2021-2022学年江苏省苏州市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省苏州市八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20分）

1. 下列四个图标中，轴对称图案是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列四个数中，无理数是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若点在轴上，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的值可能为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，，，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 在中，为边上的中线，，下列结论：是直角三角形；是等边三角形；；，其中正确结论的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 苏州素有“园林之城”美誉，以拙政园、留园为代表的苏州园林“咫尺之内再造乾坤”，是中华园林文化的翘楚和骄傲．如图，某园林中一亭子的顶端可看作等腰，其中，若是边上的一点，则下列条件不能说明是角平分线的是(    )

A. 点到，的距离相等 B.
C.  D.

9. 定义一种“”运算：，例如：，则方程的解是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 为落实“五育并举”，某校利用课后延时服务时间进行趣味运动，甲同学从跑道处匀速跑往处，乙同学从处匀速跑往处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为秒，甲、乙两人之间的距离为米，与之间的函数关系如图所示，则图中的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

11. 的平方根是______．
12. 北京年冬奥会志愿者招募活动于年月日启动，截至到年月日，共有来自全球个国家和地区的超过人报名．将用四舍五入法精确到，并用科学记数法表示，则可表示为______．
13. 化简：______．
14. 已知点，是一次函数图象上的两点，则______填“”、“”或“”
15. 如图，已知中，，垂足为，是的角平分线，是的中点，若，，，则点到的距离为______．

16. 如图，三角形纸片中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在延长线上的点处，则的长为______．

17. 已知是一次函数图象上一点，则的最小值是______．
18. “”是一款数学应用软件，用“”绘制的函数和的图象如图所示．若，分别为方程和的一个解，则根据图象可知 ______填“”、“”或“”．

三、解答题（本大题共10小题，共64分）

19. 计算：．
20. 如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：≌．

21. 如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都在格点上．
    画出关于轴对称的；
    点为轴上一动点，当取得最小值时，点的坐标为______．

22. 滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱，垂直于地面，滑道的长度与点到点的距离相等，滑梯高，且，求滑道的长度．

23. 如图，已知直线：与直线平行，与轴交于点，与轴交于点直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．
    求直线对应的函数表达式；
    求四边形的面积．

24. 如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．
    求证：；
    若，，求的周长．

25. 第十一届江苏书展在苏州国际博览中心设有个展台，并在全省多地线上、线下同步举行．本届书展设置了“读经典、学四史、童心向党和百年辉煌”等活动．为保障书展的准备工作比原计划提前天完成，每天准备展台的个数需比原计划增加．
    求原计划每天准备展台的个数，
    为满足读者购书需求，某厂装订，两种图书共本，其中种图书数量不多于种图书数量的，装订一本种图书成本为元，装订一本种图书成本为元．设装订种图书本，问为何值时，两种图书装订总成本元最低，最低装订总成本为多少元？
26. 若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”构造勾股数，就是要寻找个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和或平方差等于第三个数的平方”，即满足以下关系：
    ；
    或
    ；
    要满足以上、的关系，可以从乘法公式入手，我们知道：
    
    如果等式的右边也能写成“”的形式，那么它就符合的关系．
    因此，只要设，，式就可化成：．
    于是，当，为任意正整数，且时，“，和”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数．
    当，时，该组勾股数是______；
    若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为，且，求，的值；
    若一组勾股数中最大的数是是任意正整数，则另外两个数分别为______，______分别用含的代数式表示．
27. 【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究．图是一块边长为的等边三角形学具，是边上一个动点，由点向点运动，速度为，是边延长线上一动点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动，连接，交于点，设点运动的时间为．
    【问题】填空：______；
    当时，求的值；
    【探究】如图，过点作，垂足为，在点，点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由．
     

28. 在平面直角坐标系中，对于，两点，若在轴上存在点，使得，且，则称，两点互相等垂，其中一个点叫做另一个点的等垂点．已知点的坐标是．
    如图，在点，，中，点的等垂点是______选填“”，“”或“”
    如图，若一次函数的图象上存在点的等垂点，求点的坐标；
    若一次函数的图象上存在无数个点的等垂点，试写出该一次函数的所有表达式：______．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．是循环小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是分数，属于有理数，是故本选项不符合题意；
C.无理数，故本选项合题意；
D.是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
则点的坐标是，
故选：．
根据轴上的点的坐标特点可得，再解即可．
此题主要考查了点的坐标，关键是掌握轴上的点的横坐标为．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意，得：
，
解得，
故选：．
根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程求解．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
 

5.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过第一、三、四象限，
，
，
的值可能为．
故选：．
由一次函数的图象经过第一、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出，解之即可得出的取值范围，再对照四个选项即可得出结论．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在一、三、四象限”是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
以为圆心，为半径作弧交数轴于点，
，
点表示的数是；
故选：．
首先根据勾股定理求出长，再根据圆的半径相等可知，即可得出答案．
此题主要考查了勾股定理，以及数轴与实数，关键是求出的长．
 

7.【答案】 

【解析】解：是边上的中线，，
，
，
，
，，
，
，
即，是直角三角形，故正确；
，
是等边三角形，故正确；
在中，，，，
，
，故正确；
在中，，，，
，
，
，故错误．
故选：．
由题意得出，由等腰三角形的性质得出，，由三角形内角和定理得出，即，即可判断结论正确；由，可得是等边三角形，即可判断结论正确；在中，求出的，即可判断结论正确；在中，求出，即可判断结论错误．
本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定、直角三角形的判定、三角形内角和定理以及锐角三角函数；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：点到、的距离相等，
是的角平分线，故本选项不符合题意；
B.，，
，
即，
，
是的角平分线，故本选项不符合题意；
C.，，
是的角平分线，故本选项不符合题意；
D.不能推出是的角平分线，故本选项符合题意；
故选：．
根据到角两边距离相等的点在角的平分线上即可判断选项A，根据等腰三角形的性质三线合一即可判断选项B、选项C，选项D．
本题考查了角平分线的性质和等腰三角形的性质，能熟记等腰三角形的性质和角平分线的性质是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题中的新定义得：，
整理得：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
故选：．
已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
此题考查了解分式方程，以及有理数的混合运算，分式方程注意要检验．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
甲的速度为米秒，
乙的速度为：米秒，
则，
故选：．
根据题意和函数图象中的数据，可以得到甲秒跑完米，从而可以求得甲的速度，再根据图象中的数据，可知甲、乙跑秒钟跑的路程之和为米，从而可以求得乙的速度，然后用除以乙的速度，即可得到的值．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是求出甲、乙的速度．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
的平方根是．
故答案为：．
根据平方根的定义，求数的平方根，也就是求一个数，使得，则就是的平方根，由此即可解决问题．
本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值是易错点，由于有位，所以可以确定有效数字的计算方法是：从左边第一个不是的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的有关，与的多少次方无关．
本题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式

，
故答案为：．
根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：一次函数，
随值的增大而增大，
，
，
故答案为：．
由函数解析式可知随值的增大而增大，只需比较点的横坐标大小即可．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作于，
，
，
在中，是的中点，，
，
由勾股定理得：，
的面积为，
，
解得：，
，
是的角平分线，，，
，即点到的距离为，
故答案为：．
过点作于，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式出去，进而求出，根据角平分线的性质解答即可．
本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质、角平分线的性质、三角形的面积计算，正确作出辅助性、灵活运用直角三角形的性质、角平分线的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由翻折可得为的角平分线，
作于点，则，

在中，由勾股定理得，
，，
，
又，
，
．
故答案为：．
由翻折可得为的角平分线，由求解．
本题考查翻折问题，解题关键是掌握角平分线的性质，通过添加辅助线求解．
 

17.【答案】 

【解析】解：是一次函数图象上一点，
，



，
当时，有最小值，
故答案为：．
由是一次函数图象上一点，得到，即可得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，函数最值的应用，考查了计算能力和转化思想．
 

18.【答案】 

【解析】解：方程的解为函数图象与直线的交点的横坐标，
的一个解为一次函数与直线交点的横坐标，
如图所示：

由图象可知：．
故答案为：．
根据方程的解是函数图象交点的横坐标，结合图象得出结论．
本题考查了函数图象与方程的解之间的关系，关键是利用数形结合，把方程的解转化为函数图象之间的关系．
 

19.【答案】解：

． 

【解析】先化简各数，然后再进行计算即可．
本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地化简各数是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，
，
，
，
，，
，
在与中，
，
≌． 

【解析】由等角对等边可得，再由平行线的性质可得，由，，得，从而利用可判定≌．
本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是由已知条件得出相应的角或边的关系．
 

21.【答案】 

【解析】解：如图，为所作；

如图，点为所作，点坐标为．
故答案为：．
利用关于轴对称的点的坐标得到、、的坐标，然后描点即可；
连接交轴于点，根据两点之间线段最短可判断点满足条件，从而得到点坐标．
本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
 

22.【答案】解：设，则，，
由题意得：，
在中，，，
解得
故滑道的长度为． 

【解析】设，则，，在在中利用勾股定理列出方程，通过解方程即可求得答案．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．
 

23.【答案】解：直线：与直线平行，
，
直线为，
点在直线上，
，
，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
直线的解析式为；
在直线：中，令，则，
解得，
，
在直线：中，令，则，
解得，
，
，，
．
故四边形的面积是． 

【解析】由直线：与直线平行，得到直线为，进而求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线对应的函数表达式；
根据两直线的解析式求得、的坐标，然后根据求解即可．
本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
 

24.【答案】解：，，垂直平分，
，
，，
．
在直角三角形中，
，
，
，，垂直平分，
，，
，
的周长． 

【解析】根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出和，再根据外角性质即可得出答案；
根据勾股定理求出，优已知能推出，即可得出答案．
本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
 

25.【答案】解：设原计划每天准备展台的个数为个，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：原计划每天准备展台的个数为个；
设装订种图书本，则装订种图书本，
由题意得：，
解得：，
设装订总成本为元，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，最小元，
答：最低装订总成本为元． 

【解析】设原计划每天准备展台的个数为个，由题意：设有个展台，为保障书展的准备工作比原计划提前天完成，每天准备展台的个数需比原计划增加列出分式方程，解方程即可；
设装订种图书本，则装订种图书本，由题意：种图书数量不多于种图书数量的，列出一元一次不等式，解得：，再设装订总成本为元，求出关于的一次函数，然后由一次函数的性质求解即可．
本题考查了一元一次不等式组的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

26.【答案】，，     

【解析】解：当，时，，，，
该组勾股数是，，，
故答案为：，，；
，
，
，
，
最大的数为，
当最小时，，
解得或舍去，
又，
；
当最小时，，
解得舍去，
综上所述，，；
，
令，，则
，，
另外两个数分别为，，
故答案为：，．
将，代入计算，即可得到，，，进而得出该组勾股数是，，；
依据作差的方法即可判断出最大的数为，再分类讨论：当最小时，当最小时，分别依据最大的数与最小的数的和为，且，即可得出，的值；
先利用配方法，得到，再令，，即可得到另外两个数分别为，．
本题主要考查了勾股数以及乘法公式的运用，掌握勾股数的定义以及完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．
 

27.【答案】 

【解析】解：是边长为的等边三角形，
，，
设，
则，，
，
，
故答案为：．
解：，，
，
，
，
；
解：线段的长度不改变，
过点作交延长线于点，连接，，

，

点、速度相同，
，
是等边三角形，
，
，，，
≌，
，
，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
．
由线段和差关系可求解；
由直角三角形的性质可列方程，即可求的值；
连接，，由全等三角形的性质可证，由题意可证四边形是平行四边形，可得．
本题考查的是三角形综合题，等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，熟练全等三角形判定是解答此题的关键．
 

28.【答案】  或 

【解析】解：取点，连接，，如图：

，，，
，
是等腰直角三角形，
在点，，中，点的等垂点是点，
故答案为：；
当在轴上方时，过作轴于，如图：

是的等垂点，
，，
，
，
≌，
，，
设，则，
，
将代入得：
，
解得，
；
当在轴下方时，过作轴于，如图：

同可证明≌，
，，
设，则，
，
将代入得：
，解得，
；
综上所述，点的坐标为或；
若一次函数的图象上存在无数个点的等垂点，该一次函数的所有表达式为或，理由如下：
当一次函数为时，设直线上任意一点，连接，作的垂直平分线交轴于，交于，过作轴于，轴于，如图：

是线段的垂直平分线，
，，
，
，，
，
轴于，轴于，
，
而，，
≌，
，
，
与都是等腰直角三角形，
，
，
根据等垂点定义，是的等垂点，即直线上任意一点都是的等垂点，
一次函数的图象上存在无数个点的等垂点，
同理可证一次函数的图象上存在无数个点的等垂点，
故答案为：或．
取点，连接，，可得是等腰直角三角形，即知点的等垂点是点；
当在轴上方时，过作轴于，证明≌，得，，设，则，则，将代入可得；当在轴上方时，过作轴于，同理可得；
设直线上任意一点，连接，作的垂直平分线交轴于，交于，过作轴于，轴于，可得，，，从而可得≌，，即知，故A是的等垂点，即直线上任意一点都是的等垂点，一次函数的图象上存在无数个点的等垂点，同理可证一次函数的图象上存在无数个点的等垂点．
本题考查一次函数综合应用，涉及新定义、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质及应用等知识，解题的关键用含字母的代数式表示相关点的坐标，掌握函数图象上点坐标特征及应用．