2021-2022学年河南省许昌市襄城县七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年河南省许昌市襄城县七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列选项中，是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 第届冬季奥林匹克运动会的吉祥物名为“冰墩墩”，该吉祥物以熊猫为原型进行设计创作，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技的特点．我们将如图所示的“冰墩墩”平移可以得到(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，用方向和距离描述图书馆相对于小青家的位置是(    )

A. 北偏东，  B. 北偏东，
C. 东偏北 D. 东偏北，

4. 下列画出的直线与直线不一定平行的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 在平面直角坐标系中，点向右平移个单位长度后位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

6. 下列式子中，运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，下列条件；；，；其中能判定的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中、、各部分长度的比满足，长期以来很多人认为是个很特别的数，若介于两个连续相邻的整数与之间，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，，，点在直线上，且，，平分，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．若用有序数对表示第行，从左往右数第个位置上的分数．如表示分数，则表示的分数是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 写出一个比大且比小的无理数          ．
12. 象棋是中国传统棋类益智游戏．如图所示的是一副象棋残局，若棋子“炮”和“车”所在的点的坐标为，，则棋子“马”所在的点的坐标为______．

13. 如图，，若，，则的度数为______．

14. 如图，每个小正方形的边长为，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将个小正方形拼成一个大正方形，若个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，则这个大正方形的边长是______．

15. 如图，若，点是直线上一动点，当，时，则的度数可能是______用含、的式子表示．

三、计算题（本大题共1小题，共5分）

16. 计算：

四、解答题（本大题共8小题，共70分）

17. 将一把长方形直尺和一块含两个角的直角三角板按如图所示的方式放置，若，求的度数．

18. 阅读下列材料，完成相应的任务．
    框中是小云同学的作业．

老师看了后，找来小云．问道：“小云同学，你标在数轴上的两个点对应题中两个无理数，是吗？”
小云点点头．
老师又说：“你这两个无理数对应的点找得非常准确，遗憾的是没有完成全部解答．”
任务：请你帮小云同学将上面的作业做完．
 

19. 已知平面直角坐标系上有一点，请根据题意回答下列问题：
    若点在轴上，求出点的坐标．
    点的坐标为，连接，若轴，求出点的坐标并写出点所在的象限．
20. 如图，在三角形中，点，在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，．
    判断与的位置关系，并说明理由．
    若，且，求的度数．

21. 我们规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数．
    例如：，；，．
    计算：______；______．
    若，满足题意的所有整数的和为______．
    若，，求的平方根．
22. 如图，我们从唐代诗人韩愈的早春呈水部张十八员外和刘禹锡的浪淘沙其一中各选取一句整齐排列放在平面直角坐标系中，“浪”的坐标是．
    “曲”和“酥”的坐标依次是______和______．
    将第行与第行对调，再将第列与第列对调，“河”由开始的坐标最终变换为______．
    “雨”开始的坐标是______，使它的坐标变换到，应该哪两行对调，同时哪两列对调？

23. 定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”例如：如图，点，，的“最佳间距”是．
    求点，，的“最佳间距”．
    已知点，，．
    若点，，的“最佳间距”是，则的值为______．
    点，，的“最佳间距”的最大值为______．
    当点，，的“最佳间距”取到最大值时，请直接写出此时点的坐标．

24. 在综合与实践课上，老师让同学们以“一副直角三角尺”为主题开展数学活动．小华同学在操作过程中让两个三角尺的直角顶点重合．
    【操作发现】
    如图，，当和恰好落在和上时，求的度数．
    【迁移运用】
    如图，，将三角尺和三角尺绕点转动，在转动过程中，两块三角板无重叠部分，且点在直线上方，点在直线和直线之间，与相交于点，与相交于点，若，，求的度数．
    【拓展创新】
    在的基础上，若其他条件不变，，，请直接写出的度数用含，的式子表示．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是无理数，故本选项符合题意；
D.是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像每两个之间的个数依次加，等有这样规律的数．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据平移的性质，图案通过平移吉祥物“冰墩墩”可以得到．
故选：．
根据平移的性质进行判断．
本题考查了平移的性质：平移前后两图形的形状和大小完全相同、各个部分的方向不会变．
 

3.【答案】 

【解析】解：图书馆在小青家的北偏东方向的处．
故选：．
根据方向角的定义解答即可．
本题考查了坐标确定位置，主要是对方向角的定义的考查，需熟记．
 

4.【答案】 

【解析】解：、根据“内错角相等，两直线平行”可得，
故A不符合题意；
B、根据“同旁内角互补，两直线平行”可得，
故B不符合题意；
C、无法判定，
故C符合题意；
D、根据“同位角相等，两直线平行”可得，
故D不符合题意；
故选：．
根据平行线的判定定理求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：点向右平移个单位长度得到的点的坐标是，即．
故选：．
将点的横坐标加，纵坐标不变即可求解．
此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据算术平方根，立方根的意义，进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，平方根，立方根，熟练掌握算术平方根，立方根的意义是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由可判定，不符合题意；
由不能判定，不符合题意；
由且知，可判定，符合题意；
由可判定，符合题意；
故选：．
依据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，进行判断即可．
此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：介于两个连续相邻的整数与之间，而，
，，
，
故选：．
先依据介于两个连续相邻的整数与之间，可得，的值，再代入进行计算即可解答．
本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金比的近似值，即．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
平分，
，
．
故选：．
由平行线的性质可求解的度数，由角平分线的定义可求解的度数．
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质求解的度数是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：观察图表可知以下规律：
是第几行就有几个分数；
每行每个分数的分子都是；
每行第一个分数的分母为行号，如第行为，第二个的分母为；
每行首尾对称．
故表示第行，从右到左第个数，即，
故选：．
观察图表寻找规律：是第几行就有几个分数；每行每个分数的分子都是；每行第一个分数的分母为行号，如第行为，第二个的分母为；每行首尾对称．据此规律解答．
本题属于规律型，考查数字的规律，观察图表寻找规律是解题的关键．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：请写出一个比大且比小的无理数：答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
首先根据：，，可得：一个比大且比小的无理数的平方可以是，这个无理数可以是，据此判断即可答案不唯一．
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是可以先求出这个无理数的平方的大小．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图所示，


棋子“马”的点坐标为，
故答案为：．
根据棋子“炮”和“車”的点坐标分别为，，得出原点的位置，进而得出答案．
本题考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，，
，，
．
故答案为：．
由平行线的性质可得，，从而可求的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
 

14.【答案】 

【解析】由题意可知，每个小正方形的边长为，
每个小正方形的面积为，
个小正方形拼成的大正方形的面积为，
这个大正方形的边长为．
故答案为：．
由题可知，每个小正方形的边长为，面积为，可得出拼成的大正方形的面积为，进而可得出大正方形的边长为．
本题考查图形的剪拼和算术平方根，熟练掌握“如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根”．
 

15.【答案】或或 

【解析】解：如图所示，当点在、之间时，

过作，则，
，
，
又


如图，当点在的上方时，

过作，则，


又

，
当点在的下方时，同法可得．
故答案为或或．
分三种情形：当点在、之间时，如图，当点在的上方时，当点在的下方时，分别求解即可．
本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】解：原式
． 

【解析】化简立方根，绝对值，然后合并同类二次根式进行化简．
本题考查实数的混合运算，二次根式的加法运算，理解立方根的概念，准确化简各数是解题关键．
 

17.【答案】解：由题意知，，
，
，，
，
． 

【解析】由得，，再根据可得答案．
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等．
 

18.【答案】解：一与是无理数，且一，
数轴上两个点中，左边的点表示数，右边点表示数，据此可以找出原点位置，
根据题意，在数轴上分别表示各数如下：

从小到大是：． 

【解析】根据和确定原点，把实数，一，，，表示在数轴上，根据数轴上的点的位置判断数的大小，左边的点表示的数小于右边的点表示的数．
本题考查实数的大小比较，数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，解题关键是正确估算已知两点表示的数，和由这两点确定原点位置．
 

19.【答案】解：点在轴上，
，
解得，
，
，
点的坐标为．
轴，
，
解得，
，
，
点的坐标为．
点在第一象限． 

【解析】根据轴上的点的纵坐标为，可求得的值，进而可得点的坐标．
根据平行于轴的直线上的点横坐标相同，可建立方程，求出的值，即可求得答案．
本题考查平面直角坐标系内点的坐标特征．注意：轴上的点的纵坐标为；平行于轴的直线上的点横坐标相同．
 

20.【答案】解：，理由如下：
，
，
，
，
，
；
由得，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
． 

【解析】由同位角相等，两直线平行可得，从而得，则可求得，即可证得；
由平行线的性质可得，，可得，再利用平行线的性质可求得，则可求的度数，从而求的度数．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
 

21.【答案】     

【解析】解：由题意可知：；；
故答案为：；；
由题意可知：，且为整数，
或或，
满足题意的所有整数的和为；
故答案为：；
，，
，，
，
，
的平方根为．
根据题意即可解决问题；
由题意可得，且为整数，所以或或，进而可以解决问题；
根据题意可得，，所以，，得，然后根据平方根的定义即可解决问题．
本题考查了取整函数，平方根，解决本题的关键是掌握平方根定义．
 

22.【答案】       

【解析】解：“曲”和“酥”的坐标依次是：和；
故答案为：，；
将第行与第行对调，再将第列与第列对调，“河”由开始的坐标最终变换为．
故答案为：；
“雨”开始的坐标是，使它的坐标到，应该第行与第行对调，同时第列与第列对调；
故答案为：．
根据平面直角坐标系内点的坐标可得答案；
根据行对调，纵坐标变化，列对调，横坐标变化，可得答案；
根据行对调，纵坐标变化，列对调，横坐标变化，可得答案．
本题考查了坐标确定位置，点的坐标是前横后纵，中间逗号隔开，注意行对调，纵坐标变化，列对调，横坐标变化．
 

23.【答案】   

【解析】解：点，，，
，，，
，
点，，的“最佳间距”为；
点，，，
，，，
点，，的“最佳间距”是，，
，
，
故答案为：；
，，，
“最佳间距”为或，
当时，“最佳间距”为，，
当时，“最佳间距”为，
点，，的“最佳间距”的最大值为，
故答案为：；
由中第小问可知，当时，点，，的“最佳间距”取到最大值，
，，
，
，
解得，或，
或，
点的坐标为或
直接根据“最佳间距”的定义求解即可；
先求出，，，再根据题意可得，再进行求解即可；
根据题意可知，“最佳间距”为或，再分类讨论求解即可；
由中第小问可知，当时，点，，的“最佳间距”取到最大值，得到，然后解方程即可．
本题主要考查坐标与图形性质，根据新定义的规则进行分类讨论是解答此题的关键．
 

24.【答案】解：如图，

过点作，

，
，
，
；

如图，过点作，过点作，
同理可得，

，，
，
；


如图，过点作，分两种情况：
当点在直线的下方时，过点作，
同理可得，

，，
，
；
当点在直线的上方时，如图，

过点作，同理可得，
，，，
． 

【解析】过点作，结合直角三角尺中锐角度数，利用两直线平行，内错角相等解答；
过点作，过点作，利用两直线平行，同位角相等以及两直线平行，内错角相等特殊锐角度数解答；
需要分两种情况：当点在直线的下方时，过点作；当点在直线的上方时，过点作综合运用的思路与方法，特殊值、分别用，代替，推广到一般式即可解答．
本题考查等腰直角三角形、含锐角的直角三角形性质，还重点考查了平行线的判定和性质，解题关键是熟练掌握、运用平行线的判定和性质；还考查了分类讨论思想．