2021-2022学年河南省郑州市高二下学期期末考试数学理试题含解析

  郑州市2021—2022学年下期期末考试

高二数学（理）试题卷

一､选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（    ）

A. 1 B. 2 C.  D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】先由题给条件求得复数z，再利用复数模的定义去求

【详解】复数z在复平面内对应的点的坐标为，

则，则

故选：C

2. 若函数，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据导数的运算可得出关于的等式，即可求得的值.

【详解】因为，则，

所以，，解得.

故选：B.

3. 用反证法证明命题“设实数、、满足，则、、中至少有一个数不小于”时假设的内容是（    ）

A. 、、都不小于 B. 、、都小于

C. 、、至多有一个小于 D. 、、至多有两个小于

【答案】B

【解析】

【分析】直接否定原命题的结论，可得出合适的选项.

【详解】“、、中至少有一个数不小于”的否定为“、、都小于”.

故所作的假设内容为“、、都小于”.

故选：B.

4. 已知，若a，b，，且，，，则的值（    ）

A. 大于0 B. 等于0 C. 小于0 D. 不能确定.

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性和单调性求解即可.

【详解】解：因为，，，

所以是R上的奇函数，

又因为，

所以在R上单调递增，

又因为，，，

所以，，，

所以，，，

所以<-[],

即<0.

故选：C.

5. 若离散型随机变量X的分布列如表所示，则a的值为（    ）

A. 或 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由概率之和等于1得出的值.

【详解】由题意可知，，即或

当时，，所以（舍）

故选：B

6. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归方程为.现发现表中有一个数据模糊看不清，则该数据为（    ）

A. 68 B. 68.3 C. 68.5 D. 70

【答案】A

【解析】

【分析】先求得的值，再利用回归方程求得的值，进而得到所求数据.

【详解】

又，则

则表中模糊看不清的数据为

故选：A

7. 下列说法错误的是（    ）

A. 方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小

B. 用相关指数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好

C. 某人每次投篮的命中率为，现投篮5次，设投中次数为随机变量，则

D. 对于独立性检验，随机变量的观测值k值越小，判定“两分类变量有关系”犯错误的概率越大

【答案】B

【解析】

【分析】根据方差的意义、相减指数的概念、均值的定义及独立性检验的概念判断各选项．

【详解】A．方差反映的数据围绕平均数波动的离散程度大小，方差越大，离散程度越大，方差越小，离散程度越小，A正确；

B．相关指数来刻画回归效果，越接近于1明拟合效果越好，B错；

C．易知，，所以，C正确；

D．独立性检验，随机变量的观测值k值越小，判定“两分类变量有关系”犯错误的概率越大，k值越大，判定“两分类变量有关系”犯错误的概率越小，D正确，

故选：B．

8. 在一组样本数据，，，（，，，…，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据相关系数的定义确定．

【详解】直线的斜率为，因此它们负相关，由于所有点都在这条直线上，因此相关系数为．

故选：B．

9. 2022年，为保障广大人民群众的生产生活能够有序进行，郑州市政府多次组织进行全员核酸检测.某社区计划从报名参加志愿者工作的5名男生和4名女生中抽取两人加入志愿者团队，用A表示事件“抽到的两名志愿者性别相同”，B表示事件“抽到的两名志愿者都是女生”，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据条件概率的定义计算．

【详解】由已知，，

所以．

故选：D．

10. 已知函数.若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由分离常数，结合导数研究的图象与性质，从而求得的取值范围.

【详解】依题意，函数恰有3个零点，

由，

即与有个交点.

对于函数，

当时，，

所以在区间递增；

在区间递减.

.

当时，，

所以在区间递减；

在区间递增.

，当时，.

所以

所以的取值范围是.

故选：D

11. 将名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶个项目进行培训，每名志愿者只分配到个项目，每个项目至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）种.

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将名志愿者分为组，每组的人数分别为、、、或、、、，利用分组分配原理可求得结果.

【详解】将名志愿者分为组，每组的人数分别为、、、或、、、，

所以，不同的分配方案种数为.

故选：A.

12. 已知函数，，若，则的最小值是（    ）

A.  B. 0 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意分析可得，则，构建函数利用导数求最小值．

【详解】

∵，即，可得

∴

令，则

令，则

∴在上单调递减，在单调递增，则

故选：A．

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 由直线和曲线所围图形的面积___________.

【答案】

【解析】

【分析】求出两函数图象的交点坐标，然后由计算定积分可得．

【详解】由得或，即直线和曲线的交点为和，

所以它们围成的图形的面积为．

故答案为：．

14. 在某次高三联考中，学生的数学成绩服从正态分布.已知参加本次考试的学生有人.则本次考试数学成绩大于分的大约有___________人.

（参考数据：，）

【答案】

【解析】

【分析】利用原则求出，乘以可得结果.

【详解】由题意可得，，则，

所以，，

因此，本次考试数学成绩大于分的大约有人.

故答案为：.

15. 若曲线在点处的切线与直线平行，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】令，利用导数的几何意义得出的值.

【详解】令，

则

所以，

，当时，

又该函数在点处的切线与直线平行，所以

故答案为：

16. 在我国南宋数学家杨辉所著作《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律，下面的数字三角形可以看做当依次取、、、、时展开式的二项式系数，相邻两斜线间各数的和组成数列，例，，，，设数列的前项和为.若，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】推导出，则，结合裂项法可求得的值.

【详解】注意到，，，，，，

则，，，，

以此类推可知，则，

所以，

.

故答案为：.

三､解答题：共70分.解答题应写出文字说明､证明过程或验算步骤.

17. 已知复数z满足.

（1）求复数；

（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用复数的除法可得出复数，再利用共轭复数的定义可求得；

（2）利用复数的乘法化简复数，利用复数的几何意义可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.

小问1详解】

解：，，.

【小问2详解】

解：由（1）得，则，

由已知可得，解得.

即实数取值范围是.

18. 用数学归纳法证明：．

【答案】见解析

【解析】

【分析】先验证时等式成立，再假设成立，只需证明当时，等式成立即可.

【详解】（1）当时，左边，右边．

∴左边=右边，故当时，结论成立；

（2）假设结论成立，即，

∴

，

∴当时，结论成立，

故对任意，结论都成立．

【点睛】本题主要考查等数学归纳法的应用，属于难题. 利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证时结论成立；（2）假设时结论正确，证明时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.

19. 已知在的展开式中，所有偶数项的二项式系数的和为32.

（1）求n的值；

（2）求展开式中系数最大的项.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用二项展开式中二项式系数的性质列方程即可求得n的值；

（2）根据题意列出不等式组，解之即可得到展开式中系数最大的项.

【小问1详解】

由题意可得，即，则.

【小问2详解】

展开式的通项为，

设展开式的第项的系数最大，则

解得，所以.

所以展开式中系数最大的项为.

20. 已知函数.

（1）当时，求该函数在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性.

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）求出导函数，计算导数得切线斜率，再求出，由点斜式得切线方程并化简；

（2）求出导函数，然后分类讨论确定和的解可得单调性．

【小问1详解】

当时，，该函数定义域为，

则.

所以.

又，

所以.

所以该函数在点处的切线方程为，

即.

【小问2详解】

由题可得，

令，得或.

而该函数定义域为，则

①若，则，在区间（0，1）上，；在区间上，，故函数在（0，1）上单调递减，在上单调递增；

②若，即，则在区间和上，；在区间上，，故函数在和上单调递增，在上单调递减；

③若，即，则在区间上，恒成立，且仅在处取得等号，

故函数在上单调递增；

④若，即，则在区间（0，1）和上，；在区间上，，

故函数在（0，1）和上单调递增，在上单调递.

21 某工厂生产一种产品测得数据如下：

（1）若按照检测标准，合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式（c､d为大于0的常数），求y关于x的回归方程；

（2）已知产品的收益z（单位：千元）与产品尺寸和质量的关系为，根据（1）中回归方程分析，当产品的尺寸x约为何值时（结果用整数表示），收益z的预报值最大？

附：（1）参考数据：，，，.

（2）参考公式：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.

【答案】（1）   

（2）当产品的尺寸约为72时，收益z的预报值最大

【解析】

【分析】（1）结合非线性回归方程的求法求得关于的回归方程.

（2）求得的表达式，结合二次函数的性质求得当约为时，收益的预报值最大.

【小问1详解】

对两边取自然对数得.

令，，则，其中.

根据所给统计量及最小二乘估计公式有：

，

，

又，所以，所以y关于x的回归方程为.

【小问2详解】

由（1）得，所以.

令，则当时，z取得最大值，

此时，

所以当产品的尺寸约为72mm时，收益z的预报值最大.

22. 已知函数，其中.

（1）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）若函数有两个极值点，且，当时，证明：.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由得出在区间上恒成立，利用导数得出的最大值，即可得出实数a的取值范围；

（2）由得出，令，构造函数，利用导数得出.

【小问1详解】

由题意得，

即在区间上恒成立.

令，，则.

因为，所以在区间上恒成立，

所以在区间上单调递减，

所以

所以，即实数a的取值范围是.

【小问2详解】

由函数有两个极值点，得，

即①，②，

令，

若时，，函数单调递增，此时函数不可能有两个极值点

若时，；

即函数在上单调递减，在上单调递增

因为函数有两个极值点，所以，

整理得，即

因为，所以，.

将①②两式相除得.

令，则，所以，所以，

所以③，④，

将③④两式相加可得.

令，，则.

令，，则，

所以在上单调递增，且，

所以在上恒成立，所以在上恒成立，

所以在上单调递增.

因为，，所以.

又，，

所以，即.

【点睛】关键点睛：解决问题二时，关键是由换元法将双变量问题化为单变量问题，利用导数证明不等式.