数学八年级上册3 反证法课后复习题

（勾股定理的逆定理）

1.如图所示,△ABC中,若∠A=75°,∠C=45°,AB=2,则AC的长等于(   )

  A.2      B.2 

  C.       D.

知识点：转化的数学思想、勾股定理

知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

答案：C

详细解答：作BC边上的高AD,

△     ABC中,∠BAC=75°,∠C=45°，那么∠B=60°，从而∠BAD=30°

在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=2,所以BD=1，AD=

在Rt△ACD中，∠C=45°，AD=,所以CD=AD=，

 利用勾股定理可得AC=。

1．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，∠A=60°，CD=，线段AB长为（   ）。

A.2      B.3

C.4      D.3 

答案：C

分析：欲求AB，可由AB=BD+AD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD和AD。或欲求AB，可由，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC和BC。

详细解答：在Rt△ACD中，∠A=60°，那么∠ACD=30°，又已知CD=,所以利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出AD=1。

在Rt△ACB中，∠A=60°，那么∠B=30°。

在Rt△BCD中，∠B=30°，又已知CD=,所以BC=2，利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出BD=3。

因此AB=BD+CD=3+1=4，

小结：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。

2．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，则它的形状为

A．直角三角形     B．等腰三角形

C．等腰直角三角形    D．等腰三角形或直角三角形

知识点：综合代数变形和勾股定理的逆定理判断三角形的形状

知识点的描述：这类问题常常用到代数中的配方、因式分解，再结合几何中的有关定理不难作出判断。

答案：D

详细解答：∵ a2c2－b2c2=a4－b4，∴左右两边因式分解得

∴   ∴或，

即或，所以三角形的形状为等腰三角形或直角三角形。

2．若△ABC的三边a，b，c满足(c-b)2+︱a2-b2-c2︱=0，则△ABC是（     ）

（A）等腰三角形               （B）直角三角形 

（C）等腰直角三角形              （D）等腰三角形或直角三角形

答案：C

详细解答：∵(c-b)2+︱a2-b2-c2︱=0，∴c-b =0且a2-b2-c2=0   即且，

所以三角形的形状为等腰直角三角形。

3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（    ）

知识点：勾股定理的逆定理

知识点的描述：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最大的边就是斜边。

满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．最好能记住常见的几组勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17等。

答案：C

详细解答：A图和B图中右边的三角形三边不存在某两边的平方和等于第三边的平方，不是直角三角形。D图中两个的三角形三边都不存在某两边的平方和等于第三边的平方，都不是直角三角形。只有C图中的两个三角形都是直角三角形。

3．在下列说法中是错误的（   ）

    A．在△ABC中，（为正整数，且），则△ABC为直角三角形.

    B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为直角三角形.

    C．在△ABC中，若，则△ABC为直角三角形.

    D．在△ABC中，若a：b：c＝5：12：13，则△ABC为直角三角形.

答案：B

详细解答： 在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么最大角∠C＝

不是直角三角形。

△ABC三条边的比为a:b:c＝5:12:13，则可设a＝5k，b＝12k，c＝13k，a2＋b2＝25k2＋144k2＝169k2，c2＝(13k)2＝169k2，所以，a2＋b2＝c2，△ABC是直角三角形．

4. 下列各命题的逆命题不成立的是(     )

A.两直线平行,同旁内角互补；  B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等

C.对顶角相等                 D.如果a2=b2,那么a=b

知识点：互逆命题

知识点的描述：如果一个命题的题设是另一个命题的结论，而结论又是另一个命题的题设，那么这样的两个命题是互逆命题。一个命题和它的逆命题的真假没有什么联系。

答案：C

详细解答：“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然这是一个假命题。

4．下列命题的逆命题成立的是（     ）

（A）若a=b，则              （B）全等三角形的周长相等

（C）同角（或等角）的余角相等     （D）若a=0，则ab=0

答案：C

详细解答：（A）的逆命题是：若，则a=b。不一定成立，也可能a=-b

（B）的逆命题是：周长相等的三角形全等。不一定成立，两个三角形周长相等，形状不一定就相同。

（D）的逆命题是：若ab=0，则a=0。不一定成立，也可能是b=0，而a≠0。

5．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，

离开港口2小时后，两船相距（　　）  

A.25海里     B.30海里  

C.35海里     D.40海里

知识点：勾股定理的实际应用题

知识点的描述：求距离或某个长度是很常见的实际应用题，这种问题一般转化为几何中的求线段长度问题，通常是在现有的直角三角形或构建的直角三角形中，利用勾股定理求出线段的长度，从而解决实际问题。

答案：D

详细解答：画出答题图，由题意知，三角形ABC是直角三角形，

AC=32海里，AB=24海里，

根据勾股定理得BC2=AC2+AB2=322+242=1600，

所以BC=40（海里）

5．有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计）要求木条不能露出木箱．请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（     ）

A．       B．       C．       D．

答案：C

详细解答：画出如图所示的木箱图，图中AD的长度就是能放入的细木条的最大长度，由题意知CB=5cm、CA=4cm、BD=3cm

在Rt△ACB中，AC和BC 是直角边，AB是斜边，AB2=AC2+CB2=41,

在Rt△ADB中，AB和BD 是直角边，AD是斜边，AD2=AB2+BD2

=41+9=50,所以AD=

6．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（   ）

A．直角三角形      B．锐角三角形   

C．钝角三角形      D．以上答案都不对

知识点：网格问题，勾股定理和逆定理

知识点的描述：网格问题是常见的问题，解决这种问题要充分的利用正方形网格。

勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形

答案：A

详细解答：把△ABC的各边分别放在不同的直角三角形中，给出必须的点的名称，画出图形。

在Rt△BCD中， CD=1，DB=8，那么CB2=CD2+BD2=65，

在Rt△ACE中， AE=2，CE=3，那么AC2=AE2+CE2=13，

在Rt△ABF中， AF=6，BF=4，那么AB2=AF2+BF2=52，

所以，在△ABC中， AC2+AB2=13+52=65，

又CB2=65，所以，AC2+AB2= CB2，根据勾股定理的逆定理可知三角形ABC是直角三角形

6．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形网格，则图中四边形的面积是 (    )

   A.25            B.12.5      

   C. 9            D.8.5

答案：B

详细解答：S四边形EFGH =SABCD -S△DEF -S△CFG -S△BGH -S△AEH

=5×5-×1×2-×3×3-×2×3-×2×4=12.5

7.如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求得四边形ABCD的面积.（    ）

A.  36          B.  25    

C.  24          D.  30

知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用

知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

答案：A

分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD是直角三角形.

详细解答：连接AC，在Rt△ABC中，

AC2=AB2＋BC2=32＋42=25，   ∴ AC=5.

在△ACD中，∵ AC2＋CD2=25＋122=169，

又∵ AD2=132=169，

∴ AC2＋CD2=AD2，∴ ∠ACD=90°．

故S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD=AB·BC＋AC·CD

=×3×4＋×5×12=6＋30=36.

7．在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝，CD＝5，DA＝4，∠B＝90°，那么四边形ABCD的面积是(      )。

A.  10           B.       

 C.         D.

答案：B

详细解答：连接AC，在Rt△ABC中，AB＝2，，BC＝

所以＝＋＝9

所以AC＝3

又因为，

所以

所以∠CAD＝90°

所以＝×2×＋×3×4＝

8.已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。

那么四边形ABCD的面积是(      )。

A. 24             B.  36

C. 18             D.  20

知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用

知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

答案：C

详细解答：如图，作DE∥AB，连结BD，可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；

所以DE=AB=4，BE=AD=3，EC=BC-EB=6-3=3；

在△DEC中，EC=3；DE=4，CD=5，

3、4、5勾股数，所以△DEC为直角三角形，DE⊥BC；

利用梯形面积公式可得：四边形ABCD的面积是（3+6）×4=18

8．已知，△ABC中，AB中，AB＝17cm，BC＝16cm，BC边上的中线AD＝15cm，求AC得(     )。

A. 15            B.  16            C. 17             D.  18

答案：C

详细解答：如图，∵AD是BC边上的中线，BC＝16cm

∴BD＝8cm

∴在△ABD中：AB＝17cm，AD＝15cm，BD＝8cm

则有：

∴∠ADB＝90°

∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°

在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝15cm，CD＝8cm

根据勾股定理得：AC＝＝17 （cm）

9.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD，△ABC是(     )。

A. 直角三角形            B.  等腰三角形

C. 不等边三角形          D.  等边三角形

知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用

知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

答案：A

详细解答：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2

∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2

又∵CD2=AD·BD

∴AC2+BC2=AD2+2AD·BD+BD2

=（AD+BD）2=AB2

  所以△ABC是直角三角形。

9．如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求得∠BPC的度数（    ）．

A.  115°        B.  125°   

C.  135°        D.  120°

答案：C

详细解答：如答图，

将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合，即△APC≌△BEC,

∴△PCE为等腰Rt△，∴∠CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8.

 又∵PB2=1，BE2=9，

∴PE2+ PB2= BE2,则∠BPE=90°，

∴∠BPC=135°.

10．已知：如图正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DC上且DF＝DC，判断△BEF为（    ）。

A. 直角三角形            B.  等腰三角形

C. 不等边三角形          D.  等边三角形

知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用

知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

答案：A

详细解答： 设DF＝a，则DE＝AE＝2a，CF＝3a，AB＝BC＝4a。

在Rt△ABE中，BE2＝AB2＋AE2＝（4a）2＋(2a)2＝20a2

在Rt△DEF中，EF2＝DE2＋DF2＝（2a）2＋a2＝5a2

在Rt△BCF中，BF2＝BC2＋CF2＝（4a）2＋(3a)2＝25a2

所以BE2＋EF2＝BF2

所以∠BEF＝90°

所以△BEF为直角三角形。  

10．如图，△ABC中，D是AB的中点，AC＝12，BC＝5，CD＝。△ABC为（   ）

A. 直角三角形          B.  等腰三角形

C. 锐角三角形          D.  钝角三角形

答案：A

详细解答：

延长CD到点E，使得DE＝CD，连接AE

∵CD＝，DE＝CD

∴CE＝13

∵在△ADE和△BDC中

∴△ADE≌△BDC

∴AE＝BC＝5

在△AEC中：AE＝5，AC＝12，CE＝13

即，∴∠EAC＝90°

∵∠EAB＝∠CBA

∴∠CAB＋∠CBA＝∠CAB＋∠EAB＝90°

∴∠ACB＝90°

∴△ACB为直角三角形