2022届天津市和平区高三下学期三模数学试题含答案

  天津市和平区2022届高三下学期三模

数学试题

参考公式：

球的表面积公式，其中表示球的半径．

锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高．

如果事件互斥，那么．

如果事件相互独立，那么．

一､选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知全集，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 设是公比为等比数列，则“”是“为递增数列”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 函数的图象大致为

A.  B.

C.  D.

4. 某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况，随机抽取了高一年级100名学生进行调查，将收集到的做义工时间（单位：小时）数据分成6组：，，，，，，（时间均在内），如图，已知上述时间数据的第70百分位数为3.5，则，的值分别为（    ）

A. 0.3，0.35

B. 0.4，0.25

C. 0.35，0.3

D. 0.35，0.25

5. 设，则大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知某圆柱的轴截面为正方形，则此圆柱的表面积与此圆柱外接球的表面积之比为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为.若，则双曲线的渐近线方程为（  ）

A.  B.  C.  D.

8. 函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是(       )

A  B.  C.  D.

第Ⅱ卷（非选择题共105分）

二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案写在题中横线上）

10. 已知为虚数单位，设复数满足，则的虚部为__________．

11. 的展开式中项的系数为__________．

12. 已知圆的圆心坐标是，若直线与圆相切于点，则圆C的标准方程为___________.

13. 设,则的最大值为 ________．

14. 清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共7人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设事件为“高二年级3人相邻”，事件的排法为__________种；在事件“高二年级3人相邻”的前提下，事件“高一年级2人不相邻”的概率为__________．

15. 在平面内，定点，满足，且，则__________；平面内的动点满足，，则的最大值是__________．

三､解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 中，，，.

（1）求AB的长；

（2）求；

（3）求的值.

17. 如图，正四棱柱中，且，点分别是的中点．

（1）求直线与直线所成角的正切值；

（2）求平面与平面的夹角的余弦值；

（3）求点到平面的距离．

18. 已知椭圆的离心率为，且椭圆过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过右焦点直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值．

19. 已知等比数列的公比是的等差中项．等差数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前50项和；

（3），求数列的前项和．

20. 设函数f(x)=ax2–a–lnx，g(x)=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.

（1）讨论f(x) 的单调性；

（2）证明：当x＞1时，g(x)＞0；

（3）如果f(x)＞g(x) 在区间（1，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围.

天津市和平区2022届高三下学期三模

数学试题

参考公式：

球的表面积公式，其中表示球的半径．

锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高．

如果事件互斥，那么．

如果事件相互独立，那么．

一､选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知全集，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

2. 设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】D

3. 函数的图象大致为

A.  B.

C  D.

【答案】A

4. 某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况，随机抽取了高一年级100名学生进行调查，将收集到的做义工时间（单位：小时）数据分成6组：，，，，，，（时间均在内），如图，已知上述时间数据的第70百分位数为3.5，则，的值分别为（    ）

A. 0.3，0.35

B. 0.4，0.25

C. 0.35，0.3

D. 0.35，0.25

【答案】C

5. 设，则的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

6. 已知某圆柱的轴截面为正方形，则此圆柱的表面积与此圆柱外接球的表面积之比为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

7. 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为.若，则双曲线的渐近线方程为（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

8. 函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

9. 已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是(       )

A.  B.  C.  D.

【答案】A

第Ⅱ卷（非选择题共105分）

二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案写在题中横线上）

10. 已知为虚数单位，设复数满足，则的虚部为__________．

【答案】-1

11. 的展开式中项的系数为__________．

【答案】

12. 已知圆的圆心坐标是，若直线与圆相切于点，则圆C的标准方程为___________.

【答案】

13. 设,则的最大值为 ________．

【答案】

14. 清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共7人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设事件为“高二年级3人相邻”，事件的排法为__________种；在事件“高二年级3人相邻”的前提下，事件“高一年级2人不相邻”的概率为__________．

【答案】    ①. 720    ②. ##0.6

15. 在平面内，定点，满足，且，则__________；平面内的动点满足，，则的最大值是__________．

【答案】    ①.     ②.

三､解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 在中，，，.

（1）求AB的长；

（2）求；

（3）求的值.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【小问1详解】

由，且可得.

由正弦定理有，得

【小问2详解】

由题意可得

【小问3详解】

由（2），，由二倍角公式可得：，

故.

17. 如图，正四棱柱中，且，点分别是的中点．

（1）求直线与直线所成角的正切值；

（2）求平面与平面的夹角的余弦值；

（3）求点到平面的距离．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【小问1详解】

依题意，建立上图所示空间直角坐标系，其中D为原点，

DC为y轴，DA为x轴， 为z轴，

各点坐标如下：

，

，

，

；

【小问2详解】

设平面 的一个法向量为 ，则有 ，

令a=4，则c=1，b=-2，   ，

设平面 的一个法向量为 ，则 ，

令z=1，则x=0，y=2， ，

，

即平面与平面的夹角的余弦值为 ；

【小问3详解】

计算 与平面夹角：    ，

，

∴A点到平面的距离为 ；

综上，CE与 所成角的正切为 ，平面与平面的夹角的余弦值为 ，A点到平面的距离为 .

18. 已知椭圆的离心率为，且椭圆过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值．

【答案】（1）   

（2）2

【小问1详解】

由题意得：，解得：，

所以椭圆方程为

【小问2详解】

由（1）知：，

当直线的斜率不存在时，，，，

此时，

当直线的斜率存在时，故可设直线为，

联立椭圆方程得：，

设，则，

其中

所以，

其中，

所以，

因为直线PQ为线段MN的垂直平分线，

所以直线PQ：，

令得：，

所以，

故，

因为，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以，

因为，所以的最小值为2.

19. 已知等比数列的公比是的等差中项．等差数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前50项和；

（3），求数列的前项和．

【答案】（1），；   

（2）；   

（3）．

【小问1详解】

依题有,因为，解得：

．数列是等差数列,设其公差为,，解得：.

【小问2详解】

数列与数列都是递增数列, ,

,,

新数列的前50项和为:.

【小问3详解】

∵，

设 ,

，

，两式相减有

∴.

∴

.

.

20. 设函数f(x)=ax2–a–lnx，g(x)=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.

（1）讨论f(x) 的单调性；

（2）证明：当x＞1时，g(x)＞0；

（3）如果f(x)＞g(x) 在区间（1，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

试题解析：（Ⅰ）

＜0，在内单调递减.

由=0，有.

当时，＜0，单调递减；

当时，＞0，单调递增.

（Ⅱ）令=，则=.

当时，＞0，所以，从而=＞0.

（Ⅲ）由（Ⅱ），当时，＞0.

当，时，=.

故当＞在区间内恒成立时，必有.

当时，＞1.

由（Ⅰ）有,从而，

所以此时＞在区间内不恒成立.

当时，令=（）.

当时，=.

因此在区间单调递增.

又因为=0，所以当时，=＞0，即＞恒成立.

综上，.