

，
，
，，
，
，
，，
，
，
点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着轴的正方向运动，
．
故答案为：．
如图，当时，与直线相切，过点作于点解直角三角形求出，可得结论．
本题考查切线的判定和性质，解直角三角形，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

19.【答案】解：


；
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，解分式方程，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式


，
，，
，
当时，
原式． 

【解析】括号内先通分后计算分式减法，然后将除法转化为乘法计算，最后选取合适的代入求值即可．
本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则并准确化简分式．
 

21.【答案】证明：连接，

在与中，
，
≌，
． 

【解析】连接，利用边边边证明≌，由全等三角形的性质即可求解．
此题主要考查了全等三角形的性质与判定，此题主要利用边边边判定三角形全等．
 

22.【答案】 

【解析】解：由题意知，小红从三项中随机抽取，恰好是羽毛球的概率是，
故答案为：；
根据题意画出树状图如下：

羽毛球被抽中的概率是．
根据概率的定义得出结论即可；
画出树状图或列表格得出概率即可．
本题主要考查概率的知识，熟练掌握树状图的画法及概率的定义是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：这次统计共抽查的学生数是：名，
故答案为：；
喜欢“短信”方式的人数为名，
喜欢“微信”方式的人数为名
补全统计图如下：

喜欢用微信沟通所占百分比为：，
人，
答；估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生约有名．
用喜欢使用电话的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
先求出喜欢“短信”方式的人数以及喜欢“微信”方式的人数，即可补全条形统计图；
先求出喜欢用微信沟通所占百分比，再乘以该校的总人数即可．
本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
 

24.【答案】解：由题意可知：，，，
，
在中，，
，
，
，
，
答滑动支架的长约为． 

【解析】利用三角函数求出的长，根据求出的长即可得出的长．
本题主要考查解直角三角形的知识，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键．
 

25.【答案】证明：是的切线，点为切点，
，
，
，
，
是的直径，
，即，
，
，
，
；
解：，
，
令，则，
设，则，
在中，
，
，
，
又，，
，
，
故BC的长为． 

【解析】根据等腰三角形的性质，圆周角定理以及等量代换得出，即，也就是，而，，进行等量代换，进而得出结论；
根据锐角三角函数设，表示、、，在中由勾股定理列方程求解即可．
本题考查切线的判定，等腰三角形的性质以及直角三角形的边角关系，解题关键是掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质．
 

26.【答案】解：设“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为元和元，
由题意可得：，
解得，
答：“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为元和元；
设购进“冰墩墩”个，购进“雪容融”个，利润为元，
旗舰店准备用元全部购进这两款毛绒玩具，
，
解得，
，
随的增大而减小，
厂家要求“雪容融”的购进数量不超过“冰墩墩”的购进数量，
，
解得，
当时，取得最大值，此时，，
答：“冰墩墩”和“雪容融”各购进个时，该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为元． 

【解析】根据当月售出了“冰墩墩”个和“雪容融”个，销售总额为元；月售出了“冰墩墩”个和“雪容融”个，销售总额为元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
根据题意可以写出利润与购进的“冰墩墩”数量的函数关系，然后根据旗舰店准备用元全部购进这两款毛绒玩具．该旗舰店进货时，厂家要求“雪容融”的购进数量不超过“冰墩墩”的购进数量，可以求得购进冰墩墩”数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得利润的最大值．
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
 

27.【答案】   

【解析】解：如图中，

四边形是矩形，，
四边形是正方形，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
故答案为：，；

猜想：，，理由如下，
如图，连接，延长交于，交于，
，，，分别为边，的中点，
，
由旋转可知：，
，
又，
∽，
，，
，
点是的中点，点是的中点，
，，
，
，，
，
，
．

存在．
理由：如图中，连接．
，
，
点在为直径的圆上运动，
，
点的运动轨迹是为圆心，为半径的圆，
当与相切时，的值最小，
延长交的延长线于点．
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，
的最小值．
证明≌，推出，再利用三角形中位线定理，解决问题即可；
猜想：，，如图，连接，延长交于，交于，证明∽，推出，，可得结论；
如图中，连接由，推出，推出点在为直径的圆上运动，由，推出点的运动轨迹是为圆心，为半径的圆，推出当与相切时，的值最小，延长交的延长线于点求出，，利用勾股定理求出即可．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

28.【答案】解：抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，
令，得，解得，，
点在点的左侧，
点的坐标为；

如图，延长交轴于点，

抛物线与轴交于点，
，
设直线的函数表达式为，
，，
，
解得，
直线的函数表达式为，
设，其中，
，，
，
，
，
，
当时，取得最大值，最大值为，
此时点的坐标为；

，，
，
抛物线沿射线方向平移个单位长度，
抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，
平移后的抛物线解析式为，
当时，，
，
原抛物线的对称轴为直线，
设，
当时，，
，
或；
当时，，
或，
或；
综上所述：点坐标为或或或 

【解析】令，即可求点坐标；
延长交轴于点，求出直线的函数表达式为，设，其中，则，，即可求，当时，取得最大值，最大值为，此时点的坐标为；
由题意可求抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，可求，设，分两种情况当时，，得到或；当时，，得到或
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数解析式、二次函数图象上点坐标特征、三角形的面积，等腰三角形的性质，平移的性质等知识，设点的坐标，用含字母的代数式表示相关线段的长度是解题的关键．